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高中数学知识点汇总（高一）

高中数学知识点汇总（高一） .................................................................................................................... 1

一、集合和命题 ............................................................................................................................................ 2

二、不等式 .................................................................................................................................................... 4

三、函数的基本性质 .................................................................................................................................... 6

四、幂函数、指数函数和对数函数 .......................................................................................................... 12

（一）幂函数 .............................................................................................................................................. 12

（二）指数&指数函数 ............................................................................................................................... 13

（三）反函数的概念及其性质 .................................................................................................................. 14

（四）对数&对数函数 ............................................................................................................................... 15

五、三角比 .................................................................................................................................................. 17

六、三角函数 .............................................................................................................................................. 24

一、集合和命题

一、集合：

（1）集合的元素的性质：

确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：

①aAa属于集合A； ②aAa不属于集合A． （3）常用的数集：

N自然数集；N*正整数集；Z整数集； Q有理数集；R实数集；空集；C复数集；

Z正整数集Q正有理数集R正实数集负整数集；Q负有理数集；R负实数集．

Z （4）集合的表示方法：

集合有限集列举法无限集描述法；

例如：①列举法：{z,h,a,n,g}；②描述法：{xx1}． （5）集合之间的关系：

①AB集合A是集合B的子集；特别地，AA；ABBCAC．

②AB或ABAB集合A与集合B相等； ③AB集合A是集合B的真子集．

例：NZQRC；NZQRC． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：

①交集：AB{xxA且xB}集合A与集合B的交集； ②并集：AB{xxA或xB}集合A与集合B的并集；

③补集：设U为全集，集合A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA．

④得摩根定律：CU(AIB)CUAUCUB；CU(AUB)CUAICUB

（7）集合的子集个数：

若集合A有n(nN*)个元素，那么该集合有2n个子集；2n1个真子集；2n1个非空子集；

2n2个非空真子集．

二、四种命题的形式：

（1）命题：能判断真假的语句．

（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是： 命题 原命题 表示形式 若，则 逆命题 否命题 逆否命题 若，则； 若，则； 若，则． 逆否命题否命题 逆否命题逆命题 逆命题否命题 逆命题关系 原命题逆命题 否命题关系 原命题否命题 逆否命题关系 原命题逆否命题 同真同假关系 （3）充分条件，必要条件，充要条件： ①若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；

②若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件．

③欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件结论； 第二步：证明必要性：结论条件． （4）子集与推出关系：

设A、B是非空集合，A{xx具有性质}，B{yy具有性质}， 则AB与等价．

结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．

二、不等式

一、不等式的性质： 1、ab,bcac； 2、abacbc； 3、ab,c0acbc； 4、ab,cdacbd； 不等式的性质 5、ab0,cd0acbd； 6、ab0011； ab 7、ab0anbn(nN*)； 8、ab0nanb(nN*,n1)． 二、一元一次不等式： 一元一次不等式axb 解集 三、一元二次不等式： ax2bxc0(a0) a0 xb aa0 xb aa0 b0 b0  R △b24ac0 △b24ac0 △b24ac0 的根的判别式 yax2bxc(a0) ax2bxc0(a0) ax2bxc0(a0) ax2bxc0(a0) ax2bxc0(a0) ax2bxc0(a0) {x0} (,x0)(x0,) {x1,x2}，x1x2 (,x1)U(x2,)  R (x1,x2) (,x1]U[x2,)  R {x0}  R [x1,x2] 

四、含有绝对值不等式的性质：

（1）ababab； （2）a1a2ana1a2an． 五、分式不等式：

axbaxb （1）0(axb)(cxd)0； （2）0(axb)(cxd)0．

cxdcxd六、含绝对值的不等式： xa a0 axa xa a0 a0 xa或xa xa a0 a0 a0 x0 a0 a0 xa a0 a0  R axa  xa或xa R 七、指数不等式： （1）af(x)a(x)(a1)f(x)(x)； （2）af(x)a(x)(0a1)f(x)(x)． 八、对数不等式：

(x)0 （1）logaf(x)loga(x)(a1)；

f(x)(x)f(x)0 （2）logaf(x)loga(x)(0a1)．

f(x)(x)九、不等式的证明：

（1）常用的基本不等式：

①a2b22ab(a、bR，当且仅当ab时取“”号)； ②

abab(a、bR，当且仅当ab时取“”号)； 22a2b2ab 补充公式：． ab1122ab ③a3b3c33abc(a、b、cR，当且仅当abc时取“”号)；

abc3abc(a、b、cR，当且仅当abc时取“”号)； 3aa2anna1a2an(n为大于1的自然数，a1,a2,,anR，当且仅当 ⑤1n ④

a1a2an时取“”号)； （2）证明不等式的常用方法：

①比较法； ②分析法； ③综合法．

三、函数的基本性质

一、函数的概念：

f因变量y，则y就是x的函数，记作yf(x),xD； （1）若自变量x对应法则 x的取值范围D函数的定义域；y的取值范围函数的值域． 求定义域一般需要注意： ①y1，f(x)0； ②ynf(x)，f(x)0； f(x) ③y(f(x))0，f(x)0； ④ylogaf(x)，f(x)0； ⑤ylogf(x)N，f(x)0且f(x)1．

（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质： （1）奇偶性： 函数 yf(x),xD “定义域D关于0对称”成立 前提条件 f(x)f(x) f(x)f(x) ①“定义域D关于0对称”； ②“f(x)f(x)”；③ “f(x)f(x)” 成立 奇偶性 奇偶函数 图像性质 偶函数 关于y轴对称 成立 奇函数 关于O(0,0)对称 ①成立①不成立或者 ②、③都不成立非奇非偶函数 注意：定义域包括0的奇函数必过原点O(0,0)． （2）单调性和最值： 前提条件 单调增函数 yf(x),xD，ID，任取x1,x2区间I x1x2x1x2或 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)x1x2x1x2或 f(x)f(x)f(x)f(x)1212任取xD,存在x0D,f(x)f(x0) 任取xD,存在x0D,f(x)f(x0) 单调减函数 最小值yminf(x0) 最大值ymaxf(x0)

注意：

①复合函数的单调性： 函数 外函数yf(x) 内函数yg(x) 复合函数yf[g(x)]

Z Z Z ] 单调性 ] Z ] ] Z ] ] Z ②如果函数yf(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么函数yf(x)在区间I上是单调函数，区间I叫做函数yf(x)的单调区间．

（3）零点：若yf(x),xD，cD且f(c)0，则xc叫做函数yf(x)的零点．

存在x0(a,b)yf(x),x[a,b] 零点定理：；特别地，当yf(x),x[a,b]是单调函数， f(a)f(b)0f(x0)0且f(a)f(b)0，则该函数在区间[a,b]上有且仅有一个零点，即存在唯一x0(a,b)，使得f(x0)0． （4）平移的规律：“左加右减，下加上减”． 函数 向左平移k 向右平移k yf(x) yf(xk) yf(xk) 向上平移h yhf(x) 向下平移h yhf(x) 备注 k,h0 （5）对称性： ①轴对称的两个函数： 函数 对称轴 函数 x轴 yf(x) y轴 yf(x) yx xf(y) yx xf(y) xm yn 2nyf(x) yf(x) yf(2mx) ②中心对称的两个函数： 函数 对称中心 yf(x) (m,n) 函数 2nyf(2mx) ③轴对称的函数： 函数 对称轴 条件 yf(x) y轴 f(x)f(x) xm f(x)f(2mx)

注意：f(ax)f(bx)f(x)关于xab对称； 2 f(ax)f(ax)f(x)关于xa对称；

f(x)f(x)f(x)关于x0对称，即f(x)是偶函数． ④中心对称的函数： 函数 对称中心 条件 yf(x) (m,n) f(x)2nf(2mx) abc,)对称； 22ab f(ax)f(bx)0f(x)关于点(,0)对称；

2 注意：f(ax)f(bx)cf(x)关于点( f(ax)f(ax)2bf(x)关于点(a,b)对称；

f(x)f(x)0f(x)关于点(0,0)对称，即f(x)是奇函数． （6）凹凸性：

xxf(x1)f(x2) 设函数yf(x),xD，如果对任意x1,x2D，且x1x2，都有f12，则称

22函数yf(x)在D上是凹函数；例如：yx2．

xxLxnf(x1)f(x2)Lf(xn) 进一步，如果对任意x1,x2,LxnD，都有f12，则称函nn数yf(x)在D上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；

xxf(x1)f(x2) 设函数yf(x),xD，如果对任意x1,x2D，且x1x2，都有f12，则称

22函数yf(x)在D上是凸函数．例如：ylgx．

xxLxnf(x1)f(x2)Lf(xn) 进一步，如果对任意x1,x2,LxnD，都有f12，则称函nn数yf(x)在D上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．

（7）翻折： 函数 翻折后 翻折过程 将yf(x)在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖． 将yf(x)在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖． 第一步：将yf(x)在y轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖； 第二步：将x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖． yf(x) yf(x) yf(x) yf(x) yf(x) （8）周期性： 将yf(x)在x轴上边的图像保持不变，并将x轴下边的图像翻折到x轴上边，不覆盖． 若yf(x),xR，T0，任取xR，恒有f(xT)f(x)，则称T为这个函数的周期． 注意：若T是yf(x)的周期，那么kT(kZ,k0)也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．

①f(xa)f(xb)，abf(x)是周期函数，且其中一个周期Tab； （阴影部分下略）

②f(x)f(xp)，p0T2p； ③f(xa)f(xb)，abT2ab； ④f(x)11或f(x)，p0T2p；

f(xp)f(xp)1f(xp)f(xp)1或f(x)，p0T2p；

1f(xp)f(xp)11f(xp)f(xp)1或f(x)，p0T4p；

1f(xp)f(xp)1 ⑤f(x) ⑥f(x) ⑦f(x)关于直线xa，xb，ab都对称T2ab； ⑧f(x)关于两点(a,c)，(b,c)，ab都成中心对称T2ab；

⑨f(x)关于点(a,c)，a0成中心对称，且关于直线xb，ab对称T4ab； ⑩若f(x)f(xa)f(x2a)Lf(xna)m（m为常数，nN*），则f(x)是以(n1)a为周期的周期函数；

若f(x)f(xa)f(x2a)Lf(xna)m（m为常数，n为正偶数），则f(x)是以

2(n1)a为周期的周期函数．

三、V函数： 定义 分类 形如yaxmh(a0)的函数，称作V函数． yaxmh,a0 yaxmh,a0 图像 定义域 值域 对称轴 开口 顶点 在(,m]上单调递减； 单调性 在[m,)上单调递增． 注意

R [h,) xm (,h] 向上 (m,h) 向下 在(,m]上单调递增； 在[m,)上单调递减． 当m0时，该函数为偶函数

四、分式函数： 定义 分类 a形如yx(a0)的函数，称作分式函数． xaayx,a0（耐克函数） yx,a0 xx图像 定义域 值域 渐近线 (,2a]U[2a,) (,0)U(0,) R x0，yx 在(,a]，[a,)上单调递增； 单调性 在[a,0)，(0,a]上单调递减． 五、曼哈顿距离： 在平面上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称dx1x2y1y2为MN的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：

1、对于函数yxm，在xm时取最小值；

2、对于函数yxmxn，mn，在x[m,n]时取最小值； 3、对于函数yxmxnxp，mnp，在xn时取最小值；

4、对于函数yxmxnxpxq，mnpq，在x[n,p]时取最小值； 5、推广到yxx1xx2Lxx2n，x1x2Lx2n，在x[xn,xn1]时取最小值； yxx1xx2Lxx2n1，x1x2Lx2n1，在xxn时取最小值． 思考：对于函数yx12x3x2，在x_________时取最小值．

在(,0)，(0,)上单调递增；

四、幂函数、指数函数和对数函数

（一）幂函数

（1）幂函数的定义：

形如yxa(aR)的函数称作幂函数，定义域因a而异．

（2）当a0,1时，幂函数yxa(aR)在区间[0,)上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数yxa(a0,1)的草图，可分两步：

①根据a的大小，作出该函数在区间[0,)上的图像；

②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(,0]上的图像． （4）判断幂函数yxa(aR)的a的大小比较：

方法一：yxa(aR)与直线xm(m1)的交点越靠上，a越大； 方法二：yxa(aR)与直线xm(0m1)的交点越靠下，a越大

axb(c0)的变形幂函数的作图： cxdda

①作渐近线（用虚线）：x、y；

cc

（5）关于形如yb

②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)；

d

③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

（二）指数&指数函数

1、指数运算法则： ①aaaxyxyaxax；②(a)a；③(ab)ab；④()x，其中(a,b0,x、yR)．

bbxyxyxxx2、指数函数图像及其性质： / yax(a1) yax(0a1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(,)上单调递增； R (0,) 非奇非偶函数 x轴 在(,)上单调递减； ①指数函数yax的函数值恒大于零； ②指数函数yax的图像经过点(0,1)； 性质 ③当x0时，y1； 当x0时，0y1． 3、判断指数函数yax中参数a的大小：

方法一：yax与直线xm(m0)的交点越靠上，a越大； 方法二：yax与直线xm(m0)的交点越靠下，a越大．

③当x0时，0y1； 当x0时，y1．

（三）反函数的概念及其性质

1、反函数的概念：

对于函数yf(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yf(x)，这样得到的x关于y的函数叫做yf(x)的反函数，记作

xf1(y)．在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为yf1(x)(xA)．

2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”） ①将yf(x)看作方程，解出xf(y)； ②将x、y互换，得到yf1(x)； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）． 3、反函数的条件：

定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：

①原函数yf(x)过点(m,n)，则反函数yf ②原函数yf(x)与反函数yf ③奇函数的反函数必为奇函数． 5、原函数与反函数的关系： / 定义域 值域

11(x)过点(n,m)；

(x)关于yx对称，且单调性相同；

函数yf(x) yf1(x) D A A D

（四）对数&对数函数

1、指数与对数的关系： abN a b 指数 N 幂 真数 底数 logaNb 对数 2、对数的运算法则： ①loga10，logaa1，alogaNN；②常用对数lgNlog10N，自然对数lnNlogeN； ③loga(MN)logaMlogaN，loga ④logbNMlogaMlogaN，logaMnnlogaM； NlogaN1m，logab，loganbmlogab，logacbclogab，alogNbblogNa．

logbanlogab3、对数函数图像及其性质： / ylogax(a1) ylogax(0a1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(0,)上单调递增； (0,) R 非奇非偶函数 y轴 在(0,)上单调递减； ①对数函数ylogax的图像在y轴的右方； ②对数函数ylogax的图像经过点(1,0)； 性质 ③当x1时，y0； 当0x1时，y0．

③当x1时，y0； 当0x1时，y0．

4、判断对数函数ylogax,x0中参数a的大小：

方法一：ylogax,x0与直线ym(m0)的交点越靠右，a越大； 方法二：ylogax,x0与直线ym(m0)的交点越靠左，a越大．

五、三角比

1、角的定义：

（1）终边相同的角：

①与2k,kZ表示终边相同的角度；

②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③与k,kZ表示终边共线的角（同向或反向）． （2）特殊位置的角的集合的表示： 位置 在x轴正半轴上 在x轴负半轴上 在x轴上 在y轴正半轴上 角的集合 {2k,kZ} {2k,kZ} {k,kZ} {2k2,kZ} 在y轴负半轴上 {2k3,kZ} 2在y轴上 {k2,kZ} 在坐标轴上 {k,kZ} 2在第一象限内 {2k2k2,kZ} 在第二象限内 {2k22k,kZ} 3,kZ} 2在第三象限内 {2k2k在第四象限内

（3）弧度制与角度制互化： ①rad180； ②1rad

{2k32k2,kZ} 2180； ③1180rad．

（4）扇形有关公式：

l ①；

r ②弧长公式：lr；

11 ③扇形面积公式：Slrr2（想象三角形面积公式）．

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（5）集合中常见角的合并：

xkx2kkxx2k22xk2x2k2x2k

x2kx2kx2kx2kkx,kZ4 4xk54k4x2434xk44

（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：

以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异 于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则

（7）特殊角的三角比： 角度制 0 0 30 45 60 90 180 270 3 2360 2  弧度制  61 2 42 2 33 2 21  sin 0 0 1 0 cos 1 3 23 32 21 20 1 0 1 tan 0 1 3 无 0 无 0

（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k的取值范围是kZ） ①角和角的终边：

角和角的终边 关于x轴对称 sinsincoscos tantan关于y轴对称 关于原点对称 sinsinsinsincoscos coscos tantantantan ②的终边与

的终边的关系． 2 的终边在第一象限(2k,2k)(k,k)；

224,k)；

242233 的终边在第三象限(2k,2k)(k,k)；

224233,k)． ,2k2)(k 的终边在第四象限(2k242 ③sin与cos的大小关系：

3,2k)的终边在直线yx右边（xy0） sincos(2k； 445 sincos(2k,2k)的终边在直线yx左边（xy0）；

4452k}的终边在直线yx上（xy0） sincos{2k，． 44 的终边在第二象限(2k,2k)(k

④sin与cos的大小关系： sincos(kxy0xy0或； ,k)的终边在44xy0xy0xy0xy03 sincos(k,k)的终边在或；

44xy0xy0 sincos{k4,k3}，kZ的终边在yx． 4

2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）

第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）

sin(2k)sincos(2k)cos 

tan(2k)tancot(2k)cotsin()sincos()cos tan()tancot()cotsin()sincos()cos tan()tancot()cot 第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：

（轴对称） （互余性）

sin()cos2sin()sincos()sincos()cos2  

tan()tantan()cot2cot()cotcot()tan2sin()cos2cos()sin2 tan()cot2cot()tan2 （2）同角三角比的关系：

倒数关系： 商数关系： 平方关系：

sincsc1 cossec1

tancot1sintan(cos0)cos cotcos(sin0)sinsin2cos21221tansec 1cot2csc2 （3）两角和差的正弦公式：sin()sincoscossin；

)coscossinsin； 两角和差的余弦公式：cos( 两角和差的正切公式：tan()

tantan．

1tantan

（4）二倍角的正弦公式：sin22sincos；

二倍角的余弦公式：cos2cos2sin212sin22cos21；

2tan； 21tan 降次公式： 万能置换公式：

21cos2sin22tan1cos22sin2sin1cos2cos21tan2221tan21cos222； cos2 cos 221tan1sinsincos221cos22tan2tantan221cos21tan21sinsincos22sin1cos 半角公式：tan； 21cossin （5）辅助角公式： ①版本一：

二倍角的正切公式：tan2bsina2b222 asinbcosabsin()，其中02,．

acosa2b2 ②版本二：

b asinbcosa2b2sin()，其中a,b0,0,tan．

2a3、正余弦函数的五点法作图：

3 以ysin(x)为例，令x依次为0,,,,2，求出对应的x与y值，描点(x,y)作图．

22

4、正弦定理和余弦定理：

abc （1）正弦定理：2R(R为外接圆半径)；

sinAsinBsinC 其中常见的结论有：

①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

abc ②sinA，sinB，sinC；

2R2R2R ③sinA:sinB:sinCa:b:c； ④S△ABC2R2sinAsinBsinC；S△ABCaRsinBsinCabcbRsinAsinC；S△ABC．

4RcRsinAsinB

b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA2a2c2b222 （2）余弦定理：版本一：bac2accosB；版本二：cosB；

2acc2a2b22abcosCb2a2c2cosC2ababcosCccosB （3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：bccosAacosC．

cacosBbcosA5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积：

1 ①S△ABCdh；

2111 ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；

222 ③S△ABCllllabc，l为△ABC的周长． 2222 （2）在△ABC中，

①abABsinAsinBcosAcosBcotAcotB； ②若△ABC是锐角三角形，则sinAcosB；

sin(AB)sinCcos(AB)cosCtan(AB)tanC ③sin(BC)sinA；cos(BC)cosA；tan(BC)tanA；

sin(AC)sinBcos(AC)cosBtan(AC)tanBBCABCAsincostancot2222ACBACB ④sincos；tancot；

2222ABCABCsincostancot2222sin ⑤sinABBACAcossincossincos222；2；22； ACBCCBcossincossincos222222BABAsinsincoscos2222ABCABCCACA sinsincoscossinsinsincoscoscos；

2222222222CBCBsinsincoscos2222

ABCsinAsinBsinC4coscoscos222ABC ⑥cosAcosBcosC14sinsinsin；

222ABCsinAsinBsinC4sinsincos222sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC ；

cos2Acos2Bcos2C4cosAcosBcosC133sinAsinBsinC(0,]338sinAsinBsinC(0,]2；sinAsinBsinCcosAcosBcosC． ⑦3cosAcosBcosC(1,]1cosAcosBcosC(1,]28 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在△ABC中，角A、B、C成等差数列B （4）△ABC的内切圆半径为r3．

2S．

abc6、仰角、俯角、方位角： 略

7、和差化积与积化和差公式（理科）：

1sincos[sin()sin()]2cossin1[sin()sin()]2 （1）积化和差公式： ； coscos1[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2sinsin2sincos22sinsin2cossin22 （2）和差化积公式：． coscos2coscos22coscos2sinsin22

六、三角函数

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像： 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 ysinx ycosx R [1,1] ytanx {xxkR [1,1] 2,kZ} R 奇函数 奇函数 偶函数 最小正周期T2 ,2k]Z； 223[2k,2k]]． 22（kZ） [2k最小正周期T2 [2k,2k]Z； 最小正周期T (k[2k,2k]]． ,k)Z22（kZ） （kZ） 当x2k时，ymin1； 无 当x2k时，ymax1； 最值 当x2k2时，ymin1； 时，ymax1； 当x2k2图像 例1：求函数y5sin(2x)的周期、单调区间和最值．（当x的系数为负数时，单调性相反） 3 解析：周期T 2k2，由函数ysinx的递增区间[2k,2k]，可得 2225xk， 12122325,k]． 于是，函数y5sin(2x)7的递增区间为[k312127 同理可得函数y5sin(2x)7递减区间为[k,k]．

312122x2k，即k 当2x32k2，即xk时，函数y5sin(2x)取最大值5；

123

当2x32k2，即xk5时，函数y5sin(2x)取最大值5． 123 例2：求函数y5sin(2x)7,x[0,]的单调区间和最值．

324 解析：由x[0,]，可得2x[,]．

2333 然后画出2x 当2x3的终边图，然后就可以得出

[,]，即x[0,]时，函数y5sin(2x)7单调递增； 3321234 当2x[,]，即x[,]时，函数y5sin(2x)7单调递减．

3231223 同时，当2x 当2x32，即x时，函数y5sin(2x)7取最大值12；

1233534，即x时，函数y5sin(2x)7取最小值7；

2233 注意：当x的系数为负数时，单调性的分析正好相反．

2、函数yAsin(x)h&yAcos(x)h&yAtan(x)h，其中A0,0： （1）复合三角函数的基本性质： yAsin(x)h yAcos(x)h yAtan(x)h 三角函数 其中A0,0 振幅 基准线 定义域 值域 最小正周期 (,) [Ah,Ah] T2其中A0,0 其中A0,0 无 A yh {xxk2,kZ} (,) T  频率 相位 初相

f1 T2f1 Tx 

（2）函数yAsin(x)h与函数ysinx的图像的关系如下： ①相位变换：

ysin(x)； 当0时，ysinxysin(x)； 当0时，ysinx向右平移个单位向左平移个单位 ②周期变换：

ysin(x)； 当1时，ysin(x)ysin(x)； 当01时，ysin(x)1所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）1所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ③振幅变换：

所有各点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）yAsin(x)； 当A1时，ysin(x)所有各点的纵坐标缩短到原来的A倍（横坐标不变）yAsin(x)； 当0A1时，ysin(x) ④最值变换：

所有各点向上平行移动h个单位yAsin(x)h； 当h0时，yAsin(x)所有各点向下平行移动h个单位yAsin(x)h； 当h0时，yAsin(x) 注意：函数yAcos(x)h和函数yAtan(x)h的变换情况同上．

3、三角函数的值域： （1）yasinxb型：

设tsinx，化为一次函数yatb在闭区间[1,1]上求最值． （2）yasinxbcosxc，a,b0型： 引入辅助角,tanb，化为ya2b2sin(x)c． a （3）yasin2xbsinxc型：

设tsinx[1,1]，化为二次函数yat2btc求解． （4）yasinxcosxb(sinxcosx)c型：

a(t21)btc在闭 设tsinxcosx[2,2]，则t12sinxcosx，化为二次函数y22 区间t[2,2]上求最值．

（5）yatanxbcotx型：

b 设ttanx，化为yat，用“Nike函数”或“差函数”求解．

tasinxb （6）y型：

csinxd 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sinx1求解．

asinxb （7）y型：

ccosxd 化为asinxyccosxbdy，合并a2y2c2sin(x)bdy，利用有界性， sin(x)bdyayc222[1,1]求解．

（8）asinxcosxbsin2xccos2x，（a0,b,c不全为0）型：

acbbc 利用降次公式，可得asinxcosxbsin2xccos2xsin2x，然后利用辅 cos2x222 助角公式即可．

4、三角函数的对称性： 对称中心 对称轴方程 ysinx (k,0)，kZ xk2，kZ ycosx ytanx ycotx (k(2,0)，kZ xk，kZ / / k,0)kZ 2k(,0)kZ 2 备注：①ysinx和ycosx的对称中心在其函数图像上；

②ytanx和ycotx的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数y5sin(2x)7的对称轴方程和对称中心．

3 解析：由函数ysinx的对称轴方程xk 解得x2，kZ，可得2x3k2，kZ

12k，kZ． 2k 所以，函数y5sin(2x)7的对称轴方程为x，kZ．

3122 由函数ysinx的中心对称点(k,0)，kZ，可得2x 解得x3k，kZ

6k，kZ． 2k,7)，kZ． 所以，函数y5sin(2x)7的对称中心为(362

5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像： 定义域 值域 奇偶性 单调性 对称中心 yarcsinx [1,1] yarccosx [1,1] yarctanx (,) [,] 22奇函数 [0,] (非奇非偶函数 在[1,1]上是减函数 点(0,) 2,) 22奇函数 在[1,1]上是增函数 点(0,0) 在(,)上是增函数 点(0,0) 图像 重要结论： （1）先反三角函数后三角函数： ①a[1,1]sin(arcsina)cos(arccosa)a； ②aRtan(arctana)a． （2）先三角函数后反三角函数： ①[ ,]arcsin(sin)； 22 ②[0,]arccos(cos)；

,)arctan(tan)． 22 （3）反三角函数对称中心特征方程式：

③( ①a[1,1]arcsin(a)arcsina； ②a[1,1]arccos(a)arccosa； ③a(,)arctan(a)arctana． 6、解三角方程公式：

sinxa,a1xk(1)karcsina,kZcosxa,a1x2karccosa,kZ． tanxa,aRxkarctana,kZ