高考数学复数的概念及向量表示

一. 教学内容： 复数

数的概念的发展 复数的有关概念 复数的向量表示

二. 重点、难点：

1. 数的概念的发展：

数的概念的产生、发展源自社会实践的需要，且经历了漫长的历程。最早，由于计数的需要，人们建立起了自然数的概念（自然数的全体构成了自然数集N），为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们又引进了零以及负数。（此时，自然数被看成正整数，而把正整数、零、负整数合并在一起，构成了整数集Z）

为了解决测量、分配中遇到的把某些量等分的问题，人们又引进了分数，即形如mnN，mZ的数，人们把这样的数连同整数统称为有理数。（有理数的全体构成了n有理数集Q。）

为了解决有些量与量之间的比值不能用分数（即有理数）来表示的矛盾，人们又引进了无理数。例如正方形的对角线与其边长之比为2:12。而易证2不是有理数。（反证法）。这样以来，数的概念又得到了发展，原有的有理数与新引进的无理数统称为实数。（而把实数的全集称为实数集R）

数的概念的发展远未停止。 为了满足研究方程的需要，（数学的内部需要），人们又引进了一种新的数——虚数。事实上，解方程的需要也是促进数的概念不断发展的重要动力。例如，方程x+5=3在自然数集N中无解，而在扩充后的整数集Z中则有解；方程2x=5在整数集Z中无解，而在扩充后的有理数集Q中则有解；方程x2 = 2在有理数集Q中无解，但在实数集R中则有解。

新的问题：x2 + 1 = 0在实数集R中无解，为解决这个方程有解的问题，人们引进了一个新数i，（虚数单位），对i作出如下规定： （1）i2 = -1；（2）实数与i可进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法，乘法算律仍然成立。如此以来，就出现了a＋bi（a，b∈R）的数。人们就把形如a＋bi的数叫做复数。而全体复数构成的集合称为复数集。记作C。（英文Complex number 的第一个字母） 至此，复数的引入已很好地解决了实数集内一元二次方程无解的矛盾。 2. 复数的有关概念：

（1）a＋bi（a，b∈R）中，a称为复数的实部，b称为虚部。（注意：虚部所指的是一个实数，而非bi。）

（2）a＋bi（a，b∈R）中，若b≠0，则称数a＋bi为虚数；若b＝０，则1a＋bi＝aR就是实数；而若a＝0且b≠0，则称这样的数为纯虚数。如2i，i，3i都是2纯虚

数，其实部为0。

（3）复数相等：若两个复数的实数与虚部分别相等，则称这两个复数相等。即a，b，c，d

∈R，且a＝c，b＝d  a＋bi＝c＋di。

（既然规定了复数相等，那么自然会有两个复数不等的情形。容易想到实数集内不等的两个数是有大小关系的，那么在复数集C中不等的两个复数是否也有大小关系呢？可惜的是在复数集内难以按照通常意义上的大小关系对两个复数作出规定，也就是说，在复数集内不能规定两个复数的大小，当然对复数集内的两个实数，是可以按照原有的实数的大小关系来进行比较的。）

（4）共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，则称它们互为共轭复数。如3＋i与3－i互为共轭复数。

特殊地，一个实数a的共轭复数是它本身。如3的共轭复数为3。 （若一个复数的共轭复数是它本身，则这个数是否一定是实数呢？） （5）复数的表示方法：

（i）把a＋bi（a，b∈R）称为复数的代数表示方法。

（ii）注意到任何一个复数a＋bi都与一个有序数对（a，b）一一对应。而有序数对的集合M在引进直角坐标系后，与平面上的点集之间也是一一对应的。这样以来，复数也可以用复平面上的点来表示。例如，复数z＝3＋2i可用复平面上的点Z（3，2）来表示，这种表示复数的方法称为复数的几何表示。（数形结合的基础） （iii）复数的向量表示：

设复平面内的点Z（a，b）表示复数Z＝a＋bi（a，b∈R），O表示坐标原点，

连结OZ，若把有向线段OZ（由O指向Z）看成是向量，记作OZ，则复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量所成的集合是一一对应的。这样，就可用向量OZ表示复数 z＝a＋bi。 （6）复数的模zabia2b2，即向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）。 复数的模的性质： （i）z1z2z1z2

（ii）z1z1z2z2

（iii）zz （iv）zzz （v）z1z222z1z222z122z2

2 （vi）z1z2z1z2z1z2

通过学习，要了解引入虚数的原由，即数集扩充的必要性；要掌握复数的几种表示方法，

并能在此几者之间熟练转换；掌握复数的基本概念，对每一个新名词要切实理解其涵义，以保证今后能正确使用它进行表述。

【典型例题】

例1.

已知复数z2m23m2m2m2imR

根据下列条件，求m值。 （1）z是实数；（2）z是虚线；（3）z是纯虚数；（4）z＝0。 解：

2 （1）当mm20，即m1或m2时，z为实数； 2 （2）当mm20，即m1且m2时，z为虚数；

22m3m20（3）当2mm20

22m3m20（4）当2mm20

即m1时，z为纯虚数。2

即m2时，z0。

注：对于本题，只要概念清晰，就能顺利地列出以上各式，求出m值。

2已知x，yR，且x2x2yxi和3xy1i是共轭复数，求复数zxyi和z 例2.

分析：

共轭复数的涵义是：实部相等，而虚部互为相反数的两个复数。解此题，首先确认给定两个复数的实部、虚部，再按照共轭复数的定义列出关于x、y的方程组，进而求得x、y，从而z及z可得。

解：

2x0x1x2x3x依题意，得：或y0 2yxy1y0

zxyi0i或10i zi或1

例3.

即zi或1

设复数zabia，bR，且满足z3i5。

（1）求实数z；（2）求纯虚数z。 分析：

回想复数的模的定义及算法，以及纯虚数的涵义，则易列出关于确定复数z的a，b的方程组，进而求出z。

解：（1）zR

b0

z3ia3ia32125

a326，即z326 （2）z为纯虚数

a0，b0

z3i3b1i32b125

b3或5，即z3i或5i

例4. 已知zz1i，求复数z。

分析：

因为每一个复数z都可表为a＋bi的形式（a，b∈R）。欲求z，只需求a、b。为此，把z＝a＋bi代入已知等式中，便可根据复数相等的条件，列出关于a，b的方程组。 解：

设zabi，a，bR，则

aa2b2bi1iabiabi1i，即aa2b21a0由复数相等，得：b1 b1

zabi01ii

注：以上解法是利用复数相等的条件，把复数问题转化为实数问题求解的，也就是说，“复数相等”是“由虚化实”的桥梁。另外，注意到本题的条件式的特征，含有z、|z|，其他项为已知数，若能求出|z|，代入已知等式，则也能求出z。为此，需考虑复数模的性质作变形。 由zz1i得：zz1i，两边同时取模，得：

zz1i，即zz1212，解关于z的方程，得：

z1，代入原等式，得：z11i，zi （这是解决复数问题的一种基本方法。） 例5.

已知z1x2x21i，z2x2ai，对于任意实数x，都有z1z2，试求实数a的

取值范围。 分析：

欲求a的取值范围，则需利用条件|z1| > |z2|，列出关于a的不等式，但不等式中除了含a外，还含有x，因此应消去x。如何消x？不妨先尝试把这之前的工作做一下，再结合当时情形选择方法。 解：

z1x4x21，z2x2a

z1z2

x4x21x2a

两边平方，得：x4x21x2a，即2

12ax21a20

由题意可知，该不等式对任意实数x都成立。

若12a0，a11，此时有0x210恒成立。24

112a0若12a0，则有1a02412a1a202

可见a的取值范围为aa

1a1a21a1a212

例6. 设zxyix,yR，在复平面上画出满足下列条件的点Z的集合所表示的图形。

 （1）xR，且yR；（2）|x|4且0|y|2；（3）|z|2且xy2  解：（1）xR，且yR 点Z位于虚轴（y轴）的右侧，点Z的集合表示虚轴右侧的所有点构成的半平面。 yxO （2）|x|4，0|y|2 点Z的集合表示由直线x4，y2围成的矩形，如下图，包括边界AD、BC，但 不包括边界AB、CD，以及矩形内的实轴部分。 yDOAB 22（3）若|z|2，则有xy4，点Z在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上。而|z|2， 则Cx意味着点Z在该圆上以及该圆内部。 又xy2，它表示一条直线，过A（0，2），B（2，0）。 yA(0,2)xB(2,0)O 综上可知，|z|2且xy2的点Z的集合表示直线xy2被圆片|z|2截得的线段。 （包括端点A、B） 【模拟试题】 一. 选择题。

1. 若C、R、I分别表示复数集、实数集、纯虚数集（C为全集），则下列各式正确的是（ ） A. CRI

B. RI0

C. RCI

D. RI

2. 在复平面内，与z1i的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若x，yR，则“x0”是“xyi是纯虚数”的（ ）条件 A. 充分不必要 4. 设

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

zabia，bR，当a0时，复平面内与复数z对应的点Z的轨迹为（ ）

C. 原点

D. 虚轴与原点

A. 实轴 B. 虚轴

5. 复数

zabia，bR为零的充要条件是（ ）

C. a2b20

D. ab0

A. ab0

二. 填空题。

B. a2b20

6. 若x2yi与3xi互为共轭复数x，yR，则x=_______，y=________。

7. 若log3x4i5，则实数x=________。

8. 若复数zx12x1i的模小于10，则实数x的取值范围为_________。 x2yix，yR 9. 若虚数的模为

三. 解答题。

3，则yx的最大值为__________。

10. 已知z2z74i，求复数z。 11. 求实数，使复数

zcos2itg2tg2是：（1）实数；（2）纯虚数。

12. 已知|z|=2，求zi的最大值，以及取最大值时的z。

13. 设复数z满足z12i3，复数4zi1，求在复平面上对应的点P的轨迹。

【试题答案】

一. 选择题。 1. D 2. B 二. 填空题。

3. B

4. D

5. B

6. x1，y1 7.

x27或127

（由x23x且y1可解得） （由

log231x45解得log3x3进而求出x27或27）

24x，25 8.

（由

x122x1210解得）

9. 最大值为3

（代数法可解，但若采取几何法则更为简明：

22x2y3，它表示复平面上以（2，0）为圆心，以 由已知，得

3为半径的圆，而

yy0xx0，则表示圆上的点与原点连线的斜率，画图，易解。）

三. 解答题。 1. 解法一：设

zabia，bR，由已知，得：

22 abi2ab74i

a2a2b27b4 由复数相等的条件，得： 5a3a或3b4b4 解得：

z34i或z54i3

z2z74i

解法二：由已知，得：

z，两边取模，得：

2z7216，解关于|z|的方程，得：

13代入z2|z|74i，得：3

54i3

|z|5或|z|z34i或z2 2. 解：（1）若zR，则tgtg20

解得：tg1或tg2

或karct2gkZ4

（2）若z为纯虚数，则

kks0co2242tgtg20k且karctg2kZ4



k4kZ

3. 解法一：设 z2

zxyix，yR

x2y24

2zixyiixy1ix2y14yy12252y

22 注意到y4x4，从而2y2

可知当y2时，52y取最大值9，从而52y取最大值3 此时x0，即z2i

当z2i时，zi取最大值3

解法二：类比实数绝对值的几何意义，可知，方程|z|=2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而zi表示圆上的点到点A（0，1）的距离。如下图，连结AO并延长与圆交于点B（0，-2），显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到A的距离最大，最大值为3，而B（0，-2）表示复数z2i。当z2i时，zi的最大值为3。 yA (0,1)OBx 4. 解：设zabi，xyi（a，b，x，yR）

由4zi1，得：xyi4abii14a14b1i x1ax4a14由复数相等，可得y4b1by14 

又z12i3，2a12b2223，把a，b代入得：

y122x1129，整理，得：x3y7364 4

即在复平面上对应的点P的轨迹方程为x3y736 它表示以

3，722为圆心，以6为半径的圆。