高三数学高考二轮专题复习：推理和证明(教案+习题+解析)

和证明

考纲解读：

1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理。 2. 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

3. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和

特点.

4. 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程和特点.

考点回顾：

推理论证能力是高考考查的基本能力之一，它有机地渗透到高中课程中的各个章节，对本章内容的学习，应先掌握其基本概念，基本原理，在此基础上逐步提高自己的推理论证能力；预计2010年高考对推理与证明的考查主要是以不等式、立体几何等为载体，在选择题、填空题中出现，一般难度都比较小，或者以立体几何、解析几何、不等式、数列等为载体在解答题中出现，这样的问题属于综合性比较强的题目，相对来说，难度要大些.

基础知识过关：

推理： 1、 合情推理 （1）、 合情推理包括 推理、 推理. （2）、归纳推理： 称为归纳推理. 它是一种由 到 ，由 到 的推理. （3）、类比推理： 称为类比推理. 它是一种由 到 的推理. （4）、归纳推理的一般步骤是：① ，② . （5）、类比推理的一般步骤是：① ，② . 2、演绎推理：（1）、从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为演绎推理，它是一种 到 的推理. （2）、“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （已知的一般原理）； （所研究的特殊情况）； （根据一般原理，对特殊情况做出判断）. 证明：

1、直接证明： 和 是直接证明的两种基本方法.

2、一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 错误，从而证明了 成立。这种证明方法就叫 .这是一种 证明的方法. 3、反证法证明问题的一般步骤：（1） （2） （3） （4） . 4、反证法主要适用于下面两种情形：（1）要证的 之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；（2）如果从证明证明，需要分成多种情形进行 ，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形. 答案： 推理： 1、（1）归纳 类比 （2）由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理、

部分、 整体、 个别 、 一般

（3）由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理、 特殊 、 特殊

（4）通过观察个别情况发现某些相同性质 、 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.

（5）找出两类事物的相识性或一致性、 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）. 2、（1）一般 特殊

（2）大前提（M是P） 小前提（S是M） 结论（S是P） 证明：

1、综合 分析

2、假设 原命题 反证法 间接 3、（1）分清命题的条件和结论 （2）否定结论 （3）推导矛盾 （4）得出结论 4、（1）结论和条件 （2）分类讨论

高考题型归纳：

推理与证明

题型1.合情推理

归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理得到的结论未必是正确的，要想说明结论正确，就需要给出证明。

例1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立： 1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。 2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

分析：本题的实质是根据有限个点之间的弦的个数，来猜想一般规律，对于与正整数有关的有限个式子，通常利用归纳推理，归纳猜想出结论.

解析：（1）设

为个点可连的弦的条数，则

（2）

1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立； 2）若两个平面同时垂直第三个骗马，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。 点评：合情推理是一种当前提为真，结论可能为真的推理，因此一定要理解合情推理的必要性.

题型2：演绎推理

数学的证明主要通过演绎推理来证明的，一个复杂的数学命题的推理往往是由多个“三段论”构成的.在演绎推理中，只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正确的，则结论必定是正确的.

例2．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面

CDE是等边三角形，棱

EF//1BC2。

（1）证明FO//平面CDE； （2）设BC3CD，证明EO平面CDF.

分析：线面关系的证明主要根据线面平行、垂直定理以及面面平行、垂直定理，掌握好

基本订婚礼是解决此类问题的关键.

解析：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.

OM//在矩形ABCD中，则又

11BCEF//BC22，又，

EF//OM，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.FO//EM

FO平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，

CMDM,EMCD且

EM31CDBCEF22。

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCDM，所以EO⊥平面CDF.

点评：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和

推理论证能力.

题型3.综合法

综合法也是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性。 例3. 已知a，b，c为互不相等的实数，

求证：

.

分析：当用，这些不等式性质来证明一个严格不等式（不含“=”号）时，说明所应用的不等式性质中“=”号不成立的原因是必须的。如本例中“因为a，b，c互不相等，所以

，

，

至少有一个不能取‘=’号”，这是必须说明的，另外值得注意的是或，所以要上述三个不等式至少有一个不能取等号，必须a，b，c互不相等，在a，b，c互不相等的情况下，若矛盾，∴解析：∵

。

又a，b，c互不相等

，则只能，于是

，

，又若

，则

，这样

，就和题设

中的“=”号就不能取。

，

∴上面三式中至少有一个式子不能取“=”号， ∴∵同理∴

，∴

，

①

，

， ②

由①，②得。

点评：简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法。通过这种命题的证明可以培养学生的思维能力，也有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.

题型4.分析法

分析法是数学中常用到的一种直接证明方法。就证明程序来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法，具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证（应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提）.

例4. 已知，求证：.

分析：一般的，含有根号，绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法.

解析：要证只需证

∵即

，故只需证

从而只需证只要证

即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。 点评：分析法是一种执果索因的证明方法，这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。

一般来讲，分析法有两种证明途径：（1）由命题结论出发，找结论成立的充分条件，逐步推演下去；

（2）由命题结论出发，找结论成立的必要条件，逐步推演下去。

用分析法证题，是寻求不等式成立的充分条件而不是必要条件，分析过程没有必要“步步可逆”。

题型5.反证法

适宜用反证法证明的数学命题

（1）结论本身是以否定形式出现的一类命题；

（2）关于惟一性、存在性的命题； （3）结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； （4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题 例5．用反证法证明：如果a>b>0，那么

；

分析：本题应用反证法证明，更容易应用不等式的有关性质. 解析：（1）假设∵a>0，b>0，∴

，

=

不大于<

a.

，则或者

<

<，

,或者

<=

。

a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴

， ，

。

证法二（直接证法）∵a>b>0,∴a - b>0即∴

，∴

点评：1. 用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题。

2. 使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下： 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立 至少有n个 至多有n-1个 p 或q p且q 至多有n个 至少有n+1个 p 且q p或q 过关训练： 推理与证明（人教A版）

（一） 选择题

1.下列表述正确的是 （ ）

①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 A.①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 2.由

7598139bmb，与之间的大小关系为 ，……若a>b>0，则10811102521ama（ ）

A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定

2n1(1)3.设n是自然数，则(n1)的值 （ ）

18A.一定是零 B.不一定是零C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数

4.若a=32,b=65,c=76,则a、b、c的大小顺序为（ ） A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b

5.若a>b>0，则下列不等式中总成立的是 （ ） A.a11bb1112aba C.ab D.b B.

abaa1baa2bb6.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则 （ ）

A.两个三角形都是锐角三角形 B.两个三角形都是钝角三角形 C. D.

A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

7.下列推理是归纳推理的是 （ ）

A.A 、B为定点，动点P满足|PA+PB|=2a>|AB|,得P得轨迹为椭圆. B.由a11,an3n1，求出s1,s2,s3，猜出数列的前n项和sn的表达式.

x2y2C.由圆xyr的面积r，猜想出椭圆221的面积S=ab.

ab2222D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.

111,经计算可得，……23n357f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3.f(32).观察上述结果，可得出的一般结论是

2228.设

n

是自然数，f(n)=1（ ） A.f(2n)2n1n2n22n B.f(n) C.f(2) D.以上都不对 2229.所有的诗人都是文学家，有的文学家是诗人，张三是文学家，则下列选项正确的是

（ ）

A.张三是诗人 B.张三不是诗人

C.张三可能是诗人 D.张三不是文学家就是诗人

a2b210.设00,b>0,a b为常数，则的最小值为（ ） x1x22A.4ab B.2(ab) C.(ab) D.(ab)

2211.对于平面，和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ） A.m,mn,则n// B.m//,n//,则m//n

C.m,n//,则m//n D.若m、n与成等角，则m//n

12.设a、b、c，则a（-，0）111,b,c （ ） bcaA.都不大于-2 B.都不小于-2

C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 （二） 填空题

13.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 14．已知数列

{an}满足：

a4n31,a4n10,a2nan,nN,则

a2009________；

a2014=_________.

215、将正⊿ABC分割成n（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2， f(3)= ,f(n)= . 16．观察下列等式：

15C5C5232，

，

，

，

159C9C9C9272315913C13C13C13C1321125

1591317C17C17C17C17C1721527………

由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN159C4n1C4n1C4n14n1C4n1*，

. （三） 解答题

17.设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么位置？

,5,6,7}，18. 记集合T{0,1,2,3,4（1）若将集合

ai(i1,2,3,4)是T中可重复选取的元素．

中所有元素按从小到

M{a183a282a38a4aiT,i1,2,3,4}大的顺序排列，求第2008个数所对应的ai(i1,2,3,4)的值；

N{（2）若将集合

a1a2a3a4234aiT,i1,2,3,4}8888中所有元素按从大到小的顺序

排列，求第2008个数所对应的ai(i1,2,3,4)的值．

19.a,b是两个不相等的正数，且满足abab，求所有可能的整数c,使得c9ab.

332222222220.用三段论方法证明：abbcca≥2(abc)．

ba21.已知命题：“若数列n是等比数列，且an0，则数列nna1a2an(nN)也是等比

数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

22.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用

xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x1＞0.

xx不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n成正比，死亡量与n成正比，

这些比例系数依次为正常数a,b,c. （Ⅰ）求

2xn1与

xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a,b,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

答案与解析

一、 选择

1. 解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是特

殊到特殊的推理. 答案:D

2. 解：观察题设规律，易得答案：B

3. 解：n为偶数时，值为0，n为奇数时，原式=(n1)(n1)*2，由于n+1与n-1都是

偶数，且偶数 答案：C 4. 解

：

因

为

bmb. ama18n1n11n1n1、是两个连续自然数，所以(n1)(n1)*2=*一定是22822a132，

b165，

c176，且

76>65>32>0,所以a111>b>c

326576答案：A

5. 解：因为a>b>0,所以答案：C

6. 解：由条件可知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0 ，则A1B1C1是锐角三角形，

假设A2B2C2也是锐角三角形，则sinA2=cosA1=sin(

1111，又a>b,所以ab. baba2A1),即A22A1,同理

B22B1,C22C1,则可得A2B2C2=

,这与三角形内角和为180°相矛盾，2所以A2B2C2是钝角三角形. 答案：D

7. 解：从s1,s2,s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理. 答案：B 8. 解：由f(2)32232 ,f(4)f(22)f(8)f(23)2224252n25n，f(32)f(2) 由此推知f(2) f(16)f(24)222答案：C

9. 解：这是一种简单的三段式的逻辑推理，如果直接从已知条件入手，张三是文学家，而

有的文学家不是诗人，所以张三可能是诗人也可能不是，故选项A、B不正确；选项的D的错误在于文学家和诗人的关系并非是非此即彼的. 答案：C

a2b2a2(1x)b2x2)(x1x)=ab2a22abb2 10. 解：(x1xx1x=(ab) 答案：C

11.解：对于平面和共面的直线m、n，真命题是m,n//,则m//n 答案：C

2111111bc=（a）+（b）+（c）6 bcaabc（因为a、b、c），所以这三个数不可能都大于-2. （-，0）12.a答案：C 二、 填空

13.解： 考查类比的方法.体积比为1：8 答案：1：8

14.解：本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得

a2009a450331，

a2014a21007a1007a425210. ∴应填1，0.

答案：1 ， 0

15.解：当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知

abc1,x1x2ab,y1y2bc,z1z2ca

11110g而f(3)abcx1x2y1y2z1z2g13233 即

进一步可求得f(4)5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)有10个

a(n1)数相加 ，f(4)中有15个数相加….，若f(n1)中有n1个数相加，可得f(n)中有(an1n1)个数相加，且由

f(n)f(n1)可得

n1,3所以

n1nn13211(n1)(n2)3333336= 101,(n1)(n2)答案：36

116.解：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有

数

分

别

为

n，二项指

，

24n1,22n1，

n因

此对于

nN*159C4n1C4n1C4n14n12n14n1212C4n1答案：

24n1122n1n

三、解答题

17.解:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k

名。用下面的方法可得k＝1600。

a183a282a38a4a1a2a3a418.解：（1）记=，它表示一个８进制数；Ｍ中最小

值为0，第2008个数在十进制数中为２００７， 将2007化为８进制数即为3727，所以

a13,a27,a32,a47．

a1a2a3a41234＝4(a183a282a38a4)888（２）因为88，

括号内表示的8进制数，其最大值为7777；

32∵ 7777＝7878787＝4095，从大到小排列，第２００８个数为４０９５

－２００８＋１＝２０８８ 因为2008＝4050，所以

a14,a20,a35,a40．

233222219.解：由abab得aabbab,所以ab(ab)(ab)0,

14(ab)2ab(ab)2(ab)1ab3. 由此得到ab1.又因为4,故4tab(1,)3 则abt2t. 又因为ab(ab)(ab), 令

22tt1当时，t关于t单调递增，所以

0ab49，09ab4.

因此 c可以取1，2，3.

22222220.证明：因为ab≥2ab，所以2(ab)≥ab2ab（此处省略了大前提），

所以a2b2≥22ab≥(ab)22（两次省略了大前提，小前提）， 22(bc)c2a2(ca)22，，

同理，b2c2≥三式相加得a2b2b2c2c2a2≥2(abc)．

（省略了大前提，小前提）

21.解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列则数列

证明如下：

an是等差数列，

bna1a2nan也是等差数列．

n(n1)dd2a1(n1)n2，

a设等差数列n的公差为d，则

bna1a2nanna1db所以数列n是以a1为首项，2为公差的等差数列．

22.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

xn(abcxn)恒等于0,nN*,所以abcx10.即x1ab.c 因为x1>0，

所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且

x1abc时，每年年初鱼群的总量保持不变.