𝑥sin𝑥𝑥
，c＝sin√𝑥√𝑥，则a，b，c的大小关系为________．
π
π2π
3
16.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(𝜔>0且|𝜑|<)在区间[,
26－1，则f(4)＝________.
π
]上是单调递减函数，且函数从1减小到
三、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)
17.一条双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的
2𝑥2
两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
18.点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程. 19.求值：cos40°+sin50°(1+√3tan10°)sin70°√1+cos40°.
20.已知函数f(x)＝|x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|·f(). 𝑎
21.如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂
𝑎
𝑏𝑥2
𝑦2
𝑏
线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
𝑐
𝑎2
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程； (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
答案解析
1.【答案】A
【解析】如图，过O作OH⊥平面ABCD于H，
∵边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中点， ∴H点在AC的中点上且OHAM，∴四边形AMOH是平行四边形，∴OM＝AH. 又AC＝2AH＝6√2，∴OM＝AH＝3√2.故选A. 2.【答案】B
【解析】对于①，f(x)＝x－，f
＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f
＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．综上可知，满
足“倒负”变换的函数是①③. 3.【答案】B
⃗ ＝λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】∵若A，B，C三点共线，∴⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵𝑥=𝜆,
∴xy＝1，故选B. 即xa＋b＝λ(a＋yb)，∴{
1=𝜆𝑦,4.【答案】B
【解析】函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，所以2≥1，即a≥2，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，即g′(x)＝2x－𝑥≥0，当x∈(1,2)，即a≤2x2恒成立，即a≤2，所以同时满足两个条件的a＝2，故选B. 5.【答案】B
【解析】由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1.① 将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.② ①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1.
𝑎
𝑎
6.【答案】A
𝑥=−1−𝑡,
【解析】极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为x2＋y2＝x为圆的方程，参数方程{化为普
𝑦=2+3𝑡通方程为3x＋y＋1＝0为直线的方程．故选A. 7.【答案】A
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2b𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ＋3c𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 【解析】由4a𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋3c𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2b𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2b(⃗⃗⃗⃗⃗ －𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )＝2b⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2b𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得4a𝐵𝐶𝐵𝐴𝐴𝐵所以4a＝3c＝2b. 由余弦定理得cosB＝8.【答案】C
【解析】“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 9.【答案】B
【解析】先把b的值赋给中间变量c，这样c＝2 011，再把a的值赋给变量b，这样b＝2 010，把c的值赋给变量b，这样a＝2 011. 10.【答案】B
【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取20＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取20＝12(人)．故选B. 11.【答案】B
【解析】根据分段函数可得确.
12.【答案】C
【解析】由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，分段间隔数k＝𝑛＝20＝695. 则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×13.【答案】400
【解析】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得40＝𝑥
40−𝑦40𝑁
100050
480
240
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
＝
𝑏242
+𝑏−𝑏249
𝑏22··𝑏23
＝－24.
11
，则，所以B正
＝20，
，解得y＝40－x，所以面积
S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400. 14.【答案】(
,+)
【解析】因为y＝log5x为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为(,+).
15.【答案】a>b>c 【解析】设y＝
sin𝑥𝑥
，则y′＝
𝑥cos𝑥−sin𝑥
𝑥2，
令t(x)＝xcosx－sinx，t′＝－xsinx， ∵0∴函数t(x)＝xcosx－sinx在(0,1)上单调递减， 又t(0)＝0，t(1)＝cos 1－sin 1<0， ∴y′<0对0x,∴又在0𝑥sin𝑥𝑥
在0sin𝑥sin√𝑥>，∴b>c， 𝑥√𝑥sin𝑥<1，∴√sin𝑥>𝑥
sin𝑥𝑥
，∴a>b，∴a>b>c.
【解析】由题意可得，函数f(x)的最小正周期为2×(3−6)＝π， 即𝜔＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
由sin(2×6+𝜑)＝1，|φ|<2可得φ＝6，∴f(x)＝sin(2𝑥+6)， ∴f()＝sin(+)＝cos6＝√3.
426
2
π
π
π
π
π
π
π
π
2π
2ππ
17.【答案】(1)由A1，A2为双曲线的左、右顶点，得A1(－√2，0)，A2(√2，0)， 则𝑙𝐴1𝑃：y＝𝑥1+√2(x＋√2)，𝑙𝐴2𝑄：y＝𝑥1−√2(x－√2)， 两式相乘，得y＝𝑥2−2(x2－2)，又P(x1，y1)在双曲线上，
1
2𝑦1112𝑥2221(2)yx所以－𝑦1＝，即𝑥2−2＝2，故＝－2－，即＋y2＝1.
22
2𝑥1
1
𝑦1−𝑦12
2−𝑦1
(2)设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2知，l2：y＝－𝑘x＋h. 将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1，得＋(kx＋h)2＝1，
2
2
𝑥2
𝑥2
1
即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.
2222
hhkk同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2·＝，消去得＝，即＝1， 22𝑘𝑘
11
从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝√3. 【解析】
18.【答案】已知圆为(x－3)2＋y2＝，其圆心为C(3,0)，半径为8， 由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r.
又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|＝8－r，
从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.
根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆，
并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7， 因此M点的轨迹方程为＋＝1.
16
7𝑥2
𝑦2
【解析】 19.【答案】＝＝cos40°+sin50°(1+√3tan10°)sin70°√1+cos40°cos10°+√3sin10°)
cos10°＝)cos40°+sin50°(1+√3cos10°sin70°√1+cos40°2sin40°cos10°sin10°
cos40°+sin50°(
＝cos40°+sin50°
sin70°√1+cos40°cos40°+
2sin40°cos40°
cos10°sin70°√1+cos40° ＝2cos220°sin70°√1+cos40°＝sin70°√1+cos40°＝cos40°+12cos220°−1+1sin70°√1+2cos220°−1√2cos220°＝√2.
【解析】
−2𝑥−2,𝑥<−3,
20.【答案】(1)f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝{4,−3≤𝑥≤1,
2𝑥+2,𝑥>1.当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5； 当－3≤x≤1时，则f(x)≥8不成立； 当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3. 所以原不等式的解集为{x|x≤－5或x≥3}. (2)f(ab)>|a|f()，即|ab－1|>|a－b|，
𝑎因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0， 所以|ab－1|>|a－b|，故所证不等式成立. 【解析】
21.【答案】(1)方法一 由条件知，P(－c，)，
𝑎𝑏2
𝑏
故直线PF2的斜率为kPF2＝
𝑏2−0𝑎−𝑐−𝑐
＝－𝑏2
2𝑎𝑐
.
2𝑎𝑐
2𝑎𝑐2𝑏2因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝𝑏2x－
𝑎2𝑐
，故Q(，2a)．
𝑐𝑥24
𝑦23
𝑎2
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为＋＝1. 方法二 设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，)．
𝑐
𝑎
𝑎2
𝑏2
因为△PF1F2∽△F2MQ，所以|𝐹𝑀|＝|𝑀𝑄|，即2
|𝑃𝐹1||𝐹1𝐹2|
𝑏2𝑎𝑎2𝑐−𝑐＝|𝑀𝑄|，解得|MQ|＝2a.
|2𝑐|
𝑎=2,𝑥2𝑦2=4,
所以{𝑐解得{故椭圆方程为＋＝1.
43𝑐=1,2𝑎=4,(2)直线PQ的方程为𝑏2−2𝑎＝
𝑎
𝑎2
𝑦−2𝑎
𝑐−
−𝑐−
𝑎2
𝑐𝑎2𝑐，即y＝𝑎x＋a.
𝑏2𝑎
𝑐
将上式代入2＋2＝1，得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝.
𝑎
𝑏
𝑥2𝑦2
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点． 【解析】
