中酉俘彳 辅导 ２０１５年６ 浅谈高中数学中转化思想的应用 ＠冯教煊 摘要：转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题 对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再 的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问 运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解；反之，当 题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。通常有“数”与“形”的相 一般性的问题比其特殊性的问题易解决时，可先解决其一般性的问题， 互转化、一般与特殊互化、生疏问题向熟悉问题转化、实际问题转化为数 从而导致特殊性的问题的解决。 学问题等，本文通过例题讲述转化思想在高中数学中的解题应用，并说 例３：定义在区问（一ａ。，＋。。）的奇函数ｆ（Ｘ）为增函数，偶函数ｇ（ｘ） 明这种思想解题的有效性与优越性。 在区间【０，＋。。）的图象与ｆ（ｘ）的图象重合，设ａ＞ｂ＞ｃ，给出下列不等 关键词：转化思想；数学解题；运用 式，其中正确的有（） 著名数学家和数学教育学家Ｇ・波利亚曾说：“如果不‘变化问题’ （１）ｆ（ｂ）一ｆ（一ａ）＞ｇ（８）一ｇ（一ｂ） 我们几乎不能有什么进展。”把求解的问题转化为在已有知识范围内可 （２）ｆ（ｂ）一ｆ（一ａ）＜ｇ（ａ）一ｇ（一ｂ） 解的问题，是数学解题中基本的思想方法之一，即转化的数学思想方法。 （３）ｆ（ａ）一ｆ（一ｂ）＞ｇ（ｂ）一ｇ（一ａ） 著名的数学家，莫斯科大学教授ｃ．Ａ．雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹 （４）ｆ（ａ）一ｆ（一ｂ）＜ｇ（ｂ）一ｇ（一ａ） 克参赛者发表《什么叫解题＞的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为 Ａ、（１）与（４）Ｂ、（２）与（３）Ｃ、（１）与（３）Ｄ、（２）与（４） 已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的 分析：用特殊法解某些选择题有快速简洁，化繁为简的功效。本题 化归转换过程。 就可设ｆ（ｘ）－－＇Ｘ，ｇ（ｘ）＝Ｉｘｌ，又设ａ＝２，ｂ＝１，可以得出结论（１）与（３）正 些学生在平时学习数学很认真，确，答案选ｃ。 一可做题却不顺利，这将直接影响 到他们学习数学的积极性。出现这种情况的根本原因就是不会灵活应 三、生疏问题向熟悉问题转化 用数学知识，不会实现问题的转化。要顺利地实现问题的转化，首先是 例４解方醐 ｘ（ｘ＋对问题的情景和设问的方式全薅审视，提取有效的信息，弄清问题是按 ４ １＋） 照什么观点和方法将知识组织起来的，问题所要考查的目的是什么？其 分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们 次是对问题所涉及到的知识要有整体把握，找出问题的焦点，并自觉地 所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为 一 ． 纳入已有的知识系统中去思考，去探寻突破口。最后通过变换问题的条 件或结论的形式，转化为熟悉的问题加以解决。下面结合本人几年来的 ｛（ ｘ２ ： ；？ ５） ＝）１：４４２４，再利用换元法，问题就迎刃而解了。 教学实践，浅谈高中数学解题中常见的基本“转化 思想类型和“转化” 解：设ｘ ＋ｘ：ｕ，３ｘ＋５ｙ： 思想方法。 一原方程组可化为｛： ： 解之，僭１ ｕ：＝ ｌ 、“数”与“形”的相互转化 “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学的重要表现 ｉ即￣＿ｒｔ３ｘ２ ＋ｘ＝１２形式，通过对已知不等式函数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以 ＋５ｙ：ｌ２解之，得｛ ：＝４－．８４￣【ｙｘｚ２：＝３。．６ 形定数，可以避繁就简。 四、实际问题转化为数学问题 例１、设ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ，求证：对于任意ｐ，ｑＥＲ， （ａ—ｐ） ＋（ｂ—ｑ） 重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改 ＋￣／（ｃ—Ｐ） ＋（ｄ—ｑ） ≥ （ａ—ｃ） ＋（ｂ—ｄ） 的一个热点，已成为我国教育改革的一个指导思想，也是新大纲强调的 重点之一。新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进，理论联系实 分析：把ＩＡｃＩ．／（ａ—ｐ） ＋（ｂ—ｑ） 看成是点Ａ（ａ，ｂ）与点ｃ（Ｐ， 际是编写教材的重要原则之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和 ｑ）之间的距离； 生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和 同理：ＩＢｃＩ＝ （ｃ—Ｐ） ＋（ｄ—ｑ） 是点Ｂ（ｃ，ｄ）与点ｃ（Ｐ，ｑ）之间 解决问题的能力。 的距离； 例５某租赁公司拥有汽车１００辆．当每辆车的月租金为３０００元时， ＩＡＢ Ｉ：￣／（ａ—ｃ） ＋（ｂ—ｄ） 是点Ａ（ａ，ｂ）与点Ｂ（ｃ，ｄ）之间的 可全部租出．当每辆车的月租金每增加５０元时，未租出的车将会增加一 距离； 辆．租出的车每辆每月需要维护费１５０元，未租出的车每辆每月需要维护 因为对于平面上的三点Ａ、Ｂ、ｃ总有ｌＡＣＩ＋ＩＢＣＩ≥ＩＡＢｌ 费５Ｏ元． 所 以 ￣／（ａ—Ｐ） ＋（ｂ—ｑ） ＋ （ｃ—Ｐ） ＋（ｄ—ｑ） （１）当每辆车的月租金定为３６００元时，能租出多少辆车？ （２）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最 ≥、 ＝ 大月收益是多少？ 例２向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止．如果注水量Ｖ与水深ｈ的 解：（１）当每辆车的月租金定为３６００元时，未租出的车辆数为： 函数关系的图象如图１所示，那么水瓶的形状是（） ３６００ －３０００——一：１２，所以这时租出了８８辆车． Ｃ７ ｊＣ｝ （２）设每辆车的月租金定为ｘ元，则租赁公司的月收益为：ｆ（ｘ）＝ （１００一—ｘ－ ３０００八．，Ｘ－１５０）一 ｘ５０，整理得Ｉｆ（ｘ）＝一嘉＋１６２ｘ一 Ｏ ２１０００＝一去（ｘ一４０５０） ＋３０７０５０．所以，当ｘ＝４０５０时，ｆ（ｘ）最大，其最 ＪＵ 大值为ｆ（４ｏ５ｏ）＝３０７０５０．即当每辆车的月租金定为４０５０元时，租赁公 解析：如图２，取水深ｈ＝芋时，注水量Ｖ：Ｖ 丁Ｖｏ，即水深至一半 司的月收益最大，最大收益为３０７０５０元． 本题贴近生活，准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并 时，实际注水量大于水瓶总水量之半．Ａ中Ｖ，‘丁Ｖｏｃ、Ｄ中Ｖ ＝丁Ｖｏ加以解决． ，，故 例６用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的 排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ． 效果作如下假定：用１个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的÷，用 ● 水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用ｘ单位量 的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之 比为函数ｆ（ｘ）． （１）试规定ｆ（０）的值，并解释其实际意义； （２）试根据假定写出函数ｆ（Ｘ）应该满足的条件和具有的性质； Ｉ 拿ｌ ２ １ 二、一般与特殊互化 （３）设ｆ（ｘ）＝ １＋ｘ一 ，现有ａ（ａ＞０）单位量的水，可以清洗一次，也 华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是 可以把水平均分成２份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上 学好数学的决窍。” 残留的农药量比较少？说明理由． ・１８９・ 中，；ｆ 拿彳 ．辅导 浅谈高中英语教学中的问题与决策 ＠谢艳艳 摘要：英语教学需要我们每一个英语教师付出艰辛的努力，尤其要 注重实效，我们的学生才能有更多收获。 关键词：高中英语；教学方式；问题与策略 中学英语教学中存在的问题 ｌ＿中学英语教材的教学目标不够明晰 教学目标是指在教学活动 中所要达到的预期效果，是衡量教学任务是否完成的重要指标之一。然 而现实情况是，很多英语老师并不关注教学目标制定得是否合理，也不 管教学效果是否达到了预期值，只管上完一节一节的课。为了让学生考 出好的分数，高的分数，很多老师就是拼命的要学生背单词、背语法，导 致学生产生厌学情绪。长此以往，能够继续坚持下来的学生，读出来也 基本都是哑巴英语，应付考试还可以，实际运用能力就完全不行。这与 新课改的目标是背道而驰的。 ２．中学教师对新的教学标准不能很好的吸收，导致教师在教学行动 上的迟缓与无力无论是在传统的教学模式下还是在新型的教学理念 下，教师始终处于主导地位，教师的教学能力与教学方法直接影响到学 生的学习。由于我国的英语教育发展的时间并不是很长，因而，很多英 语教师是在自身的学习中展开教学的，他们的教学方法中也存在着很多 不足，对于新的课程标准不能够全面的吸收与消化。受传统教学模式的 一、影响，大部分英语教师的教学思想仍旧不能摆脱应试教育的阴影，他们 把考试与分数看得十分重要，因而忽略了学生的素质教育，把过多钓时 间放到了知识点的学习与巩固、单词记忆等方面，致使学生的语言运用 能力与口语表达能力没有得到锻炼与培养。有很多教师由于对新型教 学标准的接受不全面，不能将学生的学习成绩与素质教育联系在一起， 导致对学生的指导不够全面。 ３．学生学习兴趣无法达到教学要求在开展英语教学活动的时候， 可以对学生学习英语的态度进行相应的调查，通过调查显示，其中４２％ 学生认为英语学习是一种负担，５８％学生承认教学过程中，教师主要是 以汉语为主，没有创建一定的语言环境。在英语作业方面，大概有２５％ 学生是应付了事，也没有进行相应的课外阅读。因为缺少相应的语言环 境与学习兴趣，学生在学习英语知识的时候缺乏了学习的自信心。因 此，教师在开展英语教学活动的时候，一定要有效激发学生的学习兴趣， 树立学习的自信心，创建一定的语言环境，促进英语教学活动的全面 展开。 二、中学英语教学的对策 １．创设语境，努力营造学习氛围在目前的环境下，课堂仍然是学 生学习英语的最主要的方式和途径。为此教师必须充分利用课堂上的 环境，为学生创造一个良好的学习英语的氛围。教师在课堂教学中应尽 量做到用全英语组织教学。中学生经过初中的磨砺，有了一定量的词汇 积累，教师用英语进行教学除了能锻炼学生的英语听力外还能更好的为 学生提供一种语境，暂时忘掉母语。让学生对学习英语有好奇心和 兴趣。 ２．以口语为教学重点，培养学生多方面的交际能力 现在许多英语 考试的试题中都会有补全情景对话的题目，既然试卷中会注重这一方面 的培养，就说明英语中运用口语交际的重要性。运用英语交际就是将所 积累的丰富的词汇和所学的语法知识综合起来用“嘴”向别人表达出来。 之所以英语教学的质量总是难以提高，很大一部分的原因是学生受到母 语的影响，除了课上教师会运用一些英语来教学以外，学生在课余生活 解：（１）ｆ（Ｏ）＝１表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样． （２）函数ｆ（Ｘ）应该满足的条件和具有的性质是：ｆ（０）＝１，ｆ（１） ： 中很难张开嘴去用英语对话，是因为面对的都是中国人，有些学生认为 没有必要在生活中也说英语，而且，有些教师在运用全英语教学的时候 觉得很难完成教学任务，就索性用中文进行教授，这样的教学方式以及 学生的学习态度都会对以后学生运用英语交际造成困扰。所以此时，教 师应该时刻以新课程改革的标准去要求自己，本着以学生为课堂中心的 教学原则，尽可能地与学生用英语进行一些简单的沟通，去督促，去强迫 学生张嘴说，加强口语教学，就会收到更好的教学成果。教师一定要牢 牢把握住“口语”这个教学重点，再在这个基础之上发展学生各个方面的 交际能力。 ３．加强联系英语实际。增强学生学习的自信心 在中学教学阶段， 英语是一门不可缺少的基础课程。随着经济全球化的不断发展，英语的 重要性越来越大。在中学阶段是培养学生全面素质的重要时期，更是增 强语言能力的最佳阶段。所以，在开展英语教学活动时，一定要充分考 虑学生学习的兴趣以及未来的发展需求，加强对学生语言实践能力的培 养。可以增设一些兴趣英语、社交礼仪、口语听力等英语课外辅导课程， 培养学生学习英语知识的兴趣。由于部分学生的英语基础相对不高，学 习兴趣也不高，并且一看到英语书就反感，因此，在开展教学活动时，教 师要尽可能降低学习的难度与要求，并且在学生现有英语知识体系的基 础上进行一定的扩展，增加学生的英语知识。 ４．多重评价，鼓励合作在平时的课堂上，总是那些成绩好、性格活 泼的学生会成为活动的主角，而有些性格内向的学生，很少大声发表自 己的意见，难有表现的机会，课堂成了“强者”的课堂。如果教师、学校不 重视这点，这部分学生就会逐渐失去参与的信心。面对这样的情况，我 们必须要采取对策。我们可以让小组相对固定下来，每个小组分１…２ ３ ４号成员，让他们分工明确，让每位小组成员都承担一定的责任，从而促 使他们参与到学习活动中来。还可以利用学生的集体观念来激励学生 的合作兴趣和意识，保证小组合作学习取得理想的效果。这也要求我们 需要改变传统的评价方式，形成多方位、多角度、多样的评价体系，采取 “兵练兵”、“兵教兵”的方式，鼓励成员之间互相合作，由鼓励个人竞争转 变为激励小组集体合作，不仅要注重学生学习结果的评价，更要注意合 作学习过程，并把小组合作表现列为评价的主要指标之一。这样，在以 小组成员为整体的激励性活动中，带动全体同学积极参与，鼓励对自己 团队集体荣誉而出力。既培养了他们团队合作的精神，又培养了他们的 竞争意识。 语言的学习是一个相对比较长期的工程，作为英语教师一定不要出 现拔苗助长或者心浮气躁的情况，在实际教学过程中，要加强教学反思， 对教学方法进行相应的调整，打破传统的教学模式，采取多样化的教学 方法，投入更多的时间和精力，加强英语实践教学的开展，这样才能促进 教学活动的全面展开，提高教学质量。 参考文献： ［Ｉ］鲍敏敏．浅谈高中英语阅读教学的问题与决策［Ｊ】．文理导航旬刊， ２０１０，（２）：３３—３４． ［２］常彩凤．浅谈高中英语语言点教学存在的问题及应对策略［Ｊ］．教师， ２０１２，（２０）：６３． （作者单位：江西省丰城中学３３１１００） 因此，当ａ＞２ 时，清洗两次后残留的农药量较少； 当ａ＝２ 时，两种清洗方法具有相同的效果； ２’ 在［０，十 ）上 ｘ）单调递减，且０＜ｆ（Ｘ）≤１． （。）设仅清洗一次，残留的农药量为ｆｌ 农药量为 ，清洗两次后，残留的 当０＜ａ＜２ 时，一次清洗残留的农药量较少． 笛卡尔说过：“数学是使人变聪明的一门学科”．数学思想方法是数 学的精髓，是数学精神和科学世界观的重要组成部分，需要长期培养，经 常应用，潜移默化，转化的数学思想方法的培养也是如此． 参考文献： 高】＝ ，… 音一 一一— ［１］杨训松．转化思想在中学数学中的解题应用 【２］普通高中课程标准实验教科书数学必修２（人教Ａ版）．人民教育出 版社 ＝ ２ 于是，当ａ＞２ ＿时，ｆＩ＞ｆ２；当８＝２ 埘，ｆｌ＝ ；当０＜ａ（２ 耐，ｆｌ （１＋ａ２）（４＋ａ２） ‘ （ｆ＾． ［３］韦国昌．数学解题变换几种思考方法例析 【４］高玉根．中学数学教学中的转化思想与转化方法 （作者单位：浙江省瑞安市第十中学３２５２００） ・１９０・
