浑江区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

浑江区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

2． 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

3． 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．12 B．6 C．4 D．2

4． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）

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A．7 B．15 C．31 D．63

5． 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ）

1346 B． C． D． 77776． 函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）

2x) C．y2sin() D．y2sin(2x) A．y2sin(2x) B．y2sin(2x33233A．

7． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

A． = B．，c=

∥ C． D．

8． 若a=ln2，b=5xdx，则a，b，c的大小关系（ ）

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A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a

9． 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（ ） A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6

10．已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ ） A．8

B．﹣8 C．11

D．﹣11

，则

C．36

（ ）

D．48

11．在等差数列A．12

中，已知B．24

12．设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a42(a2a3)，则 A．

S7（ ） a4714 B． C．7 D．14 45【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，意在考查运算求解能力.

二、填空题

13．已知z是复数，且|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值为 ．

14．已知tan()3，tan(15．如果椭圆

+

4)2，那么tan .

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．

16．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（2﹣x），方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数 ． 17．设MP和OM分别是角

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：

①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．

1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m . 18．在空间直角坐标系中，设A(m，三、解答题

19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．

（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．

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20．已知函数fxxbxalnx.

2（1）当函数fx在点1,f1处的切线方程为y5x50，求函数fx的解析式； （2）在（1）的条件下，若x0是函数fx的零点，且x0n,n1,nN，求的值；

*（3）当a1时，函数fx有两个零点x1,x2x1x2，且x0

x1x2，求证：fx00． 221．E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，如图：等腰梯形ABCD，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=（1）证明：平面AED⊥平面BCDE； （2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

．

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22．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

23．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x﹣||sinx﹣||的最大值为0，最小值为﹣4，且与的夹角为45°，求|+|．

24．已知数列{an}满足a1=﹣1，an+1=（Ⅰ）证明：数列{（Ⅱ）令bn=

+}是等比数列；

（n∈N）．

*

，数列{bn}的前n项和为Sn．

①证明：bn+1+bn+2+…+b2n＜

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②证明：当n≥2时，Sn2＞2（

++…+）

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浑江区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：几何体如图所示，则V=

，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．

2． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=y=2x﹣e，

2

|x|

2|x|2|x|

∴f（﹣x）=2（﹣x）﹣e﹣=2x﹣e，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e∈（0，1），故排除A，B；

2

2x

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x﹣e， x

∴f′（x）=4x﹣e=0有解，

2|x|

故函数y=2x﹣e在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

3． 【答案】D

【解析】V正四棱锥=24． 【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6

131(2+1)22． 2第 7 页，共 19 页

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不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

5． 【答案】A

【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率P6． 【答案】B 【解析】

31． 2C77考点：三角函数f(x)Asin(x)的图象与性质． 7． 【答案】D

【解析】解：由图可知，故选D．

，但

不共线，故

，

【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．

8． 【答案】C 【解析】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即， ，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a． 故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．

9． 【答案】D

【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6， ∵函数f（x）是偶函数，

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∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D

10．【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q， 因为a2=2，a3=﹣4， 所以q=

=

=﹣2，

所以a1=﹣1， 根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．

11．【答案】B 【解析】，所以

答案：B

12．【答案】C.

，故选B

=﹣11．

【解析】根据等差数列的性质，a42(a2a3)a13d2(a，)化简得a1d，∴1da12dS7a47a176d14d27，故选C.

a13d2d

二、填空题

13．【答案】 6 ．

【解析】解：∵|z|=1，

|z﹣3+4i|=|z﹣（3﹣4i）|≤|z|+|3﹣4i|=1+∴|z﹣3+4i|的最大值为6， 故答案为：6．

=1+5=6，

【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．

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14．【答案】【解析】

4 3试题分析：由tan(4)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan134． 131333考点：两角和与差的正切公式． 15．【答案】 x+4y﹣5=0 ． 【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，

22

把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x+4y=36，

得，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0． 故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．

16．【答案】 2016 ．

【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），

∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）． ∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为2的周期函数， ∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，

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∴由对称性得，f（）=f（）=0，

∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点， ∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016， 故答案为：2016．

17．【答案】 ②

【解析】解：由MP，OM分别为角∵

∴OM＜0＜MP． 故答案为：②．

的正弦线、余弦线，如图， ，

【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．

18．【答案】1 【解析】 试题分析：AB

m1211231222，解得：m1，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]， 由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，

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任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，

故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点． 由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点， 又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立， ∴[1，3]⊆[1，c]， 即c≥3

2

（Ⅱ）函数f（x）=x+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，

即f（x）max﹣f（x）min≤4，

记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4． 当|当|﹣f（

|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾； |≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=（1+

2

）≤4，

）=

解得：|b|≤2， 即﹣2≤b≤2，

综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

220．【答案】（1）fxxx6lnx；（2）n3；（3）证明见解析. 【解析】

试

题解析： （1）f'(x)2xbf'(1)2ba5b1a，所以， xf(1)1b0a62∴函数f(x)的解析式为f(x)xx6lnx(x0)；

62x2x6（2）f(x)xx6lnxf'(x)2x1，

xx2第 12 页，共 19 页

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因为函数f(x)的定义域为x0，

(2x3)(x2)30x或x2，

x2当x(0,2)时，f'(x)0，f(x)单调递减，

令f'(x)当x(2,)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增， 且函数f(x)的定义域为x0，

（3）当a1时，函数f(x)xbxlnx，

2

2f(x1)x12bx1lnx10，f(x2)x2bx2lnx20，

lnx1lnx222两式相减可得x1(x1x2)． x2b(x1x2)lnx1lnx20，bx1x2xx11f'(x)2xb，f'(x0)2x0b，因为x012，

x2x0xx2lnx1lnx22(x1x2)所以f'(x0)21 2x1x2x1x2x221lnx2lnx12(x2x1)211x2x1

lnxlnxln12x2x2x1x1x2x2x1x1x2x2x1x11x1第 13 页，共 19 页

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设

2(t1)x2， t1，h(t)lntt1x114(t1)24t(t1)2∴h'(t)0， 222t(t1)t(t1)t(t1)所以h(t)在(1,)上为增函数，且h(1)0，

1∴h(t)0，又0，所以f'(x0)0．

x2x1考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 21．【答案】

【解析】（1）证明：取ED的中点为O， 由题意可得△AED为等边三角形，

，

，

222

∴AC=AO+OC，AO⊥OC，

又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED， ∴平面AED⊥平面BCDE；…

（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则E（0，﹣1，0），A（0，0，

，

设面EAC的法向量为面BAC的法向量为由∴由∴

，得

，

，得

，

，∴

，

，∴

，

，

），C（

，0，0），B（，

，﹣2，0），

，

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∴

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为

， ．…

2016年5月3日

22．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x解得：a2 经检验 a2 满足题意 (x)2x试题解析：（1） f′所以 a2 ………………………………………4分

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12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx22lnxx2x6

2212x2xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分 （1-e)(1+e+2e3)12e8e4(2e21)4m(e）=0 ，m（e)0

e4e84m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 23．【答案】

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2

【解析】解：f（x）=cosx﹣||sinx﹣||

+1﹣||=0，

=

=﹣sin2x﹣||sinx+1﹣|| =﹣（sinx+

2）+

+1﹣||， ＜0，

∵0＜||≤2，∴﹣1≤﹣由二次函数可知当sinx=﹣

时，f（x）取最大值

当sinx=1时，f（x）取最小值﹣||﹣||=﹣4， 联立以上两式可得||=||=2， 又∵与的夹角为45°， ∴|+|=

=

【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵数列{an}满足a1=﹣1，an+1=∴nan=3（n+1）an+4n+6， 两边同除n（n+1）得，即也即

又a1=﹣1，∴∴数列{

（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得，∴

，

＜，

=3n﹣1，∴

，

， ，

，

，

*

（n∈N），

+}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．

原不等式即为：

先用数学归纳法证明不等式： 当n≥2时，

，

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证明过程如下： 当n=2时，左边=

=

＜

，不等式成立 ＜

+

＜

，

，

假设n=k时，不等式成立，即则n=k+1时，左边=＜=

∴当n=k+1时，不等式也成立． 因此，当n≥2时，当n≥2时，∴当n≥2时，又当n=1时，左边=故bn+1+bn+2+…+b2n＜． （ⅱ）证明：由（i）得，Sn=1+当n≥2，==2

﹣

，

，

…

=2•

将上面式子累加得，又=1﹣=1﹣，

＜

，

﹣

，

=（1+

，

）﹣（1+

2

2）

，

＜，

，

，不等式成立

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∴即

2

∴当n≥2时，Sn＞2（

，

＞2（

+

+…+

）．

），

【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．

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