空间几何体的外接球,小专题,复习

空间几何体的外接球问题——小专题

①补形为正方体、长方体的类型

注：有一条侧棱垂直于底面、底面是直角三角形或矩形的棱椎都可补型为正方体或长方体.

长方体的外接球的直径2R＝ . 正方体的外接球的直径2R＝ . 正四面体(边长

1．棱长为22的正四面体的顶点在同一球面上，则该球面的表面积为 A．12 B．

32 C．8 D．4 3【详解】

如图，将正四面体补成正方体， 设正方体的棱长为a， 则a2a2(22)2,a2. 正方体的对角线2则球的半径R

2．已知三棱锥A1ACD中，侧棱AA1______. 【详解】

如图所示，三棱锥A1ACD可补形为 一个边长为2的正方体，

3就是球的直径．

2a)也可补型为正方体(边长a).

3，

球的表面积为43=12，

②补形为直棱柱的类型：(圆柱型)

注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为棱柱.

如图：先将直棱柱放进圆柱中，用__________求出r，再建立勾股定理_____________求出R.

底面ACD，ADCD，

AA1ADCD2，则三棱锥A1ACD的外接球的体积为

则三棱锥A1ACD的外接球的半径为

③正棱锥型：(圆锥型)

如图：先将直棱锥放进圆锥中，用________求出r，再建立勾股定理______________求出R.

R12222223. 2434πRπ33故三棱锥A1ACD的外接球的体积为

V3343π.

3．在四棱锥PABCD中，侧棱PD面ABCD，若长方形

ABCD中，AB3，AD4，PC25，则此四棱锥的外接球的体积为______.

④双直角定直径：若同一条线段所对的两个不共面的角为直角，则这条线段为外接球的直径. ⑤其他型

⑥三棱锥的内切球半径r＝ .

4．直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点在球O的球面上.若AB3，

AC4.ABAC，AA112，则球O的表面积为（ ）

A．

169 B．169 C．288 D．676 4

3．在四棱锥PABCD中，侧棱PD面ABCD，若长方形

ABCD中，AB3，AD4，PC25，则此四棱锥的外接球的体积为______.

【详解】

将四棱锥补成如图所示的长方体， ∴PDPC2CD220911， 该外接球的半径R空间几何体的外接球问题——正、长方体型 1．棱长为22的正四面体的顶点在同一球面上，则该球面的表面积为 A．12 B．

32 C．8 D．4 32．已知三棱锥A1ACD中，侧棱AA1______.

底面ACD，ADCD，

AA1ADCD2，则三棱锥A1ACD的外接球的体积为

11PBPD2AB2AD2221119163， 244R33336， ∴该外接球的体积V33试卷第1页，总5页

4．直三棱柱ABC解得rA1B1C1的6个顶点在球O的球面上.若AB3，

42， 7AC4.ABAC，AA112，则球O的表面积为（ ）

A．

169 B．169 C．288 D．676 4

7．三棱椎S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，ABC90，且

SASCAC2，SB3则三棱椎S-ABC外接球表面积为

A．2π B．3π C．4π D．6π 8．在三棱锥SABC中，SA【详解】

解：将直三棱柱补形为长方体ABEC所以体对角线BC1的长为球O的直径.

因此球O的外接圆直径为2R324212213， 故球O的表面积4R2169.

5．三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABC90，

A1B1E1C1，

BC5,SBAC17,，

SCAB10，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．20 B．25 C．26 D．34

7．三棱椎S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，ABC90，且

SASCAC2，SB3则三棱椎S-ABC外接球表面积为

A．2π B．3π C．4π D．6π 【详解】

由题意知，可以把三棱锥S-ABC按如图所示的位置放到棱长为1的 正方体中，则正方体的体对角线长为l∴三棱椎S-ABC外接球表面积为4π(

8．在三棱锥SABC中，SAAB1，BC3，AA12其外接球的体积为_________. 6．在三棱锥SABC中，AB2，BC2，AC22，SB2，SB面ABC，则三棱锥SABC的外接球半径为_______，三棱锥SABC的内切球半径为______.

5．三棱柱ABC【详解】 解：因为AA13， 32)3π. 2BC5,SBAC17,

A1B1C1中，AA1平面ABC，ABC90，

SCAB10，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．20 B．25 C．26 D．34

【详解】 因为SA所以可以将 BC5,SBAC17,SCAB10，三棱锥SABC如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别

AB1，BC3，AA12其外接球的体积为_________.

平面ABC，所以三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，

所以BB12，ABC90，AB1，BC3，AA12，

则三棱柱的外接球即为以AB，BC，BB1为一组邻边的长方体的外接球，

设外接球的半径为R，则

2RABBCBB12所以R2221223222 2，外接球体积V482R3， 33

6．在三棱锥SABC中，

a2b217,22为a，b，c，则有ac25,整理得a2b2c226，

b2c210,则该棱锥外接球的半径R26，S球4R226． 22，AC22，SB2，SB面ABC，则三棱锥SABC的外接球半径为_______，三棱锥SABC的内切球半径为______.

【详解】

∵AB2BC2AC2,∴ABBC，又∵SB面ABC， ∴可以将三棱锥SABC放置在如图所示

的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线. 设外接球的半径为R，则2RAB2，BC

空间几何体的外接球问题——圆柱型

1．直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC ＝2，∠ABC＝90°，AA1＝22，则球O的表面积为________． 2．已知三棱锥SABC中，SC平面ABC，若

SCABAC2,BAC120，则其外接球O的表面积为

27205A．20 B． C．16 D．

23

【详解】

由已知，以AB，BC，BB1为长，宽、高作长方体，该长方体的外 接球经过直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点． ∵长方体的外接球直径

222222R10，10． 2设内切球的球心为O，半径为r，则由

VSABCVOSABVOSACVOSBCVOABC得422r22，

试卷第2页，总5页

2RAB2BC2BB122222(22)24，

∴R＝2，由此可得球的表面积S＝4R2＝16. 故答案为16

【详解】

在ABC中，由余弦定理得

5．已知

A，B，C，D是同一球面上的四个点，BAC120，

ABAC，AD平面ABC，AD6，AB23，则该球

BCABCA2ABCAcosBAC 144222()122解得BC22223，设ABC的外接圆的半径为r，则232r4，解得r2，

sin120设外接球的半径为R，由题得CD1，所以R2以S球4520．

22125．所

3．如图，平面四边形ACBD中，ABBC，AB3，BC2，

△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至 点P，且PBBC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_____.

4．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB将它沿BC边上的高

的表面积为______．

6．在四面体ABCD中，若ADDCACCB1， 则当四面体ABCD的体积最大时， 其外接球的表面积为______.

【详解】

由题意，设ABC外接圆的半径为r，BAC120，

BC6，2rABAC23，故R643，r23 sin1202AD2)233221， 2该球的表面积为S4R284．

r2(AC3，BC2.

ABCD的外接球的表面积为______.

AD翻折，使B点与C点的距离为1，则四面体

【详解】

因为ADDC

【详解】

因为BC⊥平面PAB，将三棱锥PABC补形为如图所示的 直三棱柱，△ABP为等边三角形，又

AB3，可得r1．

hBC1，故在RtOBE中，OBOE2EB22， 22此即为外接球半径，从而外接球表面积为S

【详解】

由已知可得，翻折后BC4OB28．

AC1，所以底面ACD面积为定值，

因此当CB平面ACD时，四面体ABCD的体积最大.

123 设△ACD外接圆半径为r， 2r，rsin60331327,

因此外接球的半径R满足R2()2()231272外接球的表面积为4R

3

空间几何体的外接球问题——圆锥型

BDCD1， 即BCD为等边三角

21．已知扇形的面积为56，圆心角为6，则由该扇形围成的 3223， 1形，其外接圆半径为rDE13332又ADDC，ADDB，易得AD平面BCD，

ADAC2CD22，圆锥的外接球的表面积为_________． 2．正四棱锥VCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4， 侧棱长为26，则此球的表面积为（ ）

3AD21252R. 323265102. 因此S4R463

2A．18 B．36 C．72 D．9

【详解】

设扇形的长为l，半径为R，则

S11162lRR2R56，解得R30， 2223扇形弧长l为锥底面周长2r， ∴底面的半径r5，∴圆锥的高为R2r25．

222设外接球的半径为R1，∴R15R1(5)，

试卷第3页，总5页

解得，R13∴该外接球的表面积为4R1236，

【详解】

试题分析：正方形CD的对角线的交点，则球心在直线VM上．

空间几何体的外接球问题——双直角定直径

1．将长､宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到 四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为_____． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，

AB2AD2CD2，将ABC沿AC折起到ABD'的位置，得到图2 中的三棱锥D'ABC，其中平面ABC平面ACD'，则三棱锥D'ABC的 体积为_______, 其外接球的表面积为_______,

AM1AC22，由勾股定理得 2AM2VMr,即r284r,

22VMVA2AM22484，

设球的半径为r,则有r2解得r3.此球的表面积为4r236．

3．已知三棱锥MABC四个顶点均在表面积为32的球面上，

3．如图所示，在平面四边形ABCD中，ADCD，ADCD6， ACBC，B60o，现将 △ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱 锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16

ABBC22，AC4，则三棱锥MABC体积的最大值

882162 D． 334．已知点A、B、C、D均在球O上，ABBC3，AC3，

A．82 B．442 C．若三棱锥DABC体积的最大值为33，则球O的表面积为 4A．36 B．16 C．12 D．

16 3

4．已知三棱锥P-ABC中，AC=BC=

【详解】

设小圆的圆心为Q，当MQ与面ABC垂直时， 三棱锥MABC的体积最大， 设球心为O，半径为R，4R2得R2AB，且APB90，则三棱锥 2P-ABC的体积与三棱锥P-ABC的外接球的体积之比的最大值为_______．

32，

22，点O到平面ABC的距离为222222，

所以三棱锥MABC体积的最大值为

1882． 422233空间几何体的外接球问题——其他型

1．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长

为2A．16 B．

【详解】 如图所示，取因为PD3的等边三角形，PAPB7，则该三棱锥外接球的表面积

4965π654 C．

16 D．

4

【详解】 试题分析：设

，

的外接圆的半径为

，

，

，

，

，三棱锥的体积的最大值为

过点E作平面ABC垂线.在垂线上取一点O为球心，

AB中点D，三角形的中心E在CD上，

，到平面，

的最大距离为，

球

，设球的半径为，则

，

AB，平面PAB平面ABC,

PD平面ABC，则OE//PD，

2CECD2,DECDCE1，

3PDPB2BD22，

r24，

2的表面积为

故选B．

设球的半径为r,则有OE作OGPD于G，则OEDG为矩形，

(PDDG)OGPO，即2r42221r222,

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解得r265652，故表面积为S4r1，故选B .

空间几何体的外接球问题——其他型 2．在四棱锥PABCD中，BC//AD，ADAB，AB23， AD6，BC4，PAPBPD43，则三棱锥PBCD 外接球的表面积为（ ）

A．60 B．40 C．100 D．80

PHAH，又PHBD，AHBDH，PH平

面

【详解】

如图，取BD的中点设H，△PAH， △PBH，

ABCD，

且PHPA2AH24323226.

2则外接球的半径R满足R2设OO1从而R2OO12426OO1O1H2，

2x，则x2166x4，解得x2，

x24220，故三棱锥PBCD外接球的

表面积为4R280.

故选：D.

试卷第5页，总5页