八年级初二数学下学期二次根式单元达标测试基础卷

一、选择题

1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A．1.5 B．1 3C．10 D．27

2．下列计算正确的是（ ） A．93 3．计算：5A．55 C．525

B．8220

C．532 D．(5)25

55（ ）

B．555 D．105 D．20 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．4 A．32 >23 A．235 B．3 B．a3 • a2=a6

C．12

5．下列各式中，正确的是（ ）

C．(b+2a) (2a -b) =b2 -4a2 D．5m + 2m = 7m2

6．下列各式计算正确的是（ ）

2B．（23）6

C．824 D．236

7．已知xy0，化简二次根式xA．y 8．若aB．y

y的正确结果为（ ） x2C．y D．y

a3，b2610，则的值为（ ）

b235B．

A．

1 21 4C．1

23D．1

6109．已知实数x、y满足yA．﹣2

B．4

x22x2，则yx值是（ ）

C．﹣4

D．无法确定

10．下列运算错误的是（ ） A．23=6

B．D．12 =22C．22+32=521-2212 二、填空题

______3 ；（2）11．比较实数的大小:(1)5?12．已知x117x151_______ 24x923y2，则2x﹣18y2＝_____．

13．观察下列等式：

121， 第1个等式：a1=12132， 第2个等式：a2=231=2-3， 第3个等式：a3=32第4个等式：a4=…

按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n个等式：an=__________. (2)a1+a2+a3+…+an=_________ 14．若实数x，y，m满足等式

152， 253x5y3m2x3ymxy22xy，则m+4的算术平方根为

________． 15．已知：x=23，则2可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2=_____． 5+216．对于任意实数a，b，定义一种运算“◇”如下：a◇b＝a(a－b)＋b(a＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么3◇2＝_____. 17．化简4102541025_______． 18．化简(322)(322)的结果为_________. 19．若1有意义，则x的取值范围是____． 1+x20．下列各式：①序号）

22b ②2n1 ③ ④0.1y 是最简二次根式的是:_____（填54三、解答题

21．小明在解决问题：已知a＝1，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的： 23231因为a＝＝＝2－3，

232323所以a－2＝－3.

所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3. 所以a2－4a＝－1.

(－1)＋1＝－1. 所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

1(1)计算： = － .

2+11111(2)计算：＋…＋； 2+13+24+3100+99(3)若a＝1，求4a2－8a＋1的值． 21【答案】(1)2 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】

1（1）2121212121；

（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a，然后把所求的式子化成4a13代入求解即可. 【详解】 (1)计算： (2)原式

2121； 2121322143...1009910011019；

(3)a1212212121，

2则原式4a2a134a13， 当a21时，原式42235.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.

22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a、b、c，则此三角形的面积为：

122a2b2c2 S1ab22同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：

2abc 2（1）在ABC中，若AB4，BC5，AC6，用其中一个公式求ABC的面积．

S2p(pa)(pb)(pc)其中p（2）请证明：S1【答案】（1）【分析】

S2

157；（2） 证明见解析 42a2b2c2122（1）将AB4，BC5，AC6代入S1中计算即可； ab2222（2）对S1和S2分别平方，再进行整理化简得出S1S2，即可得出S1S2．

【详解】

a2b2c2122解：（1）将AB4，BC5，AC6代入S1得： ab222122425262157 S45224122a2b2c22（2）S[ab()]

422121a2b2c2a2b2c2=(ab)(ab) 4221c2(ab)2(ab)2c2= 422=

1(cab)(cab)(abc)(abc) 16abc， 2S22p(pa)(pb)(pc)

∵p2abcabcabcabc(a)(b)(c) 2222abcbcaacbabc=

22221=(abc)(bca)(acb)(abc) 16∴S222∴S1S2

∵S10，S20， ∴S1S2．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．

23．阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为aaa，

21211，所a与a，21与21互为有理化因式．

（1）231的有理化因式是 ；

（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

22323， 333353535353253521538215415 532用上述方法对23进行分母有理化． 231，b25，则a，b的关系是 ． 25（3）利用所需知识判断：若a（4）直接写结果：11132202020192120201 ．

【答案】（1）231；（2）743；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】

（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出； （2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式23，化简即可； （3）将a1分母有理化，通过结果即可判断； 25（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】

解：（1）∵23123111， ∴231的有理化因式是231；

23443323=（2）743；

432323232（3）∵a12552，b25， 252525∴a和b互为相反数；

1111（4）3243202020192120201

==

213243202020192020120201

20201

=20201 =2019， 故原式的值为2019. 【点睛】

本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．

24．计算

a2a1a23a1(1); a1a3(2)已知a、b是实数，且2a6+b2＝0.求a、b的值 (3)已知abc＝1，求【答案】（1）【分析】

（1）先将式子进行变形得到

abc的值

aba1bcb1acc12a2；（2）a=－3，b=2；（3）1. 2a2a3aa11aa31，此时可以将其化简为a1a311aa，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可； a1a3（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a+6=0，b－2=0，从而可求出a、b； （3）根据abc＝1先将所求代数式转化：

babab，

bcb1abcabaaba1cabc12，然后再进行分式的加减计算即可.

acc1abcabcababa1【详解】

解：（1）原式==a=aa11aa31 a1a311a a1a311 a1a3==a3a1

a1a32a2；

a22a3（2）∵2a6b20， ∴2a+6=0，b－2=0， ∴a=－3，b=2； （3）∵abc＝1， ∴

bababcabc12，，

bcb1abcabaaba1acc1abcabcababa1aab1

aba1aba1aba1∴原式==

aab1

aba1=1.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.

25．计算 （1）（4（2）甲 乙 0 2 1 3 0 1 2 1 ﹣3

）+2

2 0 0 2 3 1 1 1 2 0 4 1 （3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：

请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6【解析】

试题分析：（1）先去括号，再合并；

（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；

（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差． 试题解析：（1）原式=4=6

﹣3

； ﹣3﹣2

+

﹣3 ﹣3

+2

﹣3

；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76

（2）原式==-6；

（3）甲的平均数=乙的平均数=甲的方差=

2

（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，

（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，

×[3×（0﹣1.5）+2×（1﹣1.5）+3×（2﹣1.5）+（3﹣1.5）+（4﹣

2

2

2

2

1.5）]=1.65； 乙的方差=

×[2×（0﹣1.2）+5×（1﹣1.2）+2×（2﹣1.2）+（3﹣1.2）]=0.76．

2

2

2

2

考点： 二次根式的混合运算；方差．

26．计算： （1）188（2）123131

323 33【答案】（1）22；（2）82 【分析】

（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；

（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同． 【详解】 解：(1)188＋3＋131

＝3222＋31

＝2＋2 (2)12323 33＝23＝82 423 33【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．

27．计算：1882(1)2020 【答案】1

【分析】

先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】

解：1882(1)2020 =322221 =1． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．

28．已知长方形的长a1132，宽b18. 23(1)求长方形的周长；

(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系． 【答案】（1）62；（2）长方形的周长大. 【解析】

试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；

（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析： (1)2ab2111132182423223262.

3322∴长方形的周长为62. . (2)长方形的面积为：1111321842324. 2323正方形的面积也为4.边长为42. 周长为：428.

628.

∴长方形的周长大于正方形的周长．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

化简得到结果，即可做出判断．

【详解】 解：A、1.5＝36=，不是最简二次根式； 22B、13＝，不是最简二次根式； 33C、10是最简二次根式；

D、27＝33，不是最简二次根式； 故选：C． 【点睛】

本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．

2．B

解析：B 【分析】

直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】

A. 93，故此选项错误； B. 8220，正确；

C. 53，无法计算，故此选项错误； D. (5)25，故此选项错误； 故选：B 【点睛】

此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

3．B

解析：B 【分析】

根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】 解：555

=555， 故选：B． 【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

4．B

解析：B 【分析】

根据最简二次根式的定义（①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含

有分母，满足以上两个条件的二次根式叫最简二次根式）逐个判断即可． 【详解】

解：A、4=2，不是最简二次根式，故本选项错误； B、3是最简二次根式，故本选项正确；

C、1223，不是最简二次根式，故本选项错误； D、2025，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】

本题考查了最简二次根式的定义的应用，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母．

5．A

解析：A 【分析】

比较两个二次根式的大小可判别A，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B、C、D的正误． 【详解】

A、3218，2312， ∵1812，

∴3223，故该选项正确； B、a3 •a2a5，故该选项错误；

C、b2a2ab4ab，故该选项错误；

22D、5m2m7m，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】

本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

6．D

解析：D 【分析】

根据二次根式的运算法则一一判断即可． 【详解】

A、错误．2和3不是同类二次根式，不能合并；

2B、错误，（23）12；

C、错误．8222232 D、正确．23236；

故选：D． 【点睛】

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．

7．B

解析：B 【分析】

先根据xy＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x、y的取值，最后再化简即可． 【详解】 解：

xy0，

y有意义， x2x0，y0或x0，y0，

又

xy0，

x0，y0，

当x0，y0时，x故选B． 【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x、y的取值．

yy， x28．B

解析：B 【分析】 将a乘以 值 【详解】 解：aa235 可化简为关于b的式子, 从而得到a和b的关系, 继而能得出 的

b2353(235)32352(235)b

4423523526a1 b4故选：B. 【点睛】

本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．

9．C

解析：C

【分析】

依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可． 【详解】

∵实数x、y满足y∴x＝2，y＝﹣2， ∴yx＝22＝-4． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

x22x2，

10．D

解析：D 【分析】

根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】

A、23=6计算正确，不符合题意； B、12计算正确，不符合题意； =22C、22+32=52计算正确，不符合题意； D、1-222112符合题意；

故选：D． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

二、填空题

11．【分析】

(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】 (1) (2) ∵ ∴

∴

故答案为： ，． 解析： 

【分析】

(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】 (1)53 (2) ∵3 ∴51153 4249

530 4511

24故答案为： ，．

∴【点睛】

本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．

12．【分析】

直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案． 【详解】

解：∵一定有意义， ∴x≥11，

∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2， ﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2， 整理得：＝3y， ∴x﹣ 解析：22

【分析】

直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案． 【详解】 解：∵x11一定有意义，

∴x≥11， ∴x11﹣|7﹣x|+(x9)2＝3y﹣2， x11﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，

整理得：x11＝3y，

∴x﹣11＝9y2，

则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22． 故答案为：22． 【点睛】

本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．

13．【分析】

（1）由题意，找出规律，即可得到答案；

（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】

解：∵第1个等式：a1=， 第2个等式：a2=， 第3个等式：

解析：1nn1n1n n11

【分析】

（1）由题意，找出规律，即可得到答案；

（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】

解：∵第1个等式：a1=第2个等式：a2=第3个等式：a3=第4个等式：a4=…… ∴第n个等式：121， 12132， 231=2-3， 32152， 251nn11n1n；

故答案为：nn1n1n；

（2）a1a2a3an(21)(32)(23)n1n (n1n)

=213223=n11； 故答案为：n11．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题

14．3 【解析】 【分析】

先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论． 【详解】

依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3

解析：3 【解析】 【分析】

先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论． 【详解】

3x5y3m0，解得：x=1，y=1，m＝5，∴依题意得：2x3ym0xy2故答案为3． 【点睛】

m4543．

本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

15．【解析】 ∵=， ∴== = -==﹣x3+x， 故答案为：﹣x3+x.

1211xx 66【解析】

解析：∵x3=552232，

∴25252=

1352210=

16524210

1= -652522111=652311611152=﹣x3+x，

66故答案为：﹣

1311x+x. 6616．5 【解析】 ◇==5. 故本题应填5.

点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a对应，b对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a－b)＋b(a＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则

解析：5 【解析】

3◇2=3故本题应填5.

322323662=5.

点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a对应3，b对应2，即将a=3，b=2，代入到代数式a(a－b)＋b(a＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.

17．【分析】

设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】

解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ．

故答案为：． 【点睛】 此题考查的是二 解析：5+1

【分析】

设4102541025t，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．

【详解】

解：设4102541025t，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则t24102541025216(1025) 82625 82(51)2 82(51)

625 (51)2

t51．

故答案为：5+1． 【点睛】

此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．

18．1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】 原式=. 故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

解析：1 【分析】

根据平方差公式进行计算即可. 【详解】 原式=3222故答案为：1. 【点睛】

本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.

2981.

19．x≥0． 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】

∵有意义，∴x≥0，

故答案为x≥0． 【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

解析：x≥0． 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】 ∵1有意义，∴x≥0， 1+x故答案为x≥0． 【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

20．②③ 【分析】

根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】

② ③ 是最简二次根式， 故答案为②③． 【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，

解析：②③ 【分析】

根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】 ②2n1 ③故答案为②③． 【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2b 是最简二次根式， 4三、解答题 21．无 22．无

23．无 24．无 25．无 26．无 27．无 28．无