高考数学一轮复习讲练测
第三章 导 数
第01讲 导数的运算及导数的几何意义 ---讲
1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如f(axb))的导数）. 3. 高考预测：
（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；
（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.
（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有： ①求切线斜率、倾斜角、切线方程． ②确定切点坐标问题． ③已知切线问题求参数． ④切线的综合应用． 4.备考重点：
（1）熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； （2）熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.
知识点1．导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
.
2．函数f(x)的导函数
1
称函数为f(x)的导函数．
【典例1】一质点运动的方程为s83t2. （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63t；（2）6. 【解析】（1）∵s83t2
∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,
.
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度
，当t=1时，v=-6×1=-6.
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法： ①求函数的增量
；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数
【变式1】若f(x0)3，则
（ ）
A．3 B．12 C．9 D．6 【答案】B
2
【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以
，选B；
法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以
（其中：
），故选B.
知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝axlna f′(x)＝ex f′(x)＝1 xln a－1f′(x)＝ x（3）
(4) 复合函数的导数
(g(x)≠0)．
3
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【典例2】【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，【答案】e
为f(x)的导函数，则
的值为__________．
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 【变式2】【2018届陕西省咸阳市三模】已知三次函数
的图象如图所示，则
__________．
【答案】1. 【解析】
，由
的图象知
4
，
∴∴
，，
，
故答案为1.
知识点3．函数yf(x)在xx0处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【典例3】（2019·天津高考真题（文）） 曲线【答案】【解析】
，
当x0时其值为
在点0,1处的切线方程为__________.
1， 2，即
。
故所求的切线方程为【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进
而确定切线方程．
【变式3】（2019·全国高考真题（文））已知曲线
5
在点1,ae处的切线方程为y2xb，
则（ ） A．【答案】D 【解析】
，ae1
将(1,1)代入y2xb得
，故选D．
B．ae,b1
C．
D．
考点1 求曲线的切线方程
【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A．C．【答案】C 【解析】 当x时，
则
．故选C．
【易错提醒】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 【变式4】（2019·天津高考模拟（文））曲线_____________. 【答案】12 【解析】
6
B．D．
，即点(,1)在曲线
上．
，即
在点(,1)处的切线方程为
在点1,f1处的切线斜率为
由题意可得：∴∴曲线故答案为：12
,
在点1,f1处的切线斜率为12，
考点2 求切点坐标
【典例5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】
设点Ax0,y0，则y0lnx0.又y当xx0时，y1， x1， x0，
点A在曲线ylnx上的切线为
即，
代入点e,1，得即x0lnx0e， 考查函数且
，
，当x0,1时，Hx0，当x1,时，Hx0， ，当x1时，
单调递增，
注意到Hee，故x0lnx0e存在唯一的实数根x0e，此时y01， 故点A的坐标为Ae,1. 【方法总结】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
7
【变式5】设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线为 ． 【答案】（1，1）
【解析】∵函数y＝e的导函数为y′＝e. ∴曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1. 设P(x0，y0)(x0＞0)， ∵函数y＝的导函数为y＝－x0
x上点P处的切线垂直，则点P的坐标
xx1x1， 2x1， x02∴曲线
在点P处的切线的斜率k2＝－由题意知k1k2＝－1，即1·（－解得x0＝1，又x0＞0，∴x0＝1.
2
1）＝－1， 2x0又∵点P在曲线上，
∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).
考点3 求参数的值(范围)
【典例6】（2018年全国卷Ⅲ理）曲线【答案】【解析】
则所以
在点
处的切线的斜率为
，则
________．
故答案为-3. 【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 【变式6】（2018届云南省昆明第一中学第八次月考）已知定义在
，设两曲线
A.
B. C. D.
与
上的函数
在公共点处的切线相同，则值等于（ ）
8
【答案】D 【解析】 依题意设曲线∵
，
与
在公共点
处的切线相同.
∴，
∴∵∴
，
，即
故选D.
考点4 导数的运算
π
的值为6
【典例7】（2018届北京市附中十月月考）已知函数
则f
________. 【答案】1
【解析】由题得
所以，
所以
【总结提升】
，故填1.
(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
【变式7】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，
fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于( ) A.－sin x－cos x
B.sin x－cos x
9
C.－sin x＋cos x
【答案】D 【解析】
D.sin x＋cos x
∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x， ∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x， ∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D.
10
11
