2013年高三第一轮复习理科数学__导数的计算及其几何意义

考点1 导数的几何意义、物理意义 例1曲线y=－x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）. 求：（1）割线AB的斜率kAB ，及AB所在直线的方程；

（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请

说明理由.

变式1 曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为 ．

变式2 已知函数f(x)x3ax与g(x)2x2b的图象在x1处有相同的切线，则ab=（ ） A．—1 B．0 C．1 D．2

a变式3 已知直线axby20与曲线yx3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则=（ ）

b1221 A． B． C． D．

3333考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则 例1 求下列函数的导数．

（1）．y12； （2）．yx1x2

12x变式1 函数f(x)x(x1)(x2)(x10)在x0处的导数值为( )

A. 0 B. 102 C. 20 D. 10! 突破1 导数的意义与函数图象结合考查

例1 如图f/(x)是f(x)的导函数，f/(x)的图象如下图所示，则f(x)的图象只可能是（ ）

例2 如右图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是 yx8，则f(5)f(5)= . 突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查

14例1 已知曲线yx3，

33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.

31、如果质点A按规律S2t运动，则在t3秒的瞬时速度为（ ）

A．6 B．18 C．54 D．81

52、函数yA．

153x的导数是（ ）

251x C．

34x B．1245x15 D．45x15

3、曲线yx在点(1,)处切线的倾斜角为（ ） 22A．1 B．4 C．

34 D．

54

yxaxb4、已知直线ykx1与曲线切于点(1,3)，则b的值为( )

A．3 B．－3 C．5 D．－5

5、函数y(2x)的导数是（ ）

A．6x12x B．42x C．2(2x) D．2(2x)3x 6、设f(x)是可导函数，且limf(x02x)f(x0)xx0523333322,则f(x0) （ ）

A．

12 B．－1 C．0 D．－2

7、设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,]，则点P横坐标

4的取值范围为（ ）

A．1，1 2

B．1，0 C．0，1

D．

11 2，8、等比数列an中，a12,a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f'(0)（ ）

A.26 B.29 C.212 D.215

x2

9、曲线y＝e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

2

92e22

A . e B．2e C．e D. 42

15310、若存在过点(1,0)的直线与曲线yx和yax2x9都相切，则a等于( )

425217257A．1或- B．1或 C．或- D．或7 44411、设曲线yxn1(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2xn的值为（ ）

A．

1n B.

x11n1 C.

nn1 D. 1

12、设曲线yx113、若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是__________ __；

在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a ；

14、曲线y1x和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ； 1x215、设f(x)x16、曲线y1，则它与x轴交点处的切线的方程为 ；

1在点(,2)处的切线斜率为_________，切线方程为________________； x2317、在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:yx10x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切

线的斜率为2，则点P的坐标为 ；

218、已知f(x)2x1．

（1）求f(x)在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 19、已知函数f(x)xx16，

(1)求曲线yf(x)在点2，6处的切线的方程；

(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线y20、设函数f(x)ax14x3垂直，求切点坐标与切线的方程．

31xby3.

(a,bZ)，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

（1）求f(x)的解析式；

（2）证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值.。 21.已知函数f(x)x3x9xa，定义域为D． （1）若D(,)，求f(x)的单调递减区间；

（2）若D[3,2]，且f(x)的最大值为19，求f(x)的最小值． 22.已知函数f(x)a(x1)x232，其中a0.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若直线xy10是曲线yf(x)的切线，求实数a的值； （Ⅲ）设g(x)xlnxxf(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数）

2

【答案】解:(１)f'(x)3x26x9------------------------------------------2f 令f'(x)0,解得x1或x3---------------------------------------3f 所以f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).---------------------------5f (２)由（１）知f'(x)3x26x93(x1)(x3)--------------------6f 当x(3,1)时，f'(x)'

0，f(x)是减函数；当x(1,2)，f(x)0，f(x)是增函数；

------------------------------------------8f

所以在[3,2]，fmin(x)f(1)5a（＊）---------------------------9f

又f(3)27a，f(2)22a，f(3)f(2)，所以fmax(x)f(3)27a--10f 由题设得27a19,a8，代入（＊）-------------------------------11f 得fmin(x)13，f(x)的最小值的是13.-----------------------12f 已知函数f(x)a(x1)x2，其中a0.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若直线xy10是曲线yf(x)的切线，求实数a的值； （Ⅲ）设g(x)xlnxx2f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数） 【答案】解：（Ⅰ）f(x)a(2x)x3，（x0）， …3分在区间(,0)和(2,)上，f(x)0；在区间(0,2)上，f(x)0.所以，f(x)的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).…4分（Ⅱ）设切点a(x01)y20x0坐标为(x0,y0)，则x0y010 …7分（1个方程1分）

a(2x)013x0解得x01，a1. ……8分（Ⅲ）g(x)xlnxa(x1)，则g(x)lnx1a，……9分解g(x)0，得xe分 当ea1a1，所以，在区间(0,ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1,)上，g(x)为递增函数. ……10

1，即0a1时，在区间[1,e]上，g(x)为递增函数，所以g(x)最大值为g(e)eaae. ……

a111分当ee，即a2时，在区间[1,e]上，g(x)为递减函数，

a1所以g(x)最大值为g(1)0.……12分当1ee，所以，1a时，g(x)最大值为g(e)eaae， 13g(e)g(1)aeae0，解得ae1e1ea2时，g(x)最大值为g(1)0. ………14分 分

e1综上所述，当0a

ee1时，g(x)最大值为g(e)eaae，当aee1时，g(x)的最大值为g(1)0.

导数的计算及其几何意义

考纲要求 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式；

4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;

5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数 命题规律 近年来,导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱“主角”之一,在高考卷中所占比重也有上升趋势。考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，本节主要考察导数的几何意义，与函数及图象、直线方程等几何考查。同时会以求基本函数的导数为基础，本节内容在高考中以简单题和中档题为主。 考点解读 考点1 导数的概念

1.平均变化率

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)y. f(x)在其定义域内从点x1到x2的平均变化率为xx2x1x2.瞬时变化率

f(x)在其定义域内的点xx0处的瞬时变化率为limyxx0limf(x0x)f(x0)x.

x03.导数的定义

函数yf(x),在xx0处的瞬时变化率为limyxx0limf(x0x)f(x0)x0在xx0处导数，记作f(x0)，或y|xx，即f(x0)=lim0yxx0=limxf(x0x)f(x0)x，我们称它为函数yf(x).

x0考点2 导数的几何意义、物理意义

1.几何意义

（1）函数yf(x)在点(x0,y0)处的导数f(x0)就是在点(x0,y0)处的切线的斜率，即k切=f(x0).

（2）点(x0,y0)处的切线方程为yy0f(x0)(xx0).

2.物理意义

如果物体按规律SS(t)运动，那么S(t0)表示物体在tt0时刻的瞬时速度， 即v瞬S(t0).

考点3 求基本函数的导数及导数的运算法则 1. 基本函数的导数

(1).若f(x)c，则f(x)0 (2).若f(x)x(nQ)，则f(x)nx(3).若f(x)sinx，则f(x)cosx (4).若f(x)cosx，则f(x)sinx

xxxx(5).若f(x)a，则f(x)alna (6).若f(x)e，则f(x)e

nn1

(7).若f(x)log2.导数的运算法则

ax，则f(x)1xlnalogaex (8).若f(x)lnx，则f(x)1x

(1) .fgfg (2) .fgfgfg

ffgfg(3). [cf(x)]cf(x) (4). (g0) 2gg''u(5).若函数yf(g(x))是由yf(u)与ug(x)复合而成的函数，则f(g(x)yu x考点突破 考点1 导数的几何意义、物理意义

典例1 曲线y=－x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）. 求：（1）割线AB的斜率kAB ，及AB所在直线的方程；

（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请

说明理由.

解题思路 本题主要考查导数的几何意义.假设存在符合条件的点C，则切线的斜率与直线AB的斜率相等，即点

C处的导数与直线AB的斜率相等，从而求出切点C的坐标，进而求得切线方程. 解题过程 （1）kAB=

4024=－2，∴y=－2（x－4）.

∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.

2

（2）y=－2x+4，由－2x+4=－2，得x=3，y=－3+3×4=3. ∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0. 即存在这样的点C，点C处的切线方程为2x+y－9=0.

易错点拨 （1）已知两点求直线的斜率与切线的斜率要分清； （2）对于存在性问题的步骤与解题思路。

变式1 （2012年广东理）曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为 ． 点拨 求出已知函数的导数，判断点是否在曲线上，利用切线的斜率公式求解即可。 答案 2xy10

变式2 已知函数f(x)x3ax与g(x)2x2b的图象在x1处有相同的切线，则ab=（ ） A．—1 B．0 C．1 D．2

点拨 分别求得两函数的导数，利用两曲线在公共切点处的斜率相等，列等式即可求解。 答案 C

a变式2 已知直线axby20与曲线yx3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则=（ ）

b1221 A． B． C． D．

3333点拨 求出曲线在切点处切线的斜率，用两直线的垂直关系找到等式便可求得结果。 答案 D

考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则 典例1 求下列函数的导数．

（1）．y112x2； （2）．yx1x2

解题思路 选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合

而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解题过程 （1）．解法一：设yu13uyyuu2xx2 1223212,u12x，则

24x12x4x2

2x12x ＝2322x(12x)12x2.1解法二：y212x121212x2212 (12x)(12x)2223212x(4x)

32

322x(12x)2x2(12x)12x2.124xx.设yu2,uxx，则 24123（2）．解法一：yx1xuyyuxx  1222124u(2x4x)312(xx)34(2x4x)2

12x1x22x2x2x(12x)x1x2.xx解法二：y(x1x2)x1x2x(1x2)

1x2x2212x1x22.

1x易错点拨 对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导。

变式1 函数f(x)x(x1)(x2)(x10)在x0处的导数值为( ) A. 0 B. 10 C. 20 D. 10!

点拨 看成x与(x1)(x2)(x10)的乘积，利用导数的运算易求解。 答案 D 综合突破 突破1 导数的意义与函数图象结合考查

理解曲线（函数图象）的切线与导数的关系，是关键；还要理解原函数和导函数的关系。 典例1 如图f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如下图所示，则f(x)的图象只可能是（ ）

//2

A /BCD

解题思路 首先观察函数的图象，y=f(x)与x轴的交点即为f(x)的极值点，然后根据函数与其导数的关系进

行判断。 解题过程 由图可以看出函数y=f(x)的图象是一个二次函数的图象，

在a与b之间，导函数的值是先增大后减小

故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小 因此故排除答案（A），（B），（C）．

/故答案为：（D）。

易错点拨 会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系 典例2 如右图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是 则f(5)f(5)= .

解题思路 考查在某点处的切线方程，切点既在曲线上又在切线上

解题过程 观察图形,设P(5,f(5)),过P点的切线方程为

yf(5)f'(5)(x5)，即yf'(5)xf(5)5f'(5) 它与yx8重合,比较系数知:f'(5)1,f(5)3

yx8，

故f(5)f(5)=2.

突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查

导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在某点x0处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得。求过点P(x0,y0)的切线方程时，一要注意P(x0,y0)是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。

14典例2 已知曲线yx3，

33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.

解题思路 在点时：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出来，然后解方程。

142解题过程 （1）P(2,4)在曲线yx3上，且yx

33∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|=4;

x2∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2),即4xy40. （2）设曲线y 则切线的斜率

x332ky|xxx00134与过点P(2,4)的切线相切于点

，

2A(x0,13x03)3，

433∴切线方程为

∵点P(2,4)在切线上，

y(1x034)x0(xx0)，即

yx0x223x0343

∴∴∴

42x032223x02343，即x03x040，

32x0x04x040，

(x01)(x02)0x1x02，解得0或

故所求的切线方程为4xy40或xy20.

(x0,y0)2（3）设切点为

2则切线的斜率为

kx04,

x02.

4 ∴切点为2，4，2，3∴切线方程为y44x2和y434x2

即4xy40和12x3y200

易错点拨 注意所求切线与已知点的关系，求过点P(x0,y0)的切线方程时，一要注意P(x0,y0)是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。 快乐训练 1、如果质点A按规律S2t3运动，则在t3秒的瞬时速度为（ ）

A．6 B．18 C．54 D．81

52、函数yA．

154x的导数是（ ）

3x B．

2513x C．

45x15 D．45x15

3、曲线y12x在点(1,)处切线的倾斜角为（ ） 22A．1 B．4 C．

3 D．

544、已知直线ykx1与曲线切于点(1,3)，则b的值为( )

A．3 B．－3 C．5 D．－5

15、设f(x)x，则它与x轴交点处的切线的方程为 ；

x116、曲线y在点(,2)处的切线斜率为_________，切线方程为________________；

x237、在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:yx10x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ； 8、已知f(x)2x21．

（1）求f(x)在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 提高训练 1、函数y(2x)的导数是（ ）

A．6x12x B．42x C．2(2x) D．2(2x)3x 2、设f(x)是可导函数，且limA．

12f(x02x)f(x0)xx0523333324yxaxb

2,则f(x0) （ ）

B．－1 C．0 D．－2

23、设P为曲线C：yx2x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,]，则点P横坐标

4的取值范围为（ ）

A．1，1 2

0 B．1，1 C．0，

D．，1

214、等比数列an中，a12,a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f'(0)（ ） A.26 B.29 C.212 D.215 x15、设曲线y在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a ；

x136、若曲线f(x)axlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是__________ __； 7、曲线y1x和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ；

328、已知函数f(x)xx16，

(1)求曲线yf(x)在点2，6处的切线的方程；

(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线y 超越训练 1、曲线y＝e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

92e222

A . e B．2e C．e D. 42

1532、若存在过点(1,0)的直线与曲线yx和yax2x9都相切，则a等于( )

425217257A．1或- B．1或 C．或- D．或7 4443、设曲线yxn1(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2xn的值为（ ）

A．

1nx

2

14x3垂直，求切点坐标与切线的方程．

B.

1n1 C.

nn1 D. 1

4、设函数f(x)ax1xby3.

(a,bZ)，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

（1）求f(x)的解析式；

（2）证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值.