圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用(老师)
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1 已知点
是离心率为的圆锥曲线
的焦点，过点
的弦
与
的焦点
所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；
（2）当焦点
外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明 设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点
在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又
，所以
（1）当焦点
内分弦
时。
。
如图1，，所以
。
图1
（2）当焦点
外分弦
时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以
。
图2
评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线为
，过
且斜率为
的直线交
于
两点。若
，则
的右焦点
的离心率为（ ）
解 这里，所以，又，代入公式得，
所以
，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心
率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则
（ ）
解 这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，
所以
，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线交于
两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
解 如图3，由题意知直线
与抛物线的地称轴的夹角
，当点
在
轴左侧
时，设
，又，代入公式得，解得，所以。
例4 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知一个端点，线段
的延长线交
于点
，且
是椭圆，则
的一个焦点，是短轴的的离心率为＿＿＿
解 设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代
入公式得
，所以。
例5（自编题）已知双曲线且斜率为
的直线交
的两支于
两点。若
的离心率为
，则
，过左焦点＿＿＿
解 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式
，代入公式得，所以所以，所以
。
定理2 已知点
和直线是离心率为的圆锥曲线
。过点
的弦
与曲线
的焦点和对应准线，焦准距（焦的焦点所在的轴的夹角为
点到对应准线的距离）为
，则有
。
证明 设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直
线于点，交直线于点。
。由圆锥曲线的统一定义得，，所以
图4
（1）当焦点
内分弦
时。如图4，
。
，
，
所以较长焦半径
，较短焦半径。
所以
（2）当焦点
外分弦
时（此时曲线为双曲线）。
。
图5
如图5， 所以
， ，
。
所以较长焦半径
，较短焦半径。
所以
。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为
。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径
，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲
线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为
。
注 由上可得，当焦点内分弦时，
有 。当焦点外分弦时，
有
。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线角为
的直线，交抛物线于
两点，若线段
的长为8，则
的焦点＿＿＿
作倾斜
解 由抛物线焦点弦的弦长公式为
得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆经过
且倾斜角为
的直线与椭圆相交于不同两点
，已知
的右焦点为。
，
（1）求椭圆的离心率；（2）若
，求椭圆方程。
解 （1）这里
，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解
得，即，所以①，又，设，
代入①得
，所以，所以，故所求椭圆方程为。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线线，交双曲线于
解 易知
均在右支上，因为两点，则
的值为＿＿＿
的右焦点作倾斜角为的直
，离心率，点准距
，因倾斜角为
，所以。由焦半径公式得，
。
例9 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的直线，交双曲线于
两点，则
的值为＿＿＿
的右焦点
作倾斜角为
解 因为，所以
。注意到
，离心率，点准距，因倾斜角为
分别在双曲线的两支上，由焦半径公式
得，
。
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆，过
的直线交椭圆于
两点，过
的直线交椭圆于
的左、右焦点分别为两点，且
。
求四边形面积的最小值。
图6
解 由方程可知， 设直线 的夹角为
。代入弦长公式得， 与轴的夹角为，因为
，则。
，所以直线与轴
，。故四边形的面
积为，
。
所以四边形面积的最小值为
。
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