复数单元测试题含答案doc

一、复数选择题

1．已知复数z1i，则A．2 2．复数zA．1i

21（ ） zC．4

D．5

B．5 1，则z的共轭复数为（ ） 1iB．1i

C．

11i 22D．

11i 223．i是虚数单位，复数A．3i

13i（ ） iC．3i

D．3i

B．3i

4．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：eicosisin（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，ei＝（ ） A．1 A．－1

B．0 B．1

2C．－1 C．－i

D．1＋i D．i

5．若复数zi1i，则复数z的虚部为（ ）

6．已知a,bR，若ab(ab)i2（i为虚数单位），则a的取值范围是（ ） A．a2或a1

B．a1或a2

C．1a2

D．2a1

7．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则z1z2（ ）

A．2 B．22

C．2 D．8

8．已知复数z1ii（i为虚数单位），则z（ ） A．1 A．第一象限 C．第三象限

B．2i

C．2i B．第二象限 D．第四象限

D．2i

9．若z(1i)2i，则在复平面内z对应的点位于（ ）

10．复数z11，z2由向量OZ1绕原点O逆时针方向旋转

zz1)的值为而得到.则arg(223（ ） A．

 6B．

 3C．

2 3D．

4 311．已知(2i)zi2021，则复平面内与z对应的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12．已知abia,bR是1i12i的共轭复数，则ab（ ） A．4

B．2

C．0

D．1

13．已知i是虚数单位，设复数abiA． 14．复数A．1+i

752i，其中a,bR，则ab的值为（ ） 2iC．

B．7 51 5D．

152(1i)2（ ） 1iB．-1+i

C．1-i

D．-1-i

15．设复数z满足(1i)z2，则z＝（ ） A．1

B．2

C．3 D．2

二、多选题

16．已知复数zcosisin（ ）

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

221的虚部为sin z217．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

18．已知复数zA．zz1

B．2

C．2i

D．2i

13i，则下列结论正确的有（ ） 22B．z2z

C．z31

D．z202013i 2219．下列四个命题中，真命题为（ ） A．若复数z满足zR，则zR C．若复数z满足z2R，则zR

B．若复数z满足

1R，则zR zD．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

n20．（多选题）已知集合Mmmi,nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集

合M的是（ ） A．1i1i

B．

1i 1iC．

1i 1iD．1i

221．若复数z满足z2i34i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A．z的虚部为3 C．z的共轭复数为23i （ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

23．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

24．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数

1325．已知复数i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

22B．z13 D．z是第三象限的点

22．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 A．1 C．31

26．已知复数zm1m3B．2的虚部为D．

3 21在复平面内对应的点在第四象限

2m1imR，则下列说法正确的是（ ）

B．若复数z2，则m3 D．若m0，则42zz20

A．若m0，则共轭复数z13i C．若复数z为纯虚数，则m1

27．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2D．i的平方等于1

28．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A．若x,yC,则xyi1i的充要条件是xy1 B．(a21)i(aR)是纯虚数

20,则z1z20 C．若z12z2D．当m4时,复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数 29．设复数z满足z12i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z|5 C．z的共轭复数为12i

B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

y2x上

30．已知复数zabi(a,bR,i为虚数单位),且ab1,下列命题正确的是( ) A．z不可能为纯虚数 数

C．若z|z|,则z是实数

D．|z|可以等于

B．若z的共轭复数为z,且zz,则z是实

1 2

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一、复数选择题 1．B 【分析】

先求出，再计算出模. 【详解】 ， ， . 故选：B. 解析：B 【分析】

21，再计算出模. z【详解】

先求出

z1i，

21i221112i， z1i1i1i2122125. z故选：B.

2．D

【分析】

先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，

所以其共轭复数为. 故选：D.

解析：D 【分析】

先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为z11i1i11i， 1i1i1i22211i. 22所以其共轭复数为故选：D.

3．B 【分析】

由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.

解析：B 【分析】

由复数除法运算直接计算即可. 【详解】

13i13ii3i. 2ii故选：B.

4．C 【分析】

利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】 由题意可知＝， 故选C

解析：C 【分析】

利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可

【详解】

由题意可知ei＝cosisin101， 故选C

5．B 【分析】 ，然后算出即可. 【详解】

由题意，则复数的虚部为1 故选：B

解析：B 【分析】

1i，然后算出即可. i【详解】 z由题意z故选：B

1i1iii11i，则复数z的虚部为1 iii16．A 【分析】

根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】 因为，，所以，， 所以或. 故选：A 【点睛】

关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.

解析：A 【分析】

根据虚数不能比较大小可得ab，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】

因为a,bR，ab(ab)i2，所以ab，a2a20， 所以a2或a1. 故选：A 【点睛】

关键点点睛：根据虚数不能比较大小得ab是解题关键，属于基础题.

27．B 【分析】

根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】

由图象可知，，则， 故. 故选:B.

解析：B 【分析】

根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】

由图象可知z1i，z22i，则z1z222i，

故z1z2|22i|(2)22222. 故选:B.

8．D 【分析】

先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D

解析：D 【分析】

先对z1ii化简，求出z，从而可求出z 【详解】

解：因为z1ii1212i所以z故选：D

2i，

2i，

9．B 【分析】

先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，

故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计

解析：B 【分析】

先求解出复数z，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】

2i1i2i1i， 1i2故z对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】

因为z(1i)2i，所以z本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.

10．C 【分析】

写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,

所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】

在复平面内运用复数的三

解析：C 【分析】

写出复数z11的三角形式z1cos0isin0，绕原点O逆时针方向旋转三角形式，从而求得【详解】

得到复数z2的3z2z1的三角形式得解. 2z11,z1cos0isin0, OZ2OZ1(cos13isin)i 3322z2z1113(i) 2222所以复数在第二象限，设幅角为，tan3

2 3故选：C 【点睛】

在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.

11．C 【分析】

由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】 由题意，，

∴，对应点，在第三象限． 故选：C．

解析：C 【分析】

由复数的乘方与除法运算求得z，得z后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】 由题意(2i)zi∴z2021i，zii(2i)12i12i， 2i(2i)(2i)5551212i，对应点(,)，在第三象限．

5555故选：C．

12．A 【分析】

先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b． 【详解】 ， 故选：A

解析：A 【分析】

先利用复数的乘法运算法则化简1i12i，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b． 【详解】

1i12i12ii23i

abi3i a3,b1，ab4

故选：A

13．D 【分析】

先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D

解析：D 【分析】 先化简abi【详解】

34i，求出a,b的值即得解. 52i(2i)234iabi，

2i(2i)(2i)5所以a故选：D

341,b,ab. 55514．C 【分析】

直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解： 故选：C

解析：C 【分析】

直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解：

2(1i)2 1i21i1i1i12ii2

1i2i 1i

故选：C

15．B 【分析】

由复数除法求得，再由模的运算求得模． 【详解】 由题意，∴． 故选：B．

解析：B 【分析】

由复数除法求得z，再由模的运算求得模． 【详解】 由题意z22(1i)1i，∴z12122． 1i(1i)(1i)故选：B．

二、多选题 16．BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】 分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】 对于AB选项，当四象限；

当0时，z1R； 当00时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第22时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，zcos2sin21，C选项正确； 对于D选项，所以，复数故选：BC.

11cosisincosisin， zcosisincosisincosisin1的虚部为sin，D选项错误. z17．ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z2|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

2a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

18．ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313因为zz22i22i441，所以A正确；

1313132ii因为z，zi，所以z2z，所以B错误； 222222131332zzzi因为2222i1，所以C正确；

因为zzz1，所以z63320202z633641313zzz1ii，222243所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.

19．AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确； 对选项B，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B正确； 对选项C，若复数满足，设

解析：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数z满足zR，设za，其中aR，则zR，则选项A正确； 对选项B，若复数z满足则z11R，设a，其中aR，且a0， zz1R，则选项B正确； a对选项C，若复数z满足z2R，设zi，则z21R， 但ziR，则选项C错误；

对选项D，若复数z1，z2满足z1z2R，设z1i，z2i，则z1z21R，

而z2iz1，则选项D错误； 故答案选：AB 【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.

20．BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时， ；时，； 时，， .

选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.

解析：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】

根据题意，Mmmi,nN中，

nn4kkN时，in1；

n4k1kN时，

ini；n4k2kN时，in1；

n4k3kN时，ini， M1,1,i,i.

选项A中，1i1i2M；

1iiM；1i选项B中， 1i1i1i21i1iC选项中，iM；

1i1i1i选项D中，1i2iM. 故选：BC. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.

2221．BC 【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考

解析：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

34i23i2，所以，复数z的虚部为3，z13，i共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】

z2i34i，z本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.

22．ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】 ， ，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD

【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断. 【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

23．AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

224225，故D正确.

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

24．ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR， 对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．

25．AB 【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】

依题意，所以A选项正确； ，虚部为，所以B选项正确； ，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误. 故选

解析：AB 【分析】

求得、2的虚部、3、【详解】

213依题意1，所以A选项正确； 2221对应点所在的象限，由此判断正确选项.

131331332iii，虚部为，所以B选项正确； 222424222313131321，所以C选项错误； 22i22i22221313ii11132222i，对应点为222213131313iii2222222213,2，在第三象限，故D选项错误. 2故选：AB 【点睛】

本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

26．BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，时，，则，故A错误；

对于B，若复数，则满足，解得，故B正确； 对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，

解析：BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，m0时，z13i，则z13i，故A错误；

2m12对于B，若复数z2，则满足，解得m3，故B正确；

m3m102m10对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得m1，故C错误；

m3m10对于D，若m0，则z13i，42zz4213i13iD正确. 故选：BD. 【点睛】

220，故

本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.

27．AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.

228．BD 【分析】

选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【详解】

取,,则,

但不满足,故A错误； ,恒成

解析：BD 【分析】

选项A：取xi,yi满足方程，所以错误；选项B：aR,a210恒成立，所以

20，所以错误；选项D：m4代入 正确；选项C：取z1i,z21,z12z2lg(m22m7)(m25m6)i，验证结果是纯虚数，所以正确.

【详解】

取xi,yi,则xyi1i, 但不满足xy1,故A错误；

aR,a210恒成立,所以(a21)i是纯虚数,

故B正确；

20,但z1z20不成立,故C错误; 取z1i,z21,则z12z2m4时，复数1g(m22m7)(m25m6)i=42i是纯虚数,

故D正确. 故选:BD. 【点睛】

本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.

29．AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|(1)2(2)25,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为12i,C正确;复数z在复平面内对应的点(1,2)不在直线

y2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

30．BC 【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】

当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由

解析：BC 【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】

当a0时,b1,此时zi为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且zz,则

12abiabi,因此b0,B正确;由|z|是实数,且z|z|知,z是实数,C正确;由|z|得ab221,又ab1,因此8a28a30,483320,无解,即41,D错误. 2|z|不可以等于

故选：BC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.