数列求和问题

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。

1、公式法求和

若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：

等差数列求和公式：，

等比数列求和公式：自然数的方幂和：

k3=13+23+33+

+n2=

+n3=

n2 (n+1)2，

k=1+2+3+

+n=

n(n+1)，

k2=12+22+32+

例1已知数列项和为

，数列

n(n+1)(2 n+ 1)

，记数列

的前

，其中的前

项和为

，求

。

解：由题意，前

项和

是首项为，公差为

，

的等差数列

2、错位相减法求和 若数列

的通项公式为

，其中

，

中有一个是等差数列，另一个

是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。

例2已知时，求数列

解：当

的前n项和时，

；

．由题可知，{

}的通项之积，这时数列

的前． ①

}的通项是等差数列{项和

}

当

的通项与等比数列{

①式两边同乘以，得

②

①式减去②式，得

若，，

若，

3、反序相加法求和

将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，Sn

表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.

例3设，利用课本中推导等差数列的前

的值为：

项和的公式的方法，可求得

解：因为f（x）=∴f（x）+f（1－x）=

，∴f（1－x）=

.

设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5） ∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3

.

4、拆项重组求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.

例4求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

∴＝

将其每一项拆开再重新组合得：

Sn＝＝

＝

＝

5、裂项相消法求和

有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为通项法。它适用于

型（其中{

}是各项

不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：

；；；

；；

；；

等

例5设数列的前项的和，，令，

，求

解：由题意得：

（其中n为正整数）

所以：

。

6、并项求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和

例6设数列

的首项为

，前

项和

。

满足关系式：

的公比为

，作数列

使

设数列

，求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.

解:由题意知为等比数列，得，故=，

故：bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列。

于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1

=b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）

=－（b2+b4+…+b2n）=－

=－

（2n2+3n）

7、累加法 给出数列｛

｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为

型，

可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。

例7数列解：由即

的前项和为，已知

得：

，

，

，求

，对

由

，

成立。

，…，

累加得：

，又，所以，当时，也成立

8多法并取求和

根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.

例8已知数列{an}：的值.

解：∵

＝

＝

∴

＝

＝