概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四)

第一章 随机事件和概率

数学一：

1（87，2分） 设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 。

2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

3（88，2分）

设三次试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于

。

19，则事件A27。

在一次试验中出现的概率为

4（88，2分）

在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件―两数之和小于

6‖的概率为 5 5（，2分） 已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B | A）=0.8，则和事件AB的概率P（AB）= 。 6（，2分） 是甲射中的概率为

7（90，2分）

甲、乙两人地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它 。 设随机事件A，B 及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那

。

么积事件AB的概率P（AB）=

8（91，3分）

随机地向半圆0的面积成正比。则原点与该点的连线与x轴的夹角小于

9（92，3分）

的概率为 。 411已知P（A）=P（B）=P（C）=,P(AB)0,P(AC)P(BC)，则事件A、B、C全不

416发生的概率为 。

10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

11（94，3分） 已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则P（B）= 。

12（96，3分） 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。

13（97，3分） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。

14（98，3分） 设A、B是两个随机事件，且00, P(B | A)=P(B | A)，则必有 （A）P（A | B）= P(A|B) （C）P（AB）= P(A)P（B）

（B）P（A | B）≠P(A|B) （D）P（AB）≠P(A) P（B）

1

15（99，3分） 设两两相互的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）<

1，且已知2P(ABC)9，则P（A）= 16 。

16（00，3分） 设两个相互的事件A和B都不发生的概率为的概率相等，则P（A）=

。

1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生917（06，4分） 设A,B为随机事件，且P(B)0,P(A|B)1，则必有

（A）P(AB)P(A). （C）P(AB)P(A).

（B）P(AB)P(B).

（D）P(AB)P(B).

数学三：

1（87，2分） 若二事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则 （A）A和B不相容（互斥）。 （B）AB是不可能事件。 （C）AB未必是不可能事件。 （C）P（A）=0或P（B）=0

[ ] 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求

（1） 先取出的零件是一等品的概率p;

（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。

3（88，2分）

设P（A）=0.4, P(AB)0.7，那么

（1）若A与B互不相容，则P（B）= ； （2）若A与B相互，则P（B）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A，B，C满足等式ACBC，则A=B

（ ）。 5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（，3分）

以A表示事件―甲种产品畅销，乙种产品滞销‖，则其对立事件A为：

（A）―甲种产品滞销，乙种产品畅销‖。 （B）―甲、乙两种产品均畅销‖。 （C）―甲种产品滞销‖。

（D）―甲种产品滞销或乙种产品畅销‖。

[ ]

7（90，3分）一射手对同一目标地进行4次射击，若至少命中一次的概率为 。

8（90，3分）

80，则该射手的命中率为 81设A、B为二随机事件，且BA，则下列式子正确的是

（B）P(AB)P(A)

（D）P(BA)P(B)P(A)

2

（A）P(AB)P(A) （C）P(B|A)P(B)

[

9（90，4分） 从0，1，2，…，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A1={三个数字中不含0和5}； A2={三个数字中不含0或5}。

10（91，3分） 设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：

（A）A与B不相容。

（B）A与B相容。 （D）P(AB)P(A)

]

（C）P(AB)P(A)P(B)。

11（92，3分） 将C，C，E，E，I，N。S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为 。

12（92，3分） 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 （A）P(C)P(A)P(B)1 （C）P(C)P(AB)

（B）P(C)P(A)P(B)1 （D）P(C)P(AB)

[

]

13（93，3分） 设两事件A与B满足P(B|A)1，则 （A）A是必然事件。 （C）AB。

（B）P(B|A)0。 （D）AB。

14（94，3分） 设0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)P(A|B)1，则事件A和B

（A）互不相容。 （B）互相对立。 （C）不。 （D）。 [ ]

15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互），求

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

16（96，3分） 已知0P(B)1,

且P[A1A2)|B]P(A1|B)P(A2|B)，则下列选项成立的是

（A）P[(A1A2)|B]P(A1B)P(A2|B) （B）P(A1BA2B)P(A1B)P(A2B) （C）P(A1A2)P(A1|B)P(A2|B) （D）P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)

2 [ ]

17（96，6分） 考虑一元二次方程xBxC0,其中B、C分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。

18（98，9分） 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

3

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

19（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件―电炉断电‖，而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于

（A）{T(1)t0} （C）{T(3)t0}

（B）{T(2)t0} （D）{T(4)t0}

[

]

20（03，4分） 将一枚硬币地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，

A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

（A）A1,A2,A3相互。 （C）A1,A2,A3两两。 数学四：

1（87，2分） 对于任意二事件A和B，有P（A-B）= （A）P（A）-P（B）。 （B）P（A）-P（B）+P（AB）。 （C）P（A）-P（AB）。

（D）P（A）+P（B）-P（AB）。[

]

（B）A2,A3,A4相互。 （D）A2,A3,A4两两。

2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：

（1） 先取出的零件是一等品的概率p；

（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 3（88，2分） 设P（A）=0.4, P(AB)=0.7，那么

（1）若A与B互不相容，则P（B）= ； （2）若A与B相互，则P（B）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A，B，C满足等式AC=BC，则A=B。（

）

5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1） 顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（，3分）

以A表示事件―甲种产品畅销，乙种产品滞销‖，则其对立事件A为：

（A）―甲种产品滞销，乙种产品畅销‖。 （B）―甲、乙两种产品均畅销‖。 （C）―甲种产品滞销‖。

（D）―甲种产品滞销或乙种产品畅销‖。

7（90，4分） 从略，1，2，…，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A1={三个数字中不含0和5}； A2={三个数字中含0但不含5}。 8（91，3分）

设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（AB）=

4

。

9（91，3分）

设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：

（B）A与B相容。

[ ]

（A）A与B不相容。

（C）P（AB）=P（A）P（B） （D）P（A-B）=P（A）

10（92，3分） 设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=则A，B，C至少出现一个的概率为 。

11（92，3分） 设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则 （A）P（C）=P（AB）。 （B）P（C）=P（AB）

11，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，48（C）P（C）≤P（A）+P（B）-1。 （D）P（C）≥P（A）+P（B）-1。 [ ]

12（93，3分） 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

13（94，3分） 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。

14（94，3分） 设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，P（A | B）+P（A| B）=1，则事件A和B

（A）互不相容。 （B）互相对立。

（C）不。 （D）。 [ ]

15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互），求

（1） 全部能出厂的概率α;

（2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

16（96，3分） 设A，B为随机事件且AB，P（B）＞0，则下列选项必然成立的是 （A）P（A）＜P（A | B）。 （B）P（A）≤P（A | B）。 （C）P（A）＞P（A | B）。 （D）P（A）≥P（A | B）。 [ ] 17（97，3分） 设A，B是任意两个随机事件，则 P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}= 。

18（98，3分） 设一次试验成功的概率为p，进行100次重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。

19（98，3分） 设A，B，C是三个相互的随机事件，且0＜P（C）＜1。则在下列给定的四对事件中不相．

互的是

（A）AB与C。

（B）AC与C。 （D）AB与C。

[

]

（C）AB与C。

20（00，3分） 设A，B，C三个事件两两，则A，B，C相互的充分必要条件是 （A）A与BC。 （B）AB与AC。 （C）AB与AC。 （D）AB与AC。 [ ]

21（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件―电炉断电‖，设T（1）≤T（2）≤T（3）≤T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件

（A）{T（1）≥t0}. （B）{T（2）≥t0}. （C）{T（3）≥t0}. （D）{T（4）≥t0}. [ ]

5

22（01，3分） 对于任意二事件A和B，与AB=B不等价的是 ．．．（A）AB。

（B）BA. （D）ABΦ。

[

]

（C）ABΦ。

23（02，8分） 设A，B是任意二事件，其中0＜P（A）＜1。证明： P（B | A）=P（B | A）是A与B的充分必要条件。

24（03，4分） 对行任意二事件A和B， （A） 若AB≠Φ，则A，B一定。 （B） 若AB≠Φ，则A，B有可能。 （C） 若AB=Φ，则A，B一定。 （D） 若AB=Φ，则A，B一定不。

25（06，4分）设A,B为两个随机事件，且P(B)0，P(A|B)1则有（ ） （A）P(AB)P(A) （C）P(AB)P(A)

（B）P(AB)P(B) （C）P(AB)P(B)

考研数学概率与统计历年真题答案

第一章

数学一：

5320117311; 3. 4. 5.0.7 6. 7.0.3 8.  12053325423132129. 10. 11. 1-p 12. 13. 14.(C) 15. 16. 17. (C) 8675431.

1(1p)n; (1p)nnp(1p)n1

2.

数学二： 1. (C) 2.11.

2; 0.486 3.0.3; 0.5 54. 非 5. 0.943; 0.848 6. (D) 7.

(D)

2714 8.(A) 9. ; 10. (D) 315151 12. 1260(B) 13. (D) 14.

n2nn115. 0.94n; Cn0.94n20.062; 1Cn0.94nCn0.94n10.06 16.

(B) 17.

191; 361818.

2920; 19. (C) 20. (C) 9061277; 8. 0.6 ; 0.486 3. 0.3; 0.5 4. 非 5. 0.943; 0.848 6. (D) 7.

5153051210. 11. (D) 12. 13. 14. (D)

853数学四： 1. (C) 2. 9. (D)

n2nn115. 0.94; Cn0.94n20.062; 1Cn0.94nCn0.94n10.06

16. (B) 17.0 18.

1; 5 19. (B) 20.(A) 21.(C) 22.(D) 23. (B) 24. (B) 25. (C) 26

第二章 随机变量及其分布

数学一：

1（88，2分）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。已知

(x)x12eu22则X落在区间（9.95, 10.05）内的概率为 du,(2.5)0.9938， 。

2（88，6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)13，求随机变量Y=1-X的概率密度函数2(1x)fY(y)。

3（，2分） 。

4（90，2分） = 。

设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量YX在（0，4）内的概率分布密度fY(y)设随机变量X的概率密度为

2设随机变量在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程x2x10有实根的概率是 已知随机变量X的概率密度函数f(x)1|x|e，x，则X的概率分布函数F（x）25（93，3分） 。 6（95，6分）

exfX(x)0,Xx0 x0求随机变量Ye的概率密度fY(y)。

7（02，3分）

设随机变量X服从正态分布N(,2)(0)，且二次方程y4yX0无实根的概率为。

21，则 2

8（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满足P{Xu}，若P{Xx}，则x等于

(A) u. (B) u212. (C) u1 . (D) u1 . [ ]

2

29（06，4分） 设随机变量X服从正态分布N(1,12)，Y服从正态分布N(2,2)，且

P{|X1|1}P{|Y2|1},

（A）12. （C）12.

7

（B）12. （D）12.

数学三：

1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。

2（87，4分） 已知随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.2，P{X=2}=0.3, P{X=3}=0.5试写出其分布函数F(x). 3（88，6分） 4（，3分）

设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Ye设随机变量X的分布函数为

2X

的概率密度f(y)。

0,若x0F(x)Asinx,若0x

21,若x2则A=

，P{|X|6}= 。

5（，8分） 设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行三次观测，试求至少有两次观测值

大于3的概率。

6（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

[附表]：

x(x)00.5000.50.6921.00.8411.50.9332.00.9772.50.9943.00.999 表中(x)是标准正态分布函数。

7（91，3分） 设随机变量X的分布函数为

若x10,0.4,若-1x1F(x)P(Xx)

0.8,若1x3若x31,则X的概率分布为 。

8（91，5分） 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互，且红、绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。 9（92，7分） 设测量误差X~N（0，102）。试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。 [附表]：

e10.36820.13530.05040.01850.00760.00270.001 10（93，8分） 设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布。 （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

8

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。 11（94，3分） 设随机变量X的概率密度为

2x,0x1 f(x)0,其他以Y表示对X的三次重复观察中事件{X}出现的次数，则P{Y2} 12 。

12（95，3分） 设随机变量X~N（μ，σ2），则随着σ的增大，概率P(|X|)

（A）单调增大。 （C）保持不变。

（B）单调减小。 （D）增减不定。

13（97，7分） 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X1)11,P(X1)。在事件{-114（00，3分） 设随机变量X的概率密度为

13,f(x)2,90,若x[0,1]若x[3,6] 其他2,则k的取值范围是 3 。

若k使得P{Xk}15（03，13分） 设随机变量X的概率密度为

132,3xf(x)0,

若x[1,8]

其他F(x)是X的分布函数.求随机变量YF(X)的分布函数.

16（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α(0,1), 数uα满足P{Xuα}α, 若

P{|X|x}α, 则x等于

(A) uα. (B) u21α2. (C) u1α. (D) u1α. [ ]

22217（06，4分） 设随机变量X服从正态分布N1,1,随机变量Y服从正态分布N2,2,且

PX11PY21,则必有 ( )

9

(A)(B) (C) (D)

12 12

12 12

数学四：

1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。（ ）

2（88，6分） 设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度f(y). 3（，3分） 设随机变量X的分布函数为

若x00,F(x)Asinx,若0x

21,若x2则A=

，P{|X|＜

＝ 6 。

4（，8分） 布密度为

某仪器装有三只工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分

x1600e,若x0f(x)=600

若x00,试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。

5（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

x00.51.01.52.02.53.0(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999 表中Φ（x）是标准正态分布函数。 6（91，7分） 在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求

（1） 该电子元件损坏的概率α；

（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。

x0.100.200.400.600.801.001.201.40(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919 表中Φ（x）是标准正态分布函数。

7（92，7分） 设测量误差X～N（0，102）。试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

e1234567 0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.00110

8（93，8分） 设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λ的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。 9（94，7分） 设随机变量X的概率密度为

f(x)=2x,0x1

其他0,现对X进行n次重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Vn的概率分布。

10（95，3分） 设随机变量X～N（μ，σ2），则随着σ的增大，概率P﹝|X-μ|＜σ﹞ （A）单调增大。 （B）单调减小。 （C）保持不变。 （D）增减不定。 11（95，7分） 设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布。 12（96，3分） 一实习生用同一台机器接连地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi=

1(i=1，2，3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则P（X=2）= i1 。

13（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若

P{X≥1}=

5，则P{Y≥1}= 9 。

14（97，8分） 设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=

11，p{X=1}=，在事件{-1（1） X的分布函数F(x)p{Xx};

（2） X取负值的概率。

15（99，3分） 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数 （A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点

16（03，13分） 设随机变量X的概率密度为

132,若x[1,8] f(x)3x其他0,F（x）是X的分布函数，求随机变量Y=F（X）的分布函数。

17（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α(0,1), 数uα满足P{Xuα}α, 若

P{|X|x}α, 则x等于

(A) uα. (B) u1α . (C) u221α2. (D) u1α. [ ]

2218（06，4分）设随机变量X服从正态分布N(u1,1)，随机变量Y服从正态分布N(u2,2)，且

P{|Xu1|13)P{|Yu2|1)，则必有（ ）

（A）12

（B）12

（C）u1u2

11

（D）u1u2

第二章 参

数学一： 3(1y2)1. 0.9876

3.

45 1y12当0y45.

4

0其他7. 4 9. (A) 数学三：

1. 是 1e2ye43.

2y

4. 1;

10其他2 x1137.

p0.40.40.29. 0.962; 0.871

11.

9 12. (C) 13.

14. [1, 3]

16. (C) 17. (A)

2.

[1(1y)6]

yR

1x2e当x0 4.



11x2e当x01y2当y1

6.



0其他 8. (C) 0x1 2.

0.21x20.52x3

13x 5. 2027 6. 0.682

x0123

8.

p11112488t)1et10. F(t00t0; Qe8 x1F(x)05(x1)11x1 11618x1y0

15. 0y0y1 1y112

数学四：

1. 是 2.

12y0e2ye4

其他3. 1;

1 2

4. 1-e-1

6. 0.0; 0.009

5. 0.682

7. 0.96; 0.87

1et8. F(t)0t0; Qe8

t09.

kp(Vnk)Cn0.01k0.99nk

(k0.1,,n)

12.

10. (C)

111 13. 243

05114. F(x)(x1)1816115. (D)

x11x1 x1

016. y1y00y1 ; 1 y117. (C) 18. (A)

13

第三章 二维随机变量及其分布数学一：

1（87，6分） 设随机变量X，Y相互，其概率密度函数分别为

1,0x1 fX(x)0,其他ey,fY(y)0,y0 y0求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。

2（91，6分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

2e(x2y)f(x,y)0,求随机变量Z=X+2Y的分布函数。

3（92，6分）

x0,y0

其他设随机变量X与Y相互，X服从正态分布N(,2)，Y服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y

的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中(x)e21xt22(dt)。

X0121 则随机

4（94，3分） 设相互的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为

p变量Z=max{X，Y}的分布律为 。

5（95，3分） 设X和Y为两个随机变量，且

12P{X0,Y0}34,P{X0}P{Y0} 77

。

则P{max(X,Y)0}

6（98，3分）设平面区域D由曲线y1及直线y0,x1,xe2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域Dx上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。 7（99，3分） 设两个相互的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则

1 21（C）P{XY0}

2（A）P{XY0}

1 21（D）P{XY1}

2（B）P{XY1} 8（99，8分） 设随机变量X与Y相互，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y X x1 x2 y1 1/8 1/6 y2 1/8 y3 P{Xxi}pj 1 p{Yyj}pj 9（02，3分）

设X1和X2是任意两个相互的连续型随机变量，它们的概率密度

14

分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则

（A）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度； （B）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度； （C）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数； （D）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 10（03，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

[

]

6x,0xy1 f(x,y)其他0则P{XY1}=

。

11（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y

X 0

1

0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相，则 （A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1 （D）a=0.3, b=0.2 （D）a=0.1, b=0.4 [ ]

13（05，9分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

1,0x1,0y2x, f(x,y)0,其他 求：（I）（X，Y）的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X－Y的概率密度fZ(z).

14（06，4分）设随机变量X与Y相互，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则Pmax{X,Y}1= .

12,1x01215（06，9分）随机变量x的概率密度为fxx,0x2令yx,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函

40,其他数.

15

(Ⅰ)求Y的概率密度fYy (Ⅱ)F 数学三：

1（90，3分）

设随机变量X和Y相互，其概率分布为

1,4 2mP{Xm}1121

mP{Ym}1121 1212

则下列式子正确的是：

（A）XY

（B）P{XY}0 （D）P{XY}1

（C）P{XY}1 22（90，5分） 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为：

1e0.5xe0.5ye0.5(xy)F(x,y)0,若x,y0

其他（1） 问X和Y是否？

（2） 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。

3（92，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

ey,0xy f(x,y)其他0,（1） 求X的概率密度fX(x); 求P{XY1}。

4（94，8分）

设随机变量X1,X2,X3,X4相互且同分布，

P(Xi0)0.6,P(Xi1)0.4(i1,2,3,4)。

求行列式

X的概率分布。

5（95，8分）

X1X3X2X4

已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为

4xy,f(x,y)0,若0x1,0y1其他16

求（X，Y）的联合分布函数。 =

6（97，3分）

设两个随机变量X与Y相互且同分布，P（X=-1—）=P（Y=-1）=

1，P（X=1）=P（Y=1）21，则下列各式成立的是 21 （A）P(XY)

21 （C）P(XY0)

47（98，3分）

（B）P(XY)1 （D）P(XY1)1 4 [ ]

设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)a1F1(x)bF2(x)是某一随

机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

32,b 5513（C）a,b

22（A）a

22,b 3313（D）a,b

22（B）a8（99，3分）

1设随机变量Xi~140121(i1,2), 14且满足P{X1X20}1,则P{X1X2}等于

（A）0

（B）

1 4 （C）

1 2 （D）1 [ ]

9（01，8分）

设随机变量X和Y的联合分布是正方形G{(x,y:1x3,2y3}上的均匀分布。试求随

机变量U|XY|的概率密度p(u)。

10（03，13分） 设随机变量X与Y，其中X的概率分布为

1X~0.3

Y X 0 0 1

1

a 0.1

2 0.7而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

11（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

0.4 b

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相，则a =_____________, b =_____________. 13（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

17

1,0x1,0y2x, f(x,y)0,其他.

求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度fZ(z); （III）PY

11X. 2214（06，4分） 设随机变量X与Y相互,且均服从区间0,3上的均匀分布,则

PmaxX,Y1_________

数学四：

1（90，6分） 甲、乙两人地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表

示甲和乙的命中次数，试求（X，Y）的联合概率分布。

2（93，3分） 设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N（μ，42），Y～N（μ，52），记p1=P{X≤μ-4}， p2=P{Y≥μ+5}，则

（A） 对任何实数μ，都有p1=p2。 （B） 对任何实数μ，都有p1=＜p2。 （C） 只对μ的个别值，才有p1=p2。 对任何实数μ都有p1=＞p2。

3（96，7分） 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互，且无故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。

4（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若P{X≥0}=

5，则P{Y≥1}= 9 。

5（98，3分）

设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量

的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

32,b 5513（C）a,b

22（A）a

22,b 3313（D）a,b

22

（B）a6（99，9分） 设二维随机变量（X，Y）在矩形G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的

矩形面积S的概率密度f(s)。

7（99，8分） 已知随机变量X1和X2的概率分布

10X1~1142而且P{ X1X2 =0}=1。

（1） 求X1和X2的联合分布：

10,X~211421 1218

（2） 问X1和X2是否？为什么？ 8（02，3分）

设X1和X2是任意两个相互的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分

布函数分别为F1(x)和F2(x)。则

（A）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度。 （B）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 （C）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 （D）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度。

9（04，13分） 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在Xx(0x1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率P{XY1}．

10（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 11（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y X 0 0 1

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相，则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4 C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 12（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

1

a 0.1

0.4 b

1,0x1,0y2x, f(x,y)0,其他.

求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度fZ(z); （III）PY

11X. 22]的均匀分布，则 13（06，4分） 设随机变量X与Y相互，且均服从区间[1,3上P{max(x,y)1} 19

14（06，13分） 设二维随机变量（X,Y）的概率分布为

Y X -1 0 1

其中a,b,c为常数，且x的数学期望EX0.2，P{x0,y0}0.5，记ZXY 求：（1）a,b,c的值 （2）Z的概率分布 （3）P{XZ}

第三章 参

数学一：

-1 0 0 b 0.1 1 0.2 0.2 c a 0.1 0 1.

01fZ(Z)(1ez)21(e21)eZ2Z00Z2 Z2Z0

1eZZeZ2. FZ(Z)03.

Z01ZuZu[()()] 2Z4. 0141

p5. 8. 346.

5 71 4 7. (B)

Y X Y1 1 241 81 610.

Y2 1 83 81 21 4Y3 pi 1 43 41 X1 X2 pj 9. (D)

1 121 41 320

11.

13 12. B 4812xy1dx1,0y21dy2x,0x113. fX(x)，fY(y)y/2 200,其他0,其他z1,0z2fZ(z)2

0,其他14. 1/9

38y,0y111'15. fY(y)FY(y),1y4 16.

48y0,其他数学三： 1. (C)

2. ；e100

3. ex; 1-2e12e1

X4. 10.134400.73121 p

013440y225. F(x,y)xx2y216. (A)

x0,y0x1,0y10x1,y10x1,0y1x1,y1 7. (A)

8. (A)

u0u2129. f(u)

0其他1311. 12. a=0.4, b=0.1 48

）0.7f（u2）10. 0.3f（u1

12xy1dx1,0y21dy2x,0x113. fX(x)，fY(y)y/2 200,其他0,其他z1131,0z2fZ(z)2，P{YX}

2240,其他14. 1/9

数学四：

21

1. X Y 0 1 2 0 0.16 0.08 0.01 0.25 1 0.32 0.16 0.02 0.5 2 0.16 0.08 0.01 0.25 pi 0. 0.32 0.04 1 pj 2. (A)

3e3t 3. fT(t)00S2S0或S2

t019 4.

27t0 5. (A)

1(ln2lnS)6. fS(S)207. (1) X1 -1 0 1 pi 1 21 21 X2 0 1 1 40 0 1 40 pj (2) 不 8. (B)

1 41 21 21 41lny,0y1，,0yx1，9. (1) f(x,y)x (2) fY(y) (3) 1ln2

其他．0，其他．0，10.

13 11.D 4812xy1dx1,0y21dy2x,0x112. fX(x)，fY(y)y 2/200,其他0,其他z1131,0z2fZ(z)2，P{YX}

2240,其他13. 1/9 14. a0.2,b0.1,c0.1; P{XZ}0.2

22

第四章 随机变量的数字特征

数学一：

1（87，2分）

已知连续型随机变量X的概率密度为

f(x)1ex22x1

则EX= ，DX= 。 2（，6分） 设随机变量X与Y，且X~N（1，2），Y~N（0，1），试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。 3（90，2分） 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z=3X-2，则EZ= 。

4（90，6分） 设二维随机变量（X，Y）在区域D：05（91，3分） 。

设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(Xe2x) 设随机变量X的概率密度为

。

设随机变量X服从均值为2、方差为的正态分布，且P{2X4}0.3,则P{X0} 26（92，3分） 7（93，6分）

f(x)1|x|e,x 2（1） 求EX和DX；

（2） 求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？ （3） 问X与|X|是否相互？为什么？ 8（94，6分）

已知随机变量X~N(1,3)，Y~N(0,4),且X与Y的相关系数

22XY,设Z12XY。 32（1） 求EZ和DZ；

（2） 求X与Z的相关系数XZ; （3） 问X与Z是否相互？为什么？ 9（95，3分） 。

设X表示10次重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则E(X)= 210（96，3分） 设和是两个相互且均服从正态分布N（0， 。

11（96，6分）

1）的随机变量，则E(||) 2设和是相互且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为

1P(i),i1,2,3又设Xmax(,),Ymin(,).

3（1） 写出二维随机变量（X，Y）的分布律； （2） 求EX。

12（97，3分）设两个相互的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是 （A）8 （B）16 （C）28 （D）44 [ ] 13（97，7分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互的，

23

并且概率都是

2。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。 5114（98，6分） 设两个随机变量X、Y相互，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求|X-Y|的方差。

215（00，3分） 设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量XY与XY不相关的充

分必要条件为

（A）E(X)E(Y)

（B）E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2 （C）E(X2)E(Y2)

（D）E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2

[

]

16（00，8分） 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(017（01，3分） 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

（A）-1

（B）0

（C）

1 2 （D）1 [ ]

18（02，7分） 设随机变量X的概率密度为

x1cos,0xf(x)2 2其他0对X地重复观察4次，用Y表示观察值大于

2的次数，求Y的数学期望。 3 19（03，10分） 已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

（1） 乙箱中次品件数X的数学期望。

（2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

20（04，4分） 设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{XDX}= . 21n21（04，4分） 设随机变量X1,X2,,Xn(n1)同分布，且其方差为0. 令YXi，则

ni1(A) Cov(X1,Y)(C) D(X1Y)2n. (B) Cov(X1,Y)2.

n22n12. (D) D(X1Y). [ ] nn22（04，9分） 设A,B为随机事件，且P(A)111,P(BA),P(AB)，令 432 X,1,A发生1,B发生, Y ;.0,A不发生0,B不发生求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；

24

（II）X和Y的相关系数XY. 数学三：

1（87，4分）

已知随机变量X的概率密度为

xx22e2a,af(x)0,求随机变量Y

2x0

x01的数学期望E(Y)。 X已知随机变量（X，Y）的联合密度为

2（，7分）

e(xy),F(x,y)0,试求：（1）P{XY}）；

（2）E(XY)。 3（91，3分）

x0,y0

其他对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)E(X)E(Y)，则

（B）D(XY)D(X)D(Y) （D）X与Y不。

[

]

（A）D(XY)D(X)D(Y)。 （C）X与Y。 4（91，6分）

设随机变量（X，Y）在圆域x2y2r2上服从联合均匀分布。

（1） 求（X，Y）的相关系数ρ

（2） 问X和Y是否？

5（92，5分） 某设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。设各部件的状态相互，以X表示同时需要调整的部件数，试求E（X）和D（X）。

6（93，8分） 设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为

328x,f(x)0,0x2

其他3,求常数a； 4（1） 已知事件A{Xa}和B{Ya},且P{AB}（2） 求

1的数学期望。 2X7（94，8分 ） 设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其作为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：

25

1,T20,5,问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

8（95，3分）

若x10若10X12 若X12设随机变量X和Y同分布，记UXY,VXY,则随机变量U与V必然

（A）不。 （B）。

（C）相关系数不为零。 （D）相关系数为零。 [ ] 9（96，7分） 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的利润期望。 10（97，6分） 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光。电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行。设一游客在早上八点的第X分钟到达底层侯梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 11（97，6分） 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。 12（98，10分） 一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是两个相互的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1 000元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为500元。试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

13（99，3分） 设随机变量Xij(i,j1,2,,n;n2)同分布，EXij2,则行列式

X11X21YXn1的数学期望EY=

。

X12X22Xn2X1nX2n

Xnn14（99，9分） 假设二维随机变量（X，Y）在矩形g{(x,y)|0x2,0y1}上服从均匀分布，记

0,U1,若XY

若XY0,V1,若X2Y

若X2Y（1） 求U和V的联合分布； （2） 求U和V的相关系数r。

15（00，3分） 设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量

1,Y0,1,则方差DY=

。

26

若X0若X0 若X0 16（00，8分） 设A，B是二随机事件，随机变量

若A出现1, X1,若A不出现

若B出现1, Y1,若B不出现试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互。

17（01，3分） 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

（A）-1

（B）0

（C）

1 2 （D）1 [ ]

18（02，3分） 设随机变量X和Y的联合概率分布为 概率 Y X 0 1 -1 0 1 0.07 0.08 0.18 0.32 0.15 0.20 则X2和Y2的协方差cov(X2,Y2) . 19（02，8分） 假设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量

1,若U1 X1,若U1

1,若U1 Y1,若U1试求（1）X和Y的联合概率分布；

（2）D（X+Y）。 20（02，8分）设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。 21（03，4分） 设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为 。

22（04，4分） 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X23（04，13分） 设A，B为两个随机事件,且P(A)DX} .

111, P(B|A), P(A|B), 令 432A发生，1,1,B发生， Y X0，A不发生，0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) ZXY的概率分布.

24（06，13分）设随机变量X的概率密度为

2227

12,1x01fxx,0x2,令YX2,FX,Y为二维随机变量X,Y的分布函数,求:

40,其它(Ⅰ) Y的概率密度fYy (Ⅱ) covX,Y (Ⅲ)F1,4 2数学四：

1（87，8分） 已知离散型随机变量X的概率分布为 P（X=1）=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5 (1) 写出X的分布函数F（x）； (2) 求X的数学期望和方差。

2（88，7分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差。 3（，3分） 设随机变量X1、X2、X3相互，其中X1在区间[0，6]上服从均匀分布，X2~N（0，22），X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，则DY= 。 4（，8分） 已知随机变量（X，Y）的联合分布为

(x,y)P{Xx,Yy)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.100.150.250.200.150.15

试求： （1）X的概率分布；

（2）X+Y的概率分布；

（3）Z=sin

(XY)2的数学期望。

5（90，3分） 设随机变量X~N（-3，1），Y~N（2，1），且X与Y相互。若Z=X-2Y+7，则Z~ 。 6（90，3分） 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n, p的值为 (A) n=4, p=0.6 (B) n=6, p=0.4 (C) n=8, p=0.3 (D) n=24, p=0.1 7（91，7分） 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互，且红、绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。求X的概率分布和E1。 1X 8（92，7分） 某设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。设各

部件的状态相互，以X表示同时需要调整的部件数，试求E（X）和D（X）。

28

9（93，8分） 设随机变量X和Y相互，都在区间[1，3]上服从均匀分布。引进事件A={X≤α}，B={Y>α}

(1) 已知P(AB)(2) 求

7，求常数α； 91的数学期望。 X10（94，8分） 设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。

若X101,T20,若10X12

5,若X12问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

11（95，3分） 设随机变量X的概率密度为

1x,若1X0f(x)1x,若0X1

0,其他则DX= 。

12（96，7分） 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的利润期望。 13（97，3分） 设X是一随机变量EX=μ，DX=σ2（μ，σ2>0是常数），则对任意常数C必有 （A）E（X-C）2=EX2-C2 （B）E（X-C）2=E（X-μ）2

（C）E（X-C）20,若Yk Xk1,若Yk(k1,2)求： （1）（X1，X2）的联合概率分布； （2）E（X1+X2）。 15（98，9分） 设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9 280元，试确定最少进货量。 16（98，7分） 某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记

1,若抽到i等品 Xi其他(i1,2,3)0试求：（1）（X1，X2）的联合分布；

（2）（X1，X2）的相关系数。

17（99，3分） 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，则λ= 18（99，3分） 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=DX+DY是X和Y （A） 不相关的充分条件，但不是必要条件。 （B） 的必要条件，但不是充分条件。 （C） 不相关的充分必要条件。 （D） 的充分必要条件。

29

。

19（00，3分） 设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量

1,若X0Y0,若x0

1,若X0则DY= . 20（00,8分）

设二维随机变量（X，Y）的密度函数为

1f(x,y)[1(x,y)2(x,y)]

2其中1(x,y)和2(x,y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。

（1）求随机变量X和Y的密度函数f1(x)和f2(y)，及X和Y的相关系数ρ（可以直接利用二维正态的性质）。 （2）问X和Y是否？为什么？

21（00，8分） 设A，B是二随机事件，随机变量

11和，它们的边缘33若A出现1, X1,若A不出现若B出现1, Y1,若B不出现试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互。 22（01，3分） 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上或反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 （A） -1 （B）0

（C）

1 2 （D）1 [ ]

23（01，3分） 设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。

24（02，3分） 设随机变量X和Y的联合概率分布为 概率 Y X 0 1 -1 0.07 0.08 0 0.18 0.32 1 0.15 0.20 则X和Y的关系数ρ= 。

25（02，8分） 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。

26（03，4分） 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 （A）X与Y一定。 （B）（X，Y）服从二维正态分布。 （C）X与Y未必。 （D）X+Y服从一维正态分布。

27（03，4分） 设随机变量X和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0, EX2=EY2=2，则 E（X+Y）2= 。 28（03，13分） 对于任意二事件A和B，0P(AB)P(A)P(B)30 P(A)P(B)P(A)P(B)

称作事件A和B的相关系数。

（1） 证明事件A和B的充分必要条件是其相关系数等于零； （2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明|ρ|<1。

29（04，4分） 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{XDX} .

30（04，4分） 设随机变量X21,X2,,Xn(n1)同分布，且方差σ0．令随机变量

Y1nnXi， 则

i1(A) D(X1Y)n2nσ2． (B) D(Xn221Y)nσ． (C) Cov(Xσ21,Y)n． (D) Cov(X1,Y)σ2． [ ]

31（04，13分） 设A,B为两个随机事件,且P(A)14, P(B|A)13, P(A|B)12, 令 X1,A发生， 0，A不发生，Y1,B发生， 0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) ZX2Y2的概率分布.

32（05，13分）设X1,X2,,Xn(n2)为同分布的随机变量，且均服从N（0，1nnXXi,YiXiX,i1,2,,n.

i1 求： （I）Yi的方差DYi,i1,2,,n; （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

(III) PY1Yn0.

33（06，13分）设随机变量X的概率密度为

12,1x0

f(x)1y4,0x2,令YX2，F(X,Y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数。 0,其它31

）。记

1求：（1）Y的概率密度fY(y) （2）cov(X,Y) （3）F(1,4) 2第四章 参

数学一：

2x11. 1; 2. Z~N(5,9) 3. 4 4. fx(x)200x1;

其他 D(Z)42 5. 0.2 6.

397. (1) E(X)0,D(X)2 (2) cov(x,|x|)0 (3) 不 8. (1)E(Z)13,P(Z)3

(2) PXZ0

(3) 判断不清

9. 10.4 10. 2

11. (1) Y 1 2 3 Z 1 19 0 0 2 219 9 0 3 2219 9 9 (2) E(x)229 12. (D)

13. p(xk)Ck2k33k3(5)(5)

k0,1,3,

E(x)1.2

14. 1-

2 15. (B) 16. E(x)1p D(x)1p3p2 17. (A) 18. 5 19. 2;1422. (1)

Y

X 0 1

0 213 12 1 116

12 (2)

1515 数学三： 1.

112a2 2. 2;1 3. (B)

14. pXY0; 不

5. 0.6; 0.46

6. 43;34 32

20. 1e 21. (A)

25te5t125707. 11ln 8. (D) 9. 5.2 10. 11. f(t)2216012. 14167 13. 0

14. (1) V U 0 1 0 1 t0 t0E(T)2 5D(T)2 251 41 4

0 1 2 (2)

1315.

8 917. (A) 18. –0.02

19. (1) Y X -1 1 (2) 2 -1 1 1 41 20 1 40y20. F(y)1e5123. (1)

y00y2

y2

21. 0.9 22.

1 eY X 0 1 0 1 2 31 6 1 121 12(2) (3) 15 15 Z P 0 1 2 121 341233

38y,0y124. f)F'1Y(yY(y)8y,1y4

0,其他cov(X,Y)=

23 F(112,4)4 数学四：

0x11. (1)F(x)0.21x20.52x3

(2) 2, 3; 0.61

1x3X0122.

E(X)288p4819

D(X)405 545453. 46

X0124. (1) p0.250.450.3

XY0123 (2)

(3) E(Z)0.25

p0.10.40.350.155. N(0, 5)

6. (B)

X01237.

E(167p1111x1)96 24888. 0.6; 0.46 9. (1) a53或73 (2) E(1x)12ln310. u1112512ln21 11. 6 12. 5.2 14. (1) x0 1 2 x1 0 1e1 0 1 e1e2 e2 (2) e1e2

15. 21

16. (1)

34

13. (D)

x2 0 1 x1 0 1 (2) 1 104 51 100 2 381 20. (1) f1(x)e92x2217. 1 18. (B) (C) 19.

f2(y)12ey22 p=0 (2) 不。

22. (A) 23. 31. (1)

11 24. 0 26. (C) 27. 6 29. 30. (C)

e18Y X 0 1 0 1 2 31 61 121 12(2) (3) 15 15 Z P 0 1 2 121 341211132. (Ⅰ)1； （Ⅱ）； （Ⅲ）

n2n 38y,0y12111',1y4 covX(,Y)= F(,4) 33. fY(y)FY(y)3248y0,其他

35

第五章 大数定律和中心极限定理

数学一：

1（01，3分）

设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|XE(X)|2} 。

数学三：

1（88，6分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占20%。以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

（1） 写出X的概率分布；

（2）利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 [附表]Φ（x）是标准正态分布函数。

x(x)00.5000.50.6921.00.8411.50.9332.00.9772.50.9943.00.999 2（，3分） 。

3（96，6分）

设X为随机变量且EX,DX2。则由切比雪夫不等式，有P{|X|3} 设X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本。已知EXkak(k1,2,3,4)，证明当n充分

1n2大时，随机变量ZnXi近似服从正态分布，并指出其分布参数。

ni14（99，3分）

在天平上重复称量一重为a的物品。假设各次称量结果相互且服从正态分布

N(a,0.22).若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为使

P{|Xna|0.1}0.95

n的最小值应小于自然数 。 5（01，3分） 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有P{|XY|6}

.

6（01，8分） 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。（Φ（2）=0.977，其中Φ（x）是标准正态分布函数。） 数学四：

1（01，3分） 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有P{|X-Y|≥6}≤ 。

2（01，8分） 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。(Φ（x）是标准正态分布函数。)

3（02，3分） 设随机变量X1，X2，…Xn相互，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn

36

（A）有相同的数学期望。 （C）服从同一指数分布。 （B）有相同的方差。

（D）服从同一离散型分布。

[ ]

4（05，4分）设X1,X2,，Xn,为同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)的指数分布，记(x)为标准正态分布函数，则

nnXinA、limXini1nPnx(x).

B、limnP

i1xn(x).nnC、limnPXinXi1xi(x). D、limPi1x(x nnn).



第五章 参

数学一： 1.

12 数学三：

1. (1) p(xk)Ckkk11000.20.8100 (k0,1,100) (2) 0.927 2.

9 3. N(a22,a4a2) 4. 16 数学四： 1.

112 2. 98 3. (C) 4. C

37

5. 112 6. 98 第六章 数理统计的基本概念

数学一：

1（98，4分） 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ [附表]：(Z)Z12et22dt

Z1.281.51.962.33

(Z)0.9000.9500.9750.990

2（01，7分） 设总体X~N(,2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本X1,X2,,X2n(n2)，其样本

n12n的均值X。 Xi,求统计量Y(XiXni2X)2的数学期望E（Y）2ni1i13（03，4分） 设随机变量X~t(n)(n1),Y（A）Y~x(b) （C）Y~F(n,1)

21，则 X22

（B）Y~x(n1) （D）Y~F(1,n)

4（05，4分） 设X1,X2,，Xn(n2)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S2为样本方差，则

1）（A）nX~N（0，

（B）nS~（D）

22(n)

~F(1,n1)

(n1)X~t(n1) （C）

S(n1)X12Xi2n2i5（05，9分）设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X为样本均值，记

YiXiX,i1,2,,n.

求：（I）Yi的方差DYi,i1,2,,n; （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

数学三：

1（94，3分）

设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,）的简单随机样本，X是样本均值，记

238

1nS(XiX)2 n1i121

1nS(XiX)2

ni1221n2 S(X)in1i123

1nS(Xi)2

ni124则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是[ ]

（A）tXS1/n1XS3/n

（B）tXS2/n1XS4/n

（C）t

（D）t

2（97，3分）

设随机变量X和Y相互且都服从正态分布N(0,32),，而X1,X2,X9和Y1,Y2,,Y9分别

是来自总体X和Y的简单随机样本。则统计量UX1X9YY2129服从 分布，参数为 。

3（98，3分） 设

X1,X2,X3,X4是来自正态总体n(0,22)的简单随机样本。

，b= 时，统计量X服从x2分布，其自由度为

Xa(X12X2)2b(3X34X4)2.则当a 。

4（99，7分）

设X1,X2,X9是来自正态总体X的简单随机样本，

Y1211(X1X6)， Y2(X7X8X9) 6319S(XiY2)2， Z2i12(Y1Y2)

S证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

5（01，3分）

设总体X~N（0，22），而X1,X2,,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量

2X12X10 Y222(X11X15服从 分布，参数为 。 6（02，3分） 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则 （A）X+Y服从正态分布。 （B）X2+Y2服从x2分布。 （C）X2和Y2都服从x2分布。 （D）X2 / Y2服从F分布。

7（03，4分）

[ ]

设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当

。

12n时，YnXi依概率收敛于 ni18（04，4分） 设总体X服从正态分布N(μ1,σ), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ),

22X1,X2,Xn1和 Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

39

22n2n1(XiX)(YjY)j1i1 .

En1n229（06，4分） 设总体X的概率密度为fx本方差S,则ES=__________

221xex,x1,x2,......xn为总体的简单随机样本,其样2第六章 参

数学一：

1. 35 2. 2(n1)62 3. (C) 4. D 5. 11n; 1n数学三： 1. (B) 2. t; q 3.

120;1100;2 5. F; (10, 5) 6. (C)

7. 12 8. 2

40

9. 2

第七章 参数估计

数学一：

1（97，5分）

设总体X的概率密度为

(1)xf(x)0,0x1

其他其中1是未知参数分别用矩估计法和极大似然估.X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，计法求θ的估计量。 2（99，6分） 设总体X的概率密度为

6x(x)0xf（x）3

0,其他X1,X2,,Xn是取自总体X的简单随机样本。

（1） 求θ的矩估计量θ；

（2） 求D（θ）。

3（00，6分） 设某种元件的使用寿命X的概率密度为

2e2(x)f(x;)0,x x其中θ>0为未知参数。又设x1,x2,,xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。

4（02，7分）

设总体X的概率分别为

X0p2

其中θ（0<θ<

123

2(1)2121）是未知参数，利用总体X的如下样本值 23， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3

求θ的矩估计值和最大似然估计值。

5（03，4分）

已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到

。

长度的平均值为40cm，则的置信度为0.95 的置信区间是

,(1.5)0.95） （注：标准正态分布函数值(1.96)0.9756（03，8分）

设总体X的概率密度为

2e2(x)f(x)0,x x^其中θ>0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,,Xn，记=min（X1,X2,,Xn）。

（1） 求总体X 的分布函数F（x）；

41

（2） 求统计量的分布函数F^(x)；

^如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。

7（04，9分） 设总体X的分布函数为

^11,x1, F(x,) xx1,0,其中未知参数1,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：

（I） 的矩估计量； （II） 的最大似然估计量.

8（06，9分） 设总体X的概率密度为

0x1FX,011x2其中是未知参数01,

0其它X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求的最大似然估计.

数学三：

1（91，5分）

设总体X的概率密度为

ax1ex,f(x,)0,x0

x0其中0是未知参数,0是已知常数。试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2,Xn，求的最大似然估计量。

2（92，3分）

2设n个随机变量

X1,X2,Xn同分布，

1n1n2DX1,XXi,S(XiX)2，则 ni1n1i1

（A）S是的无偏估计量。 （B）S是的最大似然估计是。

（C）S是的相合估计量（即一致估计量）。 （D）S与X相互。 3（93，3分）

[

]

设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。则X的

42

数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为

4（96，3分）

。

设由来自正态总体X~N(,0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值

。

X5.则未知参数的置信度为0.95的置信区间是 5（00，8分）

设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布N(,1)。

（1） 求X的数学期望EX（记EX为b）；

（2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；

（3） 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。 6（02，3分） 设总体X的概率密度为

e(x),若x f(x;)若x0,则X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为

7（04，13分） 设随机变量X的分布函数为

。

αβ,xα， F(x,α,β)1x0，xα，其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本, (Ⅰ) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

8（05，4分） 设一批零件的长度服从正态分布N(,2)，其中,2均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x20(cm)，样本标准差s=1(cm)，则的置信度为0.90的置信区间是

11t0.05(16),20t0.05(16)). 4411B、(20t0.1(16),20t0.1(16)).

4411C、(20t0.05(15),20t0.05(15)).

4411D、(20t0.1(15),20t0.1(15)).

44A、(20

29（05，13分） 设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N（0，）的简单随机样本，其样本均值为X. 记

YiXiX,i1,2,,n.

求： （I）Yi的方差DYi,i1,2,,n; （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

43

(III) 若c(Y1Yn)2是的无偏估计量，求常数c.

2,0x110（06，13分） 设总体X的概率密度为fx,1,1x2,其中是未知参数01,X1,X2,......Xn0,其它为来自总体的随机样本,记N为样本值X1,X2,......Xn中小于1的个数,求:

(Ⅰ) 的矩估计;

(Ⅱ) 的最大似然估计.

第七章 参 数学一： 1. 矩2X1 1X2X

max1n

ln(x1xn)2. D()25n

3. minxi

1in4. 矩1 4

max713 12x

5. (39、51, 40、49)

06. (1) F(x)1e2(xG)0 (2) F(x)1e2n(xG) (3) E()xx

x1 2nˆ7. (1) Xˆ. (2) X1nlnXi1n. 8. 最大iN n数学三： 1. nxii1n 2. (C) 3. (4、804, 5、196) 4. (4、412, 5、588) 5. (1) eu12 (2) (-0.98, 0.98) (3) (e0.48,e1.48)

6. X1 7. (1) βXˆ (2) βX1nlnxi1nˆmin{X1,X2,,Xn} (3) αi44

n1228. C 9.(Ⅰ) (1) (Ⅱ)  (Ⅲ)

2n4nn10. 矩3NX; 最大 2n45