2013高考数学试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。全卷满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一

项。

2

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n，n∈A｝，则A∩B= ( ) （A）｛1，4｝ （B）｛2，3｝ （C）{9，16} （D）｛1，2} （2）

1＋2i

2＝ (1－i)

( ) 1

（C）1＋i

2

1

（D）1－i 2

）

1

（A）－1－i

21（A）

2

1

（B）－1＋i

2

（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（

1

（B）

3

1（C）

41 （D）

6

）

x2y25

（4）已知双曲线C:2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为（

ab2

11

（A）y=±x （B）y=±x

43

xx

1

（C）y=±x

2

3

2

（D）y=±x

（5）已知命题p：∀x∈R,2＞＜3；命题q：∃x∈R，x=1－x，则下列命题中为真命题的是：

（

）

（C）p∧￢q

（D）￢p∧￢q

）

（A） p∧q （B）￢p∧q

2

（6）设首项为1，公比为 的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则 （

3

（A）Sn=2an－1 （B）Sn =3an－2 （C）Sn=4－3an （D）Sn =3－2an （7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于 ( ) （A）[－3,4] （B）[－5,2] （C）[－4,3] （D）[－2,5]

----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 开始 输入t 是 否 t<1 s=3t s = 4t－t2输出s 结束

（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=42，则△POF的面积为( ) （A）2 （B）22 （C）23 （D）4 （9）函数f(x)=(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为( )

A B C D

（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=( )

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5 （11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A）16+8π （B）8+8π （C）16+16π （D）8+16π

2 2 4 2 4 主视图 侧视图

4 4 2 俯视图

2

－x＋2x x≤0

（12）已知函数f(x)＝

ln(x＋1) x＞0

，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )

（A）（－∞，0] （B）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0]

第Ⅱ卷

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----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.

1≤x≤3

(14) 设x，y满足约束条件

－1≤x－y≤0

，则z=2x－y的最大值为______.

（15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O

的表面积为_______.

(16)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5. （Ⅰ）求｛an｝的通项公式； （Ⅱ）求数列{

1

a2n－1a2n＋1

}的前n项和

18（本小题满分共12分）

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

A药

0. 1. 2. 3.

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C; （Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积 B药

----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- C C1 B A B1 A1 （20）（本小题满分共12分） 已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点（0，f(0)）处切线方程为y＝4x+4 （Ⅰ）求a，b的值 （Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 (21)(本小题满分12分)

2222

已知圆M：(x＋1)＋y=1，圆N：(x－1)＋y=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。 （23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x=4+5cost已知曲线C1的参数方程为

y=5+5sint

x2

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π） （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

a1

（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.

22

参

一、选择题

（1）A；（2）B；（3）B；（4）C；（5）B；（6）D；（7）A；（8）C；（9）C；（10）D；（11）A；（12）D； 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 （13）2； (14) 3；（15）

259； (16) ；

52----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------

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----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 三.解答题

（17）（1）设｛an｝的公差为d，则Sn=na1n(n1)d。 23a13d0,解得a11,d1.由已知可得5a110d5,

11111(),

a2n1a2n1(32n)(12n)22n32n1（2）由（I）知

从而数列111111（-+-+的前n项和为2-1113aa2n12n1+11n. )2n32n112n18（本小题满分共12分）

（1） 设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 ，又观测结果可得

x1（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5）=2.3， 20x>

由以上计算结果可得

y，因此可看出A药的疗效更好

（2）由观测结果可绘制如下茎叶图： A药 6 8 5 5 2 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 5 2 1 0 0． 1． 2． 3． B药 5 5 6 8 9 1 2 2 3 4 6 7 8 9 1 4 5 6 7 2 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上，而B药疗效的试验结果有茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好。 19.

【答案】（I）取AB的中点O，连接OCO、OA1O、A1B，因CA=CB，所以OCAB，由于AB=A A1，∠BA A1=60，故AA,B三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC⨅OA1=O，所以AB平面OA1C.又A1CC平面OA1C，

0

7的叶集中在10为为等边

故

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----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ABAC。

(II)由题设知

fx)4e(x1)x4x, (II) 由（I）知，（令f(x)0得，x=-1n2或x=-2. 从而当x(,2)1(1n2,)时，f1(x)0;当x(2,1n2)时，f（x)<0.

1x2-2-1n2，+）单调递增，在（-2，-1n2）单调递减. 故f(x)在（-，），（fx）取得极大值，极大值为（f-2）（=41-e). 当x=-2时，函数（(21)解：

由已知得圆M的圆心为M（-1,0），半径r11;圆N的圆心为N（1,0），半径r23. 设知P的圆心为P（x,y）,半径为R.

（I） 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

2PMPN(Rr1)(r2R)r1r24.

有椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆（左定点除外），其方

x2y21(x2)程为4。 3（II） 对于曲线C上任意一点P(x,y)，由于PMPN2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为

（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)y4；

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得AB23.

若l的倾斜角不为90°，则r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q， 则

22QP3kR，所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得，可求得Q（-4,0）1，

2QMr11k2。 4解得k=±

x2y2221，并整理得7x28x80， 当k=时，将y=x+2代入

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----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 解得x1,246218.所以AB=1+k2x2x1. 77218时，有图形的对称性可知AB=. 47 当k=综上，AB=23或AB（22）解：

18. 7（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，而ABECBE,故CBEBCE,BECE.ABEBCE，又因为DBBE，所以DE为直径，DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC. （II）由（1），CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG3，圆心为O，连接BO，23. 2则BOG60，ABEBCECBE30，所以CFBF，故外接圆半径为（23）解： （1）将00x45cost22，消去参数t，化学普通方程(x4)(y5)25，

y55sint22即 C1： xy8x10y160，

xpcos, 将代入x2y28x10y160得

ypsin28cos10sin160；

所以C1极坐标方程为

8cos10sin160。 （2）C2的普通方程为xy2y0， 所以C1与C2交点的极坐标为(2, （24）解：

（I）当a2时，不等式f(x)222),(2,). 42----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------

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----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 设函数y=2x12x2x3，则

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y<0，所以原不等式的解集是x0x2；

（II）当x1+a≤x+3.

a1,22,f(x)1a .不等式f(x)≤g(x)化为

所以x≥a-2对x即aaa1,都成立，故a2，

2224， 34从而a的取值范围是1,.

3

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