《等腰三角形的性质定理》专项练习-证明题
证明题
1.已知：如图,△ABC和△CDE都是等边三角形．
求证：AD=BE
2. 已知：如图：CA=CB, DA=DB ，求证：(1)∠1=∠2．(2)CD⊥AB．
3. 已知：如图延长△ABC的BC边到D, 使CD=AC, CF是△ACD的中线, CE是△ABC的角平分线． 求证：CE⊥CF
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4.
5. 如图：△ABC中, AB=AC, PB=PC．求证：AD⊥BC
6. 已知：如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连结AF．
求证：∠B=∠CAF.
7. 已知：在△ABC中, ∠C=90°, 在AB上截取AE=AC, BD=BC
求证：∠DCE=45°
8. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
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9. 已知：如图,C是线段AB上的一点, 分别以AC和BC为边, 在线段AB的同侧作等边△ACM和△CBN． 求证：AN=MB
10. 求证：等腰三角形两腰上的高的交点到两底角顶点的距离相等．
11. 已知：如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于M.求证：M是BE的中点.
12. 求证：若把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等的线段, 则延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点的距离相等．
13. 如图所示，△ABC中，∠CAB的平分线AD⊥BD于D，DE∥CA交AB于点E．求证：AE＝EB．
14.
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15. 已知：如图, △ABC中, ∠ABC=2∠ACB, AD⊥BC于D．求证：DC=AB+BD．
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参
1. 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=BC, ∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴DC=EC
∴△ADC≌△BEC (SAS)
∴AD=BE
2. 证明：(1)
在△ACD和△BCD中
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∵AC=BC AD=DB CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠1=∠2
(2)在△CAB中,
∵AC=BC, ∴△ABC是等腰三角形
∵∠1=∠2 ∴CD平分∠ACB
∴CDAB(等腰三角形的三线合一)．
3. 证明：
在△CDA中，
∵CD=CA, CF是AD的中线
∴CF又是∠ACD的平分线(等腰三角形, 底边中线, 顶角平分线)
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∴∠ACF=∠DCF
又CE是△ABC的角平分线
∴∠2+∠3=∠1+∠4=Rt∠
∴CE⊥CF
4. 证明：
∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C
∵CD⊥AB于D, ∴∠ADC=90°
∴∠A=30°
∴ ∠B=∠C=75°
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5. 证明：
在△ABP和△ACP中
∵AB=AC, BP=PC, AP=AP
∴△ABP≌△ACP (SSS)
∴∠BAP=∠CAP
∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线)
6. 略证：如图，AF=DF
∴∠FAD=∠1
∵AD平分∠BAC
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∴∠2=∠3
∵∠B=∠1－∠3
∠FAC=∠FAD－∠2
∴∠B=∠FAC
7. 证明：
∵AE=AC
∴△ACE是等腰三角形∴∠1+∠2=∠4
又∵BD=BC
∴∠2+∠3=∠CDB
∵∠ACB=90°
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即∠1+∠2+∠3=90°(1)
又∵在△CDE中, ∠2+∠4+∠CDE=180°(2)
(2)－(1) 得∠4+∠CDE－∠1－∠3=90°,
∠2－∠3+∠2+∠3=90°
2∠2=90°∴ ∠2=45°
即∠DCE=45°
8. 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BE, CF是三角形ABC的角平分线．
求证：BE=CF
证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
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∴∠1=∠2 ∵BC=BC ∠1=∠2 ∠ABC=∠ACB
∴△BEC≌△CFB (ASA)
∴BE=CF
9. 证明：
∵△ACM,△CBN是等边三角形
在△ACN和△MCB中
∴AC=MC
∠ACN=∠MCB=60°+∠MCN
CN=CB
∴△ACN≌△MCB (SAS)
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∴AN=MB
10. 已知：△ABC中,AB=AC,CD, BE分别是腰AB, AC上的高, 且CD, BE交于O 证：OB=OC
证明： ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
∵CD, BE分别是腰AB, AC上的高
∴∠BDC=∠CEB=Rt∠
BC=CB
∴△DBC≌△ECB (AAS)
在△BOC中, ∵∠1=∠2, ∴OB=OC
11. 略证：由已知证得BD平分∠ABC ，∠DBC=30°
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求，
∵CE=CD ∠ACB=60° ∴∠E=∠DBC=30° ∴DB=DE
∵DM⊥BC ∴M是BE的中点.
12. 已知：△ABC中, AB=AC, BD=CE .求证：AD=AE
证：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE
∴△ABD≌△ACE (SAS)
∴AD=AE
13.略
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14. 证明：作AE⊥BC于E交CD于F
则AE平分∠BAC, 即∠1＝∠2
在△ADF和△CEF中
∵∠ADF=∠CEF=Rt∠
∠AFD=∠CFE(对顶角相等)
∴∠1=∠FCE
15.
证明：
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延长DB到F, 使BF=AB, 连结AF
∵∠F=∠BAF , ∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F
∵∠ABC=2∠ACB ∴∠F=∠C, AC=AF
∵AD⊥BC ∴DC=DF
∵DF=BD+BF=AB+DB
∴DC=AB+DB
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