中考专题训练--阿氏圆

中考专题训练--阿氏圆(总13页)

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在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

以下给出两种证明 法一：构造角分线 先复习两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．

证明：利用等积法

，

即AB:AC=DB:DC

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．

证 明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．

2

接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

中考专题训练 阿氏圆模型

阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：

已知平面上两定点A、B，则所有满足

PA的点P 的轨迹是一个圆，这个轨k（k1）PB迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和的最值．．．．．．．．问题.

观察下面的图形，当P 在⊙O上运动时，用PA、PB 的长在不断的发生变化，但比值却始终保持不变.

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法.

PA的PB

那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢我们来看一道基本题目：

例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.

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（1）求APBP的最小值为 . （2）求APBP的最小值为 .

阿氏圆基本解法：构造相似

阿氏圆一般解题步骤：AP+kBP

第一步：连接动点和圆心C（将系数不为的线段的两个端点分别与圆心相连接），即连接．．．．1．．．．CP、CB；

第二步：计算这两条线段长度的比

CP半径k（） CB圆心到定点的距离；

1213第三步：在CB（即定边）上取点M，使得

CMk CP第四步：连接 AM，与圆C 交点即为点P；

第五步：计算AM的长度，即为AP+kBP的最小值.

实战演练：

1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，则

2ADBD的最小值为 . 34

2.已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，则APBP的最小值是 .

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3.已知点A(-3，0)，B（0，3），C（1，0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切. （1）求APBP的最小值；

14（2）求△ABP面积的最小值.

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4.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是__________.

5.已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点， 试求

2PCPD的最小值. 2

巩固练习：

1.如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA2PC的最小值是 ． 2

2. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，求PB3PD 26

的最小值.

3.（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，

则PD+PC的最小值 ；

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为6，点P是⊙B上的一个动点，

那么PD+PC的最小值为 ；

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一

个动点，那么PD+PC的最小值为 . 122312

4.如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若

C16，求m的值； C25（3）如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°

<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值.

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问题提出：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。

(1)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴AP+1/2BP=AP+PD.

请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+1/2BP的最小值为___.

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(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为___.

(3)拓展延伸：已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点，求2PA+PB的最小值。

反过来还原:

如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，动点P在⊙O上，则PC+ 1/2 PD的最小值是多少？

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如下图所示，在OA延长线上取点E，使得AE=OA 连接OP，PE。

因为 OC/OP=1/2=OP/OE

从而 △OCP∽△OPE（SAS） 从而，PC/EP=1/2，即 PE=2PC

那么，PE+PD=2PC+PD=2（PC+1/2PD）

那么只要求出 PE+PD 最小值，再除以2 即可得到所求问题的解。

很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点 P' 上时，PE+PD取得最小值。 此时，PE+PD=DE=√（OD^2+OE^2）=√（10^2+24^2）=26 那么，PC+1/2PD 的最小值即为 26/2=13。

(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC的最小值和PC−1/2PC的最大值； (2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+2/3PC的最小值为___,PD−2/3PC的最大值为___. (3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+1/2PC的最小值为___,PD−1/2PC的最大值为___.

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如图,△ABC是等腰三角形,∠C=900,○C与AB边相切,P是圆C上一动点,若圆C的半径为2

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