2016-2017学年浙江省杭州市江干区九年级(上)期末数学试卷

2016学年第一学期江干区九年级期末教学质量调研

数学试题卷

考生须知：

1. 本科目试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间 100 分钟。 2. 答题前，考生务必用黑色水笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考号。 3. 所有答案都必须坐在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。 4. 考试结束后，只需上交答题卷。

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项 中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷相应位置上．）

1．下列成语或词组所描述的事件，可能性最小的是（ ） A．旭日东升

B．潮起潮落

C．瓮中捉鳖

D．守株待兔

2．将函数y=x2﹣x化为y=a（x﹣m）2+k的形式，得（ ） A．y=（x﹣1）2﹣ B．y=（x﹣）2+C．y=（x﹣1）2+

D．y=（x﹣）2﹣

3．己知线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP=（ ） A．

B．

C．

+1

D．

﹣1

4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A． B． C． D．

5．⊙O中，弧AB的长度为弧MN的2倍，则下列关于弦的结论正确的是（ ） A．AB＞2MN

B．AB=2MN

第 1 页 共 1 页

C．AB＜2MN D．AB与2MN的大小不能确定

6．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（ ）

A．2：1 B．：1 C．：1 D．3：1

7．如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）

A．70° B．60° C．40° D．35°

8．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 y … 4 ﹣4 0 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣2 0 4 … ﹣1 0 … 根据以上信息，某同学得到以下结论：①抛物线的开口向上；②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是﹣2；④抛物线的对称轴是x=﹣，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，一张等腰三角形纸片，底边长12 cm，底边上的高位12 cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为2 cm的矩形纸条，己知剪得的纸条中有一张是正方

第 2 页 共 2 页

形，则这张正方形纸条是（ ）

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．.第7张

10．若实数x满足x2+2+=0，则下列对x值的估计正确的是（ ） A．﹣2＜x＜﹣1

二、认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)

B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2

11．己知=，那么的值为 ．

12．如图是一个标准的五角星，将它绕旋转中心旋转x°后能与自身重合，则x的最小值是 ．

13．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．

14．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则（1）是 ．

的值是 ；（2）

的值

第 3 页 共 3 页

15．己知两点P（0，1）和Q（1，0），若二次函数y=x2+ax+2的图象与线段PQ有交点，则a的取值范围为 ．

16．图1是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=2，AC=1，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是 ．

三、全面答一答 (本题有8个小题, 共66分，应写出必要的演算步骤或推理过程）

17．如图，小南用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．己知三角形的两条直角边DE=0.6m，EF=0.3m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．

18．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且DF=2

，以O为圆心，OC为半径作弧CE，交OB于点E．

（1）求OA的长；

（2）计算阴影部分的面积．

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19．如图，BD、CE是ABC的两条中线，它们相交于点F，请写出EF：CF的值，并说明理由．

20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的概率折线统计图．

（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），估计盒子里白球为 个，假如摸一次，摸到白球的概率为 ； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？

21．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米． （1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．

22．如图，己知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一

第 5 页 共 5 页

点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形． （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若AF=1，求DA的长度； （3）若DA=

AF，求证：CF⊥AB．

23．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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2016-2017学年浙江省杭州市江干区九年级（上）期末数

学试卷参与试题解析

一、选择题

1．下列成语或词组所描述的事件，可能性最小的是（ ） A．旭日东升

B．潮起潮落

C．瓮中捉鳖

D．守株待兔

【解答】解：∵A、B、C是必然事件，发生的可能性为1，

D所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，可能性最小； ∴可能性最小的是D； 故选D．

2．将函数y=x2﹣x化为y=a（x﹣m）2+k的形式，得（ ） A．y=（x﹣1）2﹣ B．y=（x﹣）2+C．y=（x﹣1）2+

D．y=（x﹣）2﹣

【解答】解：∵y=x2﹣x=（x2﹣2x+1）﹣=（x﹣1）2﹣， 故选A．

3．己知线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP=（ ） A．

B．

C．

+1

D．

﹣1

【解答】解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB； ∴AP=2×故选D．

4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC

第 7 页 共 7 页

=﹣1．

相似的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为

，

A、因为三边分别为：两三角形不相似； B、因为三边分别为：1，三角形相似；

C、因为三边分别为：1，2三角形不相似；

D、因为三边分另为：2，故两三角形不相似， 故选：B．

，，，，

，2，

，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故

，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两

三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两

，三边不能与已知三角形各边对应成比例，

5．⊙O中，弧AB的长度为弧MN的2倍，则下列关于弦的结论正确的是（ ） A．AB＞2MN C．AB＜2MN

B．AB=2MN

D．AB与2MN的大小不能确定

的中点C，连接AC，BC，

【解答】解：如图，取∴∵∴

===

==， ， ，

∴AC=BC=MN， ∵AB＜AC+BC， ∴AB＜2MN，

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故选C．

6．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（ ）

A．2：1 B．：1 C．：1 D．3：1

【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴=， 则b2=2a2， ∴=

，

：1，

∴这些型号的复印纸的长宽之比为故选：B．

7．如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）

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A．70° B．60° C．40° D．35°

【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°． 故选A．

8．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 y … 4 ﹣4 0 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣2 0 4 … ﹣1 0 … 根据以上信息，某同学得到以下结论：①抛物线的开口向上；②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是﹣2；④抛物线的对称轴是x=﹣，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：由题意抛物线的对称轴为x=﹣，抛物线开口向上，当x＞﹣时，y随x的增大而增大， 故①②④正确，

因为x=﹣时，y有最小值， ∴y的最小值不是﹣2，故③错误， 故选C．

9．如图，一张等腰三角形纸片，底边长12 cm，底边上的高位12 cm，现沿底边

第 10 页 共 10 页

依次向下往上裁剪宽度均为2 cm的矩形纸条，己知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．.第7张

【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，

所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为xcm， 则

=

，解得x=2，

所以另一段长为12﹣2=10， 因为10÷2=5，所以是第5张． 故选：B．

10．若实数x满足x2+2+=0，则下列对x值的估计正确的是（ ） A．﹣2＜x＜﹣1

B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2

【解答】解：∵x2+2+=0， ∴x2+2=﹣，

∴方程的解可以看作是函数y=x2+2与函数y=﹣的交点的横坐标， 作函数图象如图，

在第二象限，函数y=x2+2的y值随m的增大而减小，函数y=﹣的y值随m的增大而增大，

当x=﹣2时y=x2+2=4+2=6，y=﹣=﹣∵6＞2，

∴交点横坐标大于﹣2，

=2，

第 11 页 共 11 页

当x=﹣1时，y=x2+2=1+2=3，y=﹣=﹣∵3＜4，

∴交点横坐标小于﹣1， ∴﹣2＜x＜﹣1． 故选A．

=4，

二、填空题

11．己知=，那么【解答】解：∵=， ∴令a=3，b=4， ∴原式=

=，

的值为 ．

故答案为．

12．如图是一个标准的五角星，将它绕旋转中心旋转x°后能与自身重合，则x的最小值是 72° ．

【解答】解：该图形被平分成五部分，最小旋转角为=72°．

第 12 页 共 12 页

故答案为：72°．

13．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是

．

【解答】解：共有13种等可能的情况，其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图，

所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率=故答案为

．

．

14．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则（1）

．

的值是 ；（2）

的值是

【解答】解：作FG⊥AB于点G， ∵∠DAB=90°， ∴AE∥FG，

第 13 页 共 13 页

∴，

∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°，

又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG=FC，

在Rt△BGF和Rt△BCF中，

，

∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45°， ∴AB=∴∴

BC=， =

，

=．

=

+1．

AC，

故答案为：

15．己知两点P（0，1）和Q（1，0），若二次函数y=x2+ax+2的图象与线段PQ有交点，则a的取值范围为 a≤﹣3 ．

【解答】解：①∵二次函数y=x2+ax+2的图象与线段PQ有交点，抛物线与y轴交于（0，2），开口向上，可知如图所示，

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当x=1，y≤0抛物线与线段PQ有交点， ∴1+2a+2≤0， ∴a≤﹣3，

②如图，如果是这种情形，由题意

，消去y得到x2+（a+1）x+1=0，

因为有交点，设交点的横坐标为x1，x2， ∵x1•x2=1，与0＜x1＜1，0＜x2＜1矛盾， ∴这种情形不存在． 故答案为a≤﹣3．

16．图1是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=2，AC=1，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是 3﹣ ．

【解答】解：如图3，连接OG． ∵∠AOB是直角，G为AB中点，

第 15 页 共 15 页

∴GO=AB=半径， ∴原点O始终在⊙G上． ∵∠ACB=90°，AB=2，AC=1， ∴BC=

．

连接OC．则∠AOC=∠ABC， ∴tan∠AOC=

=

，

∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动． 如图4，C1C2=OC2﹣OC1=2﹣1=1； 如图5，C2C3=OC2﹣OC3=2﹣∴总路径为：C1C2+C2C3=1+2﹣故答案为：3﹣

．

； =3﹣

．

三、解答题

17．如图，小南用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．己知三角形的两条直角边DE=0.6m，EF=0.3m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．

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【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D， ∴△DEF∽△DCB ∴

=

，

∵DE=0.6m，EF=0.3m，AC=1.5m，CD=8m， ∴

=

，

∴BC=4米，

∴AB=AC+BC=1.5+5=5.5米． 答：树高5.5米．

18．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且DF=2

，以O为圆心，OC为半径作弧CE，交OB于点E．

（1）求OA的长；

（2）计算阴影部分的面积．

【解答】解；（1）连接OD， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵CD∥OB，

∴∠OCD=90°，∴OA⊥DF，∴CD=DF=在Rt△OCD中，∵C是AO中点， ∴OA=OD=2CO， 设OC=x，

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则x2+（

）2=（2x）2，

解得：x=1， ∴OA=OD=2，

（2）∵OC=OD，∠OCD=90°，∴∠CDO=30°， ∵FD∥OB，

∴∠DOB=∠ODC=30°， ∴S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE =×1×

+

﹣

=

．

19．如图，BD、CE是ABC的两条中线，它们相交于点F，请写出EF：CF的值，并说明理由．

【解答】解：过点C作CG∥AB交BD的延长线于点G， ∴∠ABD=∠DGC，

∵BD、CE是ABC的两条中线， ∴BE=AB，AD=CD 在△ABD与△CGD中，

∴△ABD≌△CGD（AAS） ∴AB=CG，

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∴BE=CG， ∵BE∥CG， ∴△BEF∽△GCF， ∴

=

20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的概率折线统计图．

（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.50 （精确到0.01），估计盒子里白球为 15 个，假如摸一次，摸到白球的概率为

；

（2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？

【解答】解：（1）由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.50，

∵30×0.5=15，30﹣15=15， ∴盒子里白球为15，

∵随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50， ∴摸到白球的概率， 故答案为：0.50，15，；

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（2）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：解得x=30；

故需要往盒子里再放入30个白球．

21．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米． （1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．

=，

【解答】解：（1）由题意，得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）， 根据题意，得：x（30﹣2x）=100， 解得：x=5或x=15， ∵

∴6≤x＜15． ∴x=10．

（2）∵矩形的面积y=x（30﹣2x）=﹣2（x﹣≤11，

∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为当x=11时，y取得最小值，最小值为88．

；

）2+

，且30﹣2x≥8，即x

22．如图，己知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．

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（1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若AF=1，求DA的长度； （3）若DA=

AF，求证：CF⊥AB．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°，

∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB=∠EFA=60° ∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B+∠FDB， ∴∠B=∠FDB=30°， ∴△DFB是等腰三角形；

（2）解：过点A作AM⊥DF于点M， ∵AB=2×2=4，AF=1， ∴BF=4﹣1=3， ∵DF=BF， ∴DF=3，

∵△AEF是等边三角形， ∴FM=EM=AF=，AM=在Rt△DAM中，AD=

FM=×1=

， ；

AF=

（3）证明：设AF=2a，

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∵△AEF是等边三角形， ∴FM=EM=a，AM=在Rt△DAM中，AD=

a， AF=2

a，AM=

a，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a， ∴AB=AF+BF=8a，

在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=4a， ∵AE=EF=AF=2a， ∴CE=AC﹣AE=2a， ∴∠ECF=∠EFC，

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°， ∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°， ∴CF⊥AB．

23．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第 22 页 共 22 页

【解答】解：

（1）∵顶点坐标为（1，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1， 又抛物线过原点，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x，

联立抛物线和直线解析式可得∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

，解得

或

，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形；

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=∵MN⊥x轴于点N ∴∠ABC=∠MNO=90°，

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，BC=3，

∴当△ABC和△MNO相似时有①当

=

时，则有

=

=或=，

，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵当x=0时M、O、N不能构成三角形， ∴x≠0，

∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=， 此时N点坐标为（，0）或（，0）； ②当

=

时，则有

=

，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1， 此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

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