(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第二单元《实数》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题

1．下列计算正确的是（ ） A．32221 C．325 2．下列命题是真命题的是（ ） A．同位角相等

C．直角三角形的两锐角互余

B．算术平方根等于自身的数只有1 D．如果a2b2，那么ab B．1025 D．(4)(2)22 3．已知数据：3，4，5，2π，0．其中无理数出现的频率为（ ） A．0.2

B．0.4

C．0.6

D．0.8

4．如图，长方形ABCD中，AB43,BC4，点E是DC边上的动点，现将BCE沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

a；若b5．对任意两个正实数a，b，定义新运算a★b为：若ab，则a★bab，则a★bb．则下列说法中正确的有（ ） a①a★b=b★a；②a★bb★a1；③a★bA．① A．72 A．分数或整数 C．有理数 A．3到4之间

B．4到5之间 B．② B．45

12 a★bD．①②③ D．35 C．①② C．472 B．无理数 D．有理数或无理数 C．5到6之间

6．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）

7．与数轴上的点一—对应的数是（ ）

8．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）

D．6到7之间

9．如图，点A表示的数可能是（ ）

A．21

B．6

C．11

D．17

10．下列数中，比3大的实数是（ ） A．﹣5

B．0

C．3

D．2

11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么abab2的结果是（ ）

A．2a

B．2b

C．2a

D．2b

12．下列计算正确的是（ ） A．2＝23 3B．39＝3 C．2•3＝5 D．222＝32

二、填空题

13．如图，数轴上点A表示的数是__________．

14．化简题中，有四个同学的解法如下： ①33(52)52

52(52)(52)②3(52)(52)52

5252ab(ab)(ab)ab

ab(ab)(ab)③④ab(ab)(ab)ab

abab他们的解法，正确的是___________．(填序号) 15．材料：一般地，n个相同因数a相乘：

aaan个aa记为

an．如238，此时3叫

做以2为底的8的对数，记为log28（即log283）．那么log39_____，

log21621log381_____． 316．已知10＋3的整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的相反数_____． 17．若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3，则[17]=___．

118．实数的整数部分a=_____，小数部分b=__________．

3719．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy4，则2@6 =____． 20．若x5y30，则xy________．

三、解答题

21．计算：

（1）|3﹣5|﹣16； （2）（2﹣3）0+（﹣

1﹣23）﹣． 222．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是6的整数部分； （1）求a+b+c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 23．计算：()38|19| 24．（1）计算：(3)2|21|38； （2）计算：9(3)()|13|； （3）求下列x的值：25x216．

25．本学期第四章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：

0122131 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即定义 x2a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． x3a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 性质 表示方法 正数a的平方根可以表示为“a” 一个数a的立方根可以表示为“3a” 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （类比探索）

（1）探索定义：填写下表

x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：

①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；

81的四次方根是 ；④12的四次方根是 ； 16⑤0的四次方根是 ；⑥625 （填“有\"或\"“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；

（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ． （拓展应用）

③

（1）4256 ；

2（2）4 ； 5（3）比较大小：3 26．化简 （1）

448．

2323212

（2）1881 8

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D

【分析】

二次根式的混合运算，加减法的基础是同类二次根式；除法运算按照法则进行，二次根式的化简，先乘后化简即可. 【详解】 ∵3222∴选项A错误； ∵

2，

10210， 2∴选项B错误； ∵∵

3与2不是同类二次根式，无法计算，

(4)(2)42=42=22，

∴选项C错误； ∴选项D正确. 故选D. 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式混合运算的基本法则，特别是同类二次根式是加减运算的基础是解题的关键.

2．C

解析：C 【分析】

根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可． 【详解】

解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题；

B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题； C、直角三角形两锐角互余，是真命题；

D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】

本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．

3．C

解析：C 【分析】

根据无理数的意义和频率意义求解． 【详解】 解：∵∴

42，3，5都开不尽方，π是无限不循环小数，

3，5，2是无理数，4，0是有理数，

30.6可得无理数出现的频率为0.6， 5故选C ． 【点睛】

∴由

本题考查无理数和频率的综合应用，熟练掌握无理数和频率的意义是解题关键．

4．B

解析：B 【分析】

连接DB，DF，根据三角形三边关系可得DF+BF＞DB，得到当F在线段DB上时，点D到点F的距离最短，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：连接DB，DF，

在△FDB中，DF+BF＞DB， 由折叠的性质可知，FB=CB=4，

∴当F在线段DB上时，点D到点F的距离最短， 在Rt△DCB中，BD此时DF=8-4=4， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，三角形三边关系．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

DC2BC28，

5．A

解析：A 【分析】

①根据新运算a★b的运算方法，分类讨论：ab，ab，判断出a★b是否等于

b★a即可；

②由①，推得a★b=b★a，所以a★bb★a1不一定成立； ③应用放缩法，判断出a★b【详解】 解：①ab时，

1与2的关系即可． a★ba★bb★aa， ba， ba★b=b★a；

ab时，

a★bb★ab， ab， aa★b=b★a； ①符合题意．

②由①，可得：a★b=b★a， 当ab时，

a★bb★aa★ba★baba★bb★a不一定等于1，

当ab时，

aa2a2， bbba★bb★aa★ba★bbaa★bb★a不一定等于1， a★bb★a1不一定成立，

bb2b， 2aaa②不符合题意．

③当ab时，a0，b0，

a1， ba★b，

1a1ababababab2abab2a★bbbabaababab当ab时，

a★b，

1b1baabababab2abab2a★baababababbaa★b12不成立， a★b③不符合题意，

说法中正确的有1个：①．

故选：A． 【点评】

此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

6．B

解析：B 【分析】

根据夹逼法逐项判断即得答案． 【详解】 解：A、B、∵C、D、

479，4275，故本选项不符合题意；

364549，6457，故本选项符合题意； 364749，44725，故本选项不符合题意； 253536，5356，故本选项不符合题意．

故选：B． 【点睛】

本题考查了无理数的估算，属于常考题型，掌握夹逼法解答的方法是关键．

7．D

解析：D 【分析】

实数与数轴上的点一一对应，实数包括有理数和无理数． 【详解】

A. 分数或整数，只是有理数，不是数轴上所有点，故此项不正确； B. 只是无理数，不是数轴上所有点，故此项不正确； C. 只是有理数，不是数轴上所有点，故此项不正确；

D. 有理数和无理数是实数的组成，实数与数轴上的点一一对应，故此项正确； 故选D． 【点睛】

此题考查了实数的意义，能掌握实数与数轴的关系是解答此题的关键．

8．C

解析：C 【分析】

一个正方形的面积为29，那么它的边长为29，可用“夹逼法”估计29的近似值，从而

解决问题． 【详解】

解：∵正方形的面积为29， ∴它的边长为29， 而25＜29＜36， 5＜29＜6． 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

9．C

解析：C 【分析】

先确定点A表示的数在3、4之间，再根据夹逼法逐项判断即得答案． 【详解】

解：点A表示的数在3、4之间， A、因为1B、因为422，所以2213，故本选项不符合题意；

69，所以263，故本选项不符合题意；

C、因为91116，所以3114，故本选项符合题意； D、因为1617故选：C． 【点睛】

本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．

25，所以4175，故本选项不符合题意；

10．C

解析：C 【详解】

31.732 ，A,B,D选项都比1.732小，只有3>3.

故选C.

11．D

解析：D 【分析】

由数轴可得到ba0，根据【详解】 解：根据题意，则

ab2ab和绝对值的性质，即可得到答案．

ba0，

∴ab0，ab0，

∴abab2 =abab =abab =2b； 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到ba0．

12．D

解析：D 【分析】

根据二次根式的化简、立方根的化简、二次根式的加减乘除法则进行判断即可； 【详解】 A、223 ，故A错误； =333=6 ，故C错误；

B、39=39 ，故B错误； C、2D、222=32 ，故D正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次根式的化简、立方根的化简、二次根式的加减乘除，熟练掌握计算法则是解题的关键；

二、填空题

13．【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长利用数轴上两点间的距离公式即可求解【详解】解：根据题意可得：圆的半径为则点A表示的数是故答案为：【点睛】本题考查勾股定理数轴上两点间的距离利用勾股定理求出半径长是 解析：12 【分析】

根据勾股定理得到圆弧的半径长，利用数轴上两点间的距离公式即可求解． 【详解】

解：根据题意可得：圆的半径为1212则点A表示的数是12，

2，

故答案为：12． 【点睛】

本题考查勾股定理、数轴上两点间的距离，利用勾股定理求出半径长是解题的关键．

14．①②④【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断①对于把分子化为再分解因式约分后可判断②对于当时分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断③对于把分子化为再分解因式约分后可判断④

解析：①②④ 【分析】

3对于分子分母都乘以分母的有理化因式5522，计算约分后可判断①，对于

3，把分子化为

5252，再分解因式，约分后可判断②，对于

22ab，当ab0时，分子分母都乘以分母的有理化因式ab，计算约分

ab后可判断③，对于ab，把分子化为

ab，再分解因式，约分后可判断

a2b2④，从而可得答案． 【详解】

35233(52)解：252(52)(52)52故①符合题意；

2352352，

352522252(52)(52)52，

52故②符合题意； 当ab0时，

ababab(ab)(ab)ab，

abab(ab)(ab)故③不符合题意；

ababab22ab(ab)(ab)ab，

ab故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】

本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．

15．3；【分析】由可求出由可分别求出继而可计算出结果【详解】解：（1）由题意可知：则（2）由题意可知：则∴故答案为：3；【点睛】本题主要考查定义新运算读懂题意掌握运算方法是解题关键

解析：3； 17【分析】

由329可求出log293，由2416，34=81可分别求出log2164，log3814，继而可计算出结果． 【详解】

解：（1）由题意可知：329， 则log293， （2）由题意可知：

1． 32416，34=81，

则log2164，log3814， ∴(log216)log38116故答案为：3；17【点睛】

本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．

2134117， 331． 316．【分析】先判断在那两个整数之间用小于的整数与10相加得出整数部分再用10＋减去整数部分即可求出小数部分【详解】解：∵∴的整数部分是1∴10＋的整数部分是10＋1＝11即x＝11∴10＋的小数部分是1 解析：312

【分析】

先判断3在那两个整数之间，用小于3的整数与10相加，得出整数部分，再用10＋

3减去整数部分即可求出小数部分．

【详解】 解：∵1∴

32，

3的整数部分是1，

∴10＋3的整数部分是10＋1＝11，即x＝11，

∴10＋3的小数部分是10＋3﹣11＝3﹣1，即y＝3﹣1， ∴x﹣y＝11﹣（3﹣1）＝11﹣3＋1＝12﹣3， ∴x﹣y的相反数为﹣（12﹣3）＝312． 故答案为：312．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出3在1～2之间．

17．4【分析】根据无理数的估算可得即可求解【详解】解：∵∴∴故答案为：4【点睛】本题考查无理数的估算掌握无理数的估算方法是解题的关键

解析：4 【分析】

根据无理数的估算可得4175，即可求解． 【详解】

解：∵161725， ∴4175，

∴174，

故答案为：4． 【点睛】

本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．

18．【分析】将已知式子分母有理数后先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分【详解】解：∵4＜7＜9∴2＜＜3即2+3＜＜3+3∴即实数的整数部分是则小数部分为故答案为：【点睛】本题考查了分母有

解析：2 【分析】

将已知式子分母有理数后，先估算出7的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分． 【详解】 解：71 213737，

237(37)(37)∵4＜7＜9，

∴2＜7＜3，即2+3＜37＜3+3，

1537∴的整数部分是a2， 3，即实数3722则小数部分为b3771． 222故答案为：2， 【点睛】

71． 2本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．

19．4【分析】把x=2y=6代入x@y=中计算即可【详解】解：∵x@y=∴2@6==4故答案为4【点睛】本题考查了有理数的运算能力注意能由代数式转化成有理数计算的式子

解析：4 【分析】

把x=2，y=6代入x@y=xy4中计算即可． 【详解】

解：∵x@y=xy4， ∴2@6=26416=4， 故答案为4． 【点睛】

本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．

20．8【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到x=5y=3再计算代数式即可【详解】∵∴x-5=0y-3=0∴x=5y=3∴x+y=5+3=8故答案为：8【点睛】此题考查代数式的代入求值正确掌握

解析：8 【分析】

根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到x=5，y=3，再计算代数式即可. 【详解】 ∵x5y30,x50,y30，

∴x-5=0，y-3=0， ∴x=5，y=3， ∴x+y=5+3=8， 故答案为：8. 【点睛】

此题考查代数式的代入求值，正确掌握绝对值的非负性及算术平方根的非负性求得x=5，y=3是解题的关键.

三、解答题

21．（1）15；（2） 1． 【分析】

（1）直接根据绝对值和算术平方根的性质分别化简即可得出答案；

（2）直接根据0指数幂，负整数指数幂，立方根的性质分别化简即可得出答案． 【详解】

解：（1）|3﹣5|﹣16=35415；

（2）（2﹣3）0+（﹣【点睛】

1﹣23）﹣=1+4-4=1． 2本题考查了实数的运算，0指数幂，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．

22．（1）-33；（2）7 【分析】

（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据2【详解】

解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2， ∴（3a-14）+（a+2）=0， ∴a=3，

又∵b+11的立方根为-3， ∴b+11=(-3)3=-27， ∴b=-38， 又∵469， ∴263可得c的值；

（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可解答．

63，

又∵c是6的整数部分， ∴c=2；

∴a+b+c=3+(-38)+2=-33； （2）当a=3，b=-38，c=2时， 3a-b+c=3×3-(-38)+2=49， ∴3a-b+c的平方根是±7． 【点睛】

本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．

123．

4【分析】

先计算平方、立方根、绝对值，再加减即可． 【详解】

解：()38|19| ＝＝

12212|13| 4122 4＝

1 4【点睛】

本题考查了实数的计算，解题关键是准确的计算立方根、算术平方根和乘方，明确绝对值的意义．

24．（1）22；（2）23；（3）x【分析】

（1）本题涉及二次根式化简、绝对值、立方根3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；

（2）本题涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （3）系数化为1，再开平方求解即可． 【详解】

解：（1）(3)2|21|38 =34 521+2

=32+12 =22；

（2）9(3)()|13|

013131313 23；

（3）系数化为1得：x解得：x【点睛】

本题主要考查了二次根式、零指数幂、负整数指数幂、立方根等知识点，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、立方根等考点的运算．

25．【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即

216， 254． 5x4a，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②2；③3；2④412；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）

24；（2）；（3）．

5【分析】

（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；

（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；

（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案． 【详解】

（1）类比平方根，立方根的定义，当x41时x1，当x416时x2，当x481时x3，所以填表如下：

x4 1  16 81 3 x 2 结合上述表格,类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果x4a，那么x叫做 a的四次方根．

（2）根据四次方根的定义计算：

①1的四次方根是；②16的四次方根是2；③

813的四次方根是；④12的四次

216方根是412；⑤0的四次方根是0；⑥625没有四次方根；

类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根．

（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想， 【拓展应用】

根据四次方根的定义计算得： （1）42564；

22（2）4

55（3）

4349，

8448，98，

348

【点睛】

本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数． 26．（1）143；（2）【分析】

（1）先利用平方差公式计算，然后将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并计算即可；

（2）先将每个二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．

542 【详解】 （1）解：原式232222232343143．

（2）解：原式322222【点睛】

215322222． 14本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．