对“关于极限算法的初步研究”的文献综述
200721140418 刘 冲
（黄冈师范学院数学与计算机科学学院 湖北 黄冈 438000）
前言部分
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.而极限的计算问题，是作为极限理论的重要组成部分之一，应用范围相当广泛，是进一步学习、研究更复杂的数学、物理学以及工科许多课程的重要工具．
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的性质定理求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限，必须采用一些技巧和其它方法有效的计算．
传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同结构特征的极限时，究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．本文综合了前人的一些探索，总结了一些根据极限的结构特征计算极限的方法，这些方法规律性强、容易掌握，以便为微积分等相关知识的计算研究提供参考． 主题部分
极限概念是分析数学中最基本的概念之一, 用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限理论是微积分学的基础, 它从方上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点.极限这个名词大致是出现在16、17世纪，但是极限的思想却是源远流长的从古至今, 人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000年的发展, 演变成为近代严格的极限理论, 在现代数学中, 人们又引进了更广泛和更一般的极限概念.这其中的思想演变是渐进的、相互推动的.
文献[1]和文献[2]中主要介绍了极限的思想、极限理论的发展概况和一些简单的求解极限的方法，主要有极限的定义、夹逼定理、柯西准则以及重要极限.并举了一个例子加以说明：用夹逼定理来求重要极限.
文献[3]和文献[4]中就很清晰明了的具体给出了极限的一般定义. 例如：数列极限的定义（N定义）
已知数列{an}，对0,NN,当nN时，有ana,其中a为常数，则该数列收敛，并将a叫做数列{an}的极限，记为limana或ana(n).如果数列没有极限，就说
n
数列是发散的．
文献[5]-[9]则是一个比较具体的综合、对极限的基本算法做了简要的总结：
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna则有 limyna.
xxx利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列xn和 zn，使得xnynzn.
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.
（3）极限的四则运算性质：1)两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差.2)两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商.通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先对函数施行各种恒等变形.例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项.
文献[10]-[21]也是对极限的手工计算给出了一定的其它计算方法，现总结一部分有代表性的文献进行介绍．
文献[10]中主要是对两个重要极限公式作出了一定的推导和推广. 两个极限公式 (1) limsinxxlimxsinx01xx01 (2) lim(1x1x1)lim(1x)xe
x0x在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.
文献[11]和文献[12]则是具体介绍了等阶无穷小量在极限运算中的重要作用，是换元法中一种利用等量替换达到化简计算目的的方法，很多时候可以轻松解答．
文献[13]- [14]是对有界变差数列和压缩数列两类特殊的数列进行了专题介绍． 对于有界变差数列收敛的证明，可先构造一个新数列，然后利用单调有界性来证明新的数列是收敛的，最后对原来的数列采用柯西准则，此方法可归纳为一个一般的定理，以后遇到此类的数列求极限，则可以直接利用此定理来证明！
对于压缩数列也是采用类似的方法，但是却是利用有界变差数列收敛定理来证明，只需变一下形.同样的，今后遇到的压缩数列也可以直接采用这个结论，这样就可以简化对极限的计算和证明.
文献[15]则是介绍一种最实用的方法——洛必达法则. 除了给出了洛必达法则的证明过程外，该文还专门针对各种情况提供了实例．例如：,
00, 0, 0等等．
文献[16]- [18]主要是考察了采用微积分中的知识对函数极限的证明给出了比较全面的总结．提出大致三种算法，分别是泰勒展示、微分中值定理和积分中值定理.并一一举例说明，很有参考价值．
文献[19]-[21]则是文献内容，具体是另外两种特殊方法——stolz定理和不等式证明极限的一些公式.
stolz定理在数列的证明和计算过程中应用的比较多.在很多时候如果无法解答时，则可以采用这个定理，特别是遇到很多关于n的式子的比.不等式的公式有很多，最常见的则是均值不等式的推广的应用、柯西不等式、三角不等式等等，经常出现在含有n个式子的和或积的形式中.
文献[22]-[23]介绍了关于用计算机程序解决极限的一些方法，主要有在Matlab和Mathematical软件中，输入有关的命令解决极限的计算．
文献[22和[23]分别根据在实际实验操作中的问题对这两种软件程序语言进行了介绍，并佐以例题，使读者一目了然.另外，文献[22]利用极限的性质定理，提出了一个计算极限的应用程序；文献[23]针对比较复杂的极限特别是数列的极限，引入了一种程序提出了一种高效的计算法． 总结部分
极限的计算、证明方法较多， 其中一些是常见的最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法．除此之外，还有很多其它计算极限的方法，如：换元法、数项级数法等等，在此不一一介绍．
同一个极限的算法可以有多种方法，有的极限计算需要几种方法综合使用，这就要求在计算时应仔细观察题目中的条件和式子在构造上的特点，利用极限等一些其它的性质做适当的变换后，再选择某一种方法解答．只有在学习中多练习，多总结，才能更好地掌握极限的计算．总而言之，查阅文献资料对我撰写毕业论文直到了很大的作用，也让我受益匪浅．
参考文献
[1]中国科学技术大学之数学讲义.古今数学思想（2）.
[2]http://wenku.baidu.com/view/24a09f4669eae009581beca8.html
[3]华东师范大学数学系编,数学分析（上下册）第三版.高等教育出版社,2007. [4]陈传璋,金福临编,数学分析（上下册）第二版.高等教育出版社,1983. [5]http://wenku.baidu.com/view/1721f9d5360cba1aa811da54.html [6]钱吉林.数学分析解题精粹[M].北京科学出版社,2003.
[7]蔡子华主编. 考研数学2011复习大全经济类.原子能出版社,2010. [8]王译汉.数学分析基础.哈尔滨黑龙江科学技术出版社,1985. [9]欧阳光中等.数学分析[M]复旦大学出版社,2002. [10]程海来.两个极限的标注[J].大学数学,2010年06期.
[11]冯丽珠,变形发求极限的变法技巧.武汉职业技术学院学报,2003.
[12]卢传明,成波.浅析等价无穷小在求极限中的应用[J].德阳教育学院学报,2004年02期. [13]胡洪池.关于数列极限的教学与研究[J].唐山师范学院学报,2003年第2期. [14]于波.有界变差数列在数列极限中的应用[J].科技致富向导,2010年35期. [15]http://wenku.baidu.com/view/4ff6dd4f767f5acfa1c7cde7.html [16]陈省身.微分学讲义第一讲.陈省身在南开大学的讲演稿件[C],2003. [17]胡良剑,孙晓君. MATLAB数学实验[M].北京高等教育出版社,2006.
[18]G.H.Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].China Machine Press.2003 [19]Tom M.Apostol.Mathematical Analysis[M].China Machine Press.2004 [20]http://wenku.baidu.com/view/9714d2b069dc5022aaea00eb.html [21]http://wenku.baidu.com/view/a7a1403b580216fc700afd27.html [22]http://www.docin.com/p-34517950.html
[23] http://wenku.baidu.com/view/605247b91a37f111f1855b3b.html
