七年级下册数学期末试卷范文

第一段 典型例题

【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下： 今天的内容主要包括以下几部分内容：

一． 等腰三角形的性质 二． 等腰三角形的判定

三． 等边三角形的性质和判定 【课程目标】

1．了解等腰三角形的性质及判定方法；

2．用三角形的性质和判定定理进行推理和证明；

3．用等边三角形的性质和判定进行一些简单的推理和计算； 【课程安排】

1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解 2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师根据情况讲解 一、知识点归纳

1. 等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等.（简称“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）

（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线.

2. 等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.

3.等边三角形的性质和判定

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等.

除了具有等腰三角形的性质外，还具有这样的特殊性质： 等边三角形的每个内角等于60°.

判定等边三角形的方法：

（1）根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形.

（3）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

二、题型归纳

第一类问题 等腰三角形的性质的应用

例题 如图，在△ABC中，已知AB=AC,AD=DE, ∠BAD=20°, ∠EDC=10°.求∠DAE的度数.

AED

分析：根据条件“AB=AC,AD=DE”可知，图中有等腰△ABC和有等腰△DAE，根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得∠B=∠C,∠DAE=∠DEA ，用代数方法来解几何题，设∠DAE=x°，用x来表示其他相关的角，最后把条件转化、集中到一个三角形中去列方程，是这类题目的通常思路。

解：设∠DAE=x°,则∠BAC=∠DAE+∠BAD=x°+20°. 在△ABC中， AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角）.

又∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，

111∴C(180BAC)(180x20)80x

222在△ADE中，AD=DE（已知），

∴∠AED=∠DAE= x°（等边对等角）.

在△EDC中，∠AED=∠EDC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 1即x=10+(80x)

2解得 x=60 ∠DAE=60°.

总结：（1）在几何中，经常用代数方法来求解.比如这道题中设∠DAE=x°，把其他相关的角如∠BAC、∠C、∠AED，用x表示，然后列方程求出x就可以了。

（2）要用x表示其他相关角，就要建立这些角和x之间的联系。这道题主要是应用等腰三角形“等边对等角”的性质的，得到∠B=∠C，∠AED=∠DAE，从而建立这些角和x之间的联系.

BC 等腰三角形(教师教案) Page 3 of 17

除了“等边对等角”的性质，目前学习到的经常用来建立角之间联系的性质还有：三角形外角性质、互补和邻补角、互余、三角形的内角和定理、三角形的外角和定理、平角，以及从图形上直观反映出的角的和差关系等。

（3）尽量把条件转化到一个三角形中去.比如这道题中把条件转化到△DEC中，利用三角形外角的性质作为相等关系列出方程.

提示：这道题还可以把条件转化到△ABC或者△ABD中求解，请你试一试？与例题的解法相比，哪种方法更简捷？

例题 如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，∠B=∠C，AD=AE，说明BD=CE的理由。

AAB

分析：这道题可以用“等腰三角形三线合一”的性质来解。三线合一性质的推理模式是“如果某条线段是三线中的其中一条，那么它是三线中的另外两条（或其中的一条）”。从条件易得△ADE和∠ABC是等腰三角形。我们以作BC的垂线段AH为例，这时的推理模式就是：AH是三线中的高，那么它是底边上的高或顶角平分线。下面给出具体步骤，其中箭头和它右边的斜体字是帮助同学们理解等腰三角形三线合一性质的，不是解题过程。

解：过点A作AH⊥BC,垂足为H。 —→表明AH是△ADE和△ABC底边上的高 又∵AD=AE（已知）， ∴DH=EH（等腰三角形三线合一）。 —→AH既然是△ADE底边上的高当然也是其底边上的中DECBDHEC线 ∵∠B=∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）， ∴BH=CH（等腰三角形三线合一）。 —→AH既然是△ABC底边上的高当然也是其底边上的中线

∴BH-DH=CH-EH（等式的性质）， 即BD=CE。

这道题也可以用三角形全等，通过证明BD、CE所在的三角形全等来解： 方法二、解：∵AD=AE（已知）， ∴∠AED=∠ADE（等边对等角）， ∴∠AEC=∠ADB（等角的补角相等）。 在△ABD和△ACE中，

BC（已知） ADBAEC（已证）ADAE（已知）∴△ABD≌△ACE（AAS）。

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∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）。

总结：用等腰三角形的性质，可减少证三角形全等的次数。所以灵活运用等腰三角形的性质可简化证题过程。等腰三角形三线合一的性质是一条很重要的性质，在后面的学习中也有很重要的应用。请同学们认真做相关的习题，多总结。

第二类问题 等腰三角形的判定的应用

例题 如图，已知D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，DE∥AB，交BC于E，DF∥AC，交BC于F.如果BC=12cm,求△DEF的周长.

ADBEFC

分析：△DEF的周长=DE+EF+FC。不难证明DE=BE，DF=CF，从而把问题转化成△DEF的周长=BE+EF+CF=BC=12cm 。

解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠ABD=∠DBE（角平分线定义）. ∵DE∥AB（已知），

∴∠BDE=∠ABD（两直线平行，内错角相等）. ∴∠DBE=∠BDE（等式的性质）. ∴EB=ED（等角对等边） 同理，FD=FC. △DEF的周长为：

DE+DF+EF=BE+CF+EF=BC=12cm 即△DEF的周长为12 cm .

总结：像这道题那样通过“角平分线+平行线”构成等腰三角形是一类典型的图形，基于这种图形的题目也很常见。我们应该加强对图形的认知，找到其中的等腰三角形。

你能从下面这道题中找到“角平分线+平行线”构成的等腰三角形吗？ 如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，说明DE=CE的理由。

等腰三角形(教师教案) Page 5 of 17

第三类问题 等边三角形的性质和判定的应用

判定一个三角形是否等边三角形有3种方法：

（1）根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形.

（3）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

下面我们通过三个例题来学习如何分别应用这三种方法进行判定的.

例题1 如图，在等边△ABC中，分别在各边上截取AD=BE=CF，联结DE、EF、FD.试判定 △DEF的形状，并说明理由.

ADFBEC

分析：要判定△DEF的形状，就要找出△DEF边的大小关系或者是否有特殊角。 由题目中的条件易证得△DBE≌△ECF≌△FDA，进而得到DE=EF=FD。

解：△DEF是等边三角形，理由如下： 在等边△ABC中，

AB=BC=CA, ∠A=∠B=∠C（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°）. 又∵AD=BE=CF（已知），

∴AB-AD=BC-BE=CA-CF（等式的性质）， 即DB=EC=FA.

在△DBE和△ECF中，

DBEC(已证） BC（已证）BECF（已知）∴△DBE≌△ECF(SAS).

∴DE=EF（等边三角形三条边相等）. 同理可证，EF=FD.

∴DE=EF=FD（等式的性质）,

∴△DEF是等边三角形（三条边相等的三角形是等边三角形）.

总结：因为易于通过证明△DBE≌△ECF≌△FDA得到DE=EF=FD，所以我们用“三条边相等的三角形是等边三角形”的判定方法来解这道题。

例题2 在等边△ABC的边上各取D、E、F三点，使AD=BE=CF，AE、BF、CD两两相交于H、I、G，说明△GHI是等边三角形的理由.

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CFIEGADHB

解：理由如下：

∵△ABC是等边三角形（已知），

∴AB=BC=CA，∠ABE=∠BCF=∠CAD=60°（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°）. 在△ABE和△BCF中，

ABBC(已证） ABEBCF（已证）BECF（已知）∴△ABE≌△BCF（SAS）.

∴∠EAB=∠FBC（全等三角形的对应角相等）. 在△AHB中，

∠GHI=∠HAB+∠HBA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∴∠GHI=∠EAB+∠HBA=∠ABC=60°. 同理可证，∠ HIG=∠IGH=∠GHI=60°

∴△GHI是等边三角形（三个内角都等于60°的三角形是等边三角形）.

例题3 已知：如图，△ABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE.判断△ADE的形状并说明理由.

解：△ADE是等边三角形.理由如下： ∵△ABC是等边三角形（已知），

∴AB=CA，∠BAC=60°（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°）. 在△ABD和△ACE中，

ABAC(已证）12（已知） BDCE（已知） 等腰三角形(教师教案) Page 7 of 17

∴△ABD≌△AC(SAS).

∴AD=AE，∠BAD=∠DAE（全等三角形的对应边相等，对应角相等）. ∴△DAE是等腰三角形.

在等腰△DAE中，∠DAE=∠BAD=60°（已证），

∴△DAE是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

第四类问题 综合型题目

例题 （1）等腰三角形有一个内角是30°，求另外两个内角的度数。

（2）等腰三角形的两条边长度分别是3和7，求它的周长。

分析（1）：等腰三角形的性质之一是“等边对等角”，就是说，等腰三角形的两底角相等，已知条件中30°的内角可能是底角，也可能是顶角，所以要分两种情况进行讨论。

解：（1）分两种情况讨论：

①若顶角是30°，则另外两个角都是底角。则底角度数为：

18030=75°； 2②若底角是30°，则另外两个角一个是底角，也等于30°，一个是顶角，度数为 180-2×30=120°.

∴另外两个角的度数为75°，75°或者30°，120°。

分析（2）：欲求周长，需先求出第三边长。根据定义可知等腰三角形有两条边相等。那么腰长是3还是7呢？可分情况讨论。

应该注意的是：根据三角形三边关系可知，不是任意长度的三条线段都能够组成三角形的，须满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。千万不要忘记判断能否组成三角形！

解：①若腰长是3，则3+3＜7，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；

②若腰长是7，符合三角形三边关系，能够组成三角形。此时周长为：7+7+3=17. ∴它的周长为17.

总结：这类已知等腰三角形两边但是没有指明谁是腰的题目，那么两边都可能是腰，应分两种情况讨论，同时不要忘记判断能否组成三角形，这是很多同学容易遗漏的地方。

例题 如图,已知点B、C、E在一条直线上，△ABC、△DCF都是等边三角形，联结AE、BD，试说明△ACE和△BCD全等的理由.

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DABCE

解：在等边△ABC中，

BC=AC，∠ACB=60°（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°）. 同理可得，CD=CE，∠DCE=60°.

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACB（等式的性质）， 即∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中

BCAC(已证） BCDACE（已证） CDCE（已证）∴△ACE≌△BCD（SAS）.

总结：这是课本P114 的一道题目，利用等边三角形的性质得到的条件，证明△ACE≌△BCD是很关键的.如果我们对这道题目进行变式，可以更清晰的看到证明△ACE≌△BCD的关键作用.

变式：其他条件不变，M是AC和BD的交点，N是CD和AE的交点，联结MN，请判定△CMN的形状，并说明理由.

DANMBCE

分析：三角形的形状有两种分类方式，一是按边分，一是按角分，所以我们既要探求△CMN边的关系，也要注意它的特殊内角.

观察到CM、CN分别在△BCM和△ACN中，或者分别在△ECN和△DCM中，联想到可能通过证明其中一组三角形是否全等来得到CM和CN的大小关系.以前面一组三角形，即△BCM和△CAN为例，要证明这两个三角形全等，不难得到BC=AC，∠MCB=∠NCA=60°这两个条件，差一个条件！

利用例题的结论△ACE≌△BCD，可得∠MBC=∠NCA，就得到了证明△BCM≌△CAN的条件！ 可见，这道题目中，证明△ACE≌△BCD，为证明△BCM≌△CAN准备了条件.

解：在等边△ABC中，

BC=AC，∠ACB=60°（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°）. 同理可得，CD=CE，∠DCE=60°.

等腰三角形(教师教案) Page 9 of 17

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACB（等式的性质）， 即∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中

BCAC(已证） BCDACE（已证） CDCE（已证）∴△ACE≌△BCD（SAS）. （以上步骤与例题相同）

∴∠MBC=∠NCA（全等三角形的对应角相等）. ∵B、C、E在一条直线上（已知）， ∴∠MCB+∠MCN+∠ECN=180°，

即60°+∠MCN +60°=180°，即∠MCN=60°. ∴∠MCB=∠NCA=60°（等式的性质）. 在△BCM和△CAN中，

MBCNAC(已证） BCAC（已证）MCBNCA（已证）∴△BCM≌△CAN（ASA）,

∴CM=CN（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠MCN=60°（已证），

∴△CMN是等边三角形（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

第五类问题 图形变换的题目

1.图形的切割

例题 已知：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种以上不同分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形.不要求写出画法，请指出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数.

解：给出以下四种分法：

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如图（1），在等腰△ADE中，∠A=36°,∠ADE=∠AED=72°;

在等腰△DEC中，∠DEC=108°，∠EDC=∠ECD=36°； 在等腰△CBD中，∠BCD=36°，∠B=∠CDB=72°； 如图（2），在等腰△ACG中，∠AGC=108°，∠A=∠ACG=36°； 在等腰△BHG中，∠HBG=36°，∠BHG=∠BGH=72°； 在等腰△HBC中，∠BHC=108°，∠HBC=∠HCB=36°； 如图（3），在等腰△NAM中，∠ANM=108°，∠A=∠AMN=36°； 在等腰△CMN中，∠MCN=36°，∠CMN=∠CNM=72°； 在等腰△CBM中，∠BCM=36°，∠CBM=∠CMB=72°； 如图（4），在等腰△AOB中，∠AOB=144°，∠OBA=∠OAB=18°； 在等腰△AOC中，∠AOC=144°，∠OCA=∠OAC=18°； 在等腰△BOC中，∠BOC=72°，∠OCB=∠OBC=54°.

总结：顶角是36°（底角是72°）的等腰三角形是比较特殊的等腰三角形，平时学习中遇到和这样的三角形相关的题目应多总结。今后在“相似形”中将会继续学习到和这类三角形相关的知识。

2.图形的翻折

例题 如图，将长方形ABCD沿对角线BD对折，使AB与CD相交于点F，问重叠的△BDF是什么形状？为什么？

EDFC

分析：要判断△BDF的形状，就要得到边长的大小关系，先判断FD是否等于FB。FD、FB分别在△DEF、△BCF中，问题转化为判断△DEF和△BCF是否全等。判断这两个三角形全等的不足条件从哪里来呢？

注意，长方形ABCD沿对角线BD对折后，△BAD的位置变了，得到△BED。折叠前后，只有位置变化了，△BAD和△BED是全等的，通过这两个三角形全等为判定△DEF和△BCF全等创

AB 等腰三角形(教师教案) Page 11 of 17

造条件。

解：△BDF是等腰三角形。理由如下： 根据题意得，△BAD≌△BED，∴ DE=DA，∠E=∠A（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。 在长方形ABCD中，AD=BC，∠C=90°（长方形的对边相等，四个角都是直角）。 ∴DE=BC，∠E=∠C=90°（等量代换）。 在△DEF和△BCF中，

DFEBFC（对顶角相等）  E= C（已证）DEBC（已证）∴△DEF≌△BCF（AAS）。

∴DF=BF（全等三角形的对应边相等）。 ∴△BDF是等腰三角形。

总结：抓住图形变换前后的“不变量”，是解这类题目的关键。

3.图形的旋转

例题 已知，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形.

（1）旋转△ADE在图1的位置，联结BD和CE，说明BD=CE的理由.

（2）继续旋转△ADE，当点D在AC上时，画出图形，这时BD和CE还相等吗？为什么？ （3）继续旋转△ADE，当点E在AB上时，画出图形，上题的结论是否还成立？为什么？

解（1）理由如下： 联结BD、CE. 在等边△ABC中，

AB=AC(等边三角形的三条边都相等),

∠BAC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）. 同理，在等边△ADE中，AD=AE，∠DAE=60°. ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE -∠DAC（等式的性质）， 即∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，

ABAC(已证）  BAD= CAE（已证）ADAE（已证）新八年级数学资料

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

（2）图形如图2所示.BD=CE仍成立，理由如下： 在等边△ABC中，

AB=AC(等边三角形的三条边都相等),

∠BAC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）. 同理，在等边△ADE中，AD=AE，∠DAE=60°. 在△ABD和△ACE中，

ABAC(已证）  BAD= CAE（已证）ADAE（已证）∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

（3）图形如图3所示.BD=CE仍成立，理由如下： 在等边△ABC中，

AB=AC(等边三角形的三条边都相等),

∠BAC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）. 同理，在等边△ADE中，AD=AE，∠DAE=60°. 在△ABD和△ACE中，

ABAC(已证）  BAD= CAE（已证）ADAE（已证）∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

等腰三角形(教师教案) Page 13 of 17

第二段 快题训练

一、填空题：

1、如果等腰三角形的一个外角是100°，那么该等腰三角形的一个底角度数是 。 答案：50°或80°

2、如果等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，那么另外两边分别是 。 答案：2cm、4cm或3cm、3cm

3、如图，△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，且是BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝ 。 答案：100°

4、如图，在△ABC中，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，若∠ABC＝63°，则∠DBC＝ 。 答案：24°

5、如图，在△ABC中，∠A＝70°，且三边AB，BC，AC的长分别是12cm，10cm，6cm，O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OE//AB，OF//AC，则∠BOC＝ ，∠EOF＝ ，△OEF的周长为 。 答案：125° 70° 10cm

6、△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝115°，则∠EAF＝___________. 答案：50 7

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8．

9．

二、选择题：

1、下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴

等腰三角形(教师教案) Page 15 of 17

是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：A

2、下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形。其中是轴对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：B

3

答案C 4

答案 B

5下列命题中假命题是 （ ）

答案 D 6

答案A 三、解答题

1、已知：AB＝BC，∠BDA＝∠E，∠BAD＝∠C，点C、D、E在同一条直线上。说明AD＝ED的理由。

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证明：连结AC

∵AB＝BC ∴∠BAC＝∠BCA

又∵∠BAD＝∠C ∴∠DAC＝∠DCA（等式性质） ∴DA＝DC ∴△ABD≌△CBD（SSS）

∴∠BDC＝∠BDA＝∠E ∴BD∥AE（同位角相等，两直线平行） ∴∠EAD＝∠ADB ∴∠EAD＝∠E （等量代换） ∴DA＝DE

2、已知：△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，F为BE的中点。说明DF⊥BE的理由。

证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝60° 又∵CD＝CE ∴∠E＝∠CDE＝30°

∵BD为中线，∴BD平分∠ABC（三线合一） ∴∠DBC＝30°＝∠E ∴DB＝DE，又∵F为BE边中点，∴DF⊥BE（三线合一）

3、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距离相等。

提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所求作的点P

4、如图：△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D。 ① 若△BCD的周长为8，求BC的长； ② 若BC＝4，求△BCD的周长。

答案：、①BC＝3，②9

5如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，BC＝5cm，求△BCE的周长．

等腰三角形(教师教案) Page 17 of 17

答案：12CM

6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形DCDE内部时，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这一规律，并说明理由。

分析：要寻找这三个角之间的关系，最好把它们转化到一个三角形中去。 折叠前后，△ADE≌△A′DE，所以∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED。

由邻补角定义可知，∠1+∠AEA′=180°即∠AEA′=180°-∠1，即2∠AED=180°-∠1，即

1（180°-∠1）。 21同理，可得∠ADE=（180°-∠2）。这样就把问题转化成∠A、∠AED、∠ADE这样的在同一

2∠AED=

个三角形中的问题了。由三角形内角和定理得：∠A+∠AED+∠ADE=180°.代入化简就得到 ∠A与∠1、∠2之间的关系了。答案：∠1＋∠2=2∠A。解题过程请你亲自动手。

当然，这道题也可以这样做(思路如下，过程从简，请亲自动手写出过程)： 联结AA′。

在△AEA′中，∠1=∠EAA′+∠EA′A ， 同理，可得∠2=∠DAA′+∠DA′A。

则∠1＋∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=（∠EAA′+∠DAA′）+（∠EA′A++∠DA′A）

=∠A+∠A′

从折纸过程可得∠A=∠A′，所以∠1＋∠2=2∠A。

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