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吉林省吉化第一高级中学校2018-2019学年高二3月月考数
学（文)试题
评卷人 得分 一、单选题
1．A．
化为十进制数是（ ）
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 【分析】
由二进制转化为十进制的方法，依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果． 【详解】
，
故选：． 【点睛】
本题考查的知识点是算法的概念，进制之间的转化方法，属于基础题．
2．抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A．与 【答案】C 【解析】 【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接对选项分析． 【详解】
由题意知，事件为“落地时向上的数是1或3或5”，
事件为“落地时向上的数是2或4或6”，事件为“落地时向上的数是3或6”， 事件为“落地时向上的数是或”， 在选项中，与是对立事件，故错误；
在选项中，与能同时发生，故与不是互斥事件，故错误；
1
B．与 C．与 D．与
在选项中，与不能同时发生，且不是对立事件，故与是互斥事件但不是对立事件，故正确；
在选项中，与能同时发生，故与不是互斥事件，故错误． 故选：． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义，找出每个事件所含的基本事件的个数是关键，是基础题． 3．如图给出的是计算和判断框
处应填的语句是（ ）
的值的一个程序框图
，则图中执行框
处
A．C．【答案】B 【解析】 【分析】
B．D．
根据程序框图的功能，进行运算判断即可． 【详解】
①的用途是计算各项倒数和的，则
，
②的用途为直到型循环结构满足条件跳出循环的条件， 分母从到则条件
共有，
，
，
项，
故对应的条件为
2
故选：． 【点睛】
本题主要考查程序框图的功能和判断，比较基础． 4．用系统抽样法从编号顺序平均分成为A． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n-1），所以第16组应抽出的号码为x+8（16-1）=\"123，解得x=3，所以第2组中应抽出个体的号码是3+（2-1）×8=11．故答案为：11．\" 考点：系统抽样方法． 5．完成下列两项调查：入家庭中选出
从某社区
户高收入家庭、
户中等收入家庭、
户低收
名学生中抽取容量为组（
号，
的样本，将
名学生从编号，按
组应抽出的号码
号，…，号）．若第
，则第一组中用抽签方法确定的号码是（ ）
B．
C．
D．
户，调查社会购买能力的某项指标；从某中学的名艺术特长生中
选出名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A．C．
简单随机抽样，系统抽样，
系统抽样
B．D．
分层抽样，
简单随机抽样
分层抽样 都用分层抽样
【答案】B 【解析】 【分析】
利用分层抽样、简单随机抽样的性质直接求解． 【详解】
在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；
在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样． 故选：． 【点睛】
本题考查抽样方法的特点及判断，是基础题．
6．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
3
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】D 【解析】
试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A错． 平均数86，88不相等，B错． 中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差=[（82-86）2+2×（84-86）2+3×（86-86）2+4×（88-86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差=[（84-88）2+2×（86-88）2+3×（88-88）2+4×（90-88）2]=4，标准差S=2，D正确
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数
7．已知与之间的几组数据如表：则与的线性回归方程 A．
B．
C．
D．
0 0 1 2 2 5 必过点（ ） 3 7 【答案】C 【解析】 【分析】 求出样本平均数【详解】
即与的线性回归方程故选：． 【点睛】
必过点
，
，
，即可得到结论．
4
本题主要考查回归直线方程的性质，求出样本中心点8．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间是
是解决本题的关键． 内，那么输入实数的取值范围
A．【答案】B 【解析】
B． C． D．
试题分析：由程序框图可得分段函数：∴令故答案为B. 考点：程序框图 9．在区间
内随机取两个数分别记为
，则使得函数
，则
，满足题意；
有零点的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分析可得本题符合几何概型的面积型测度，先求得总事件表示的面积，再求得满足条件的平面区域的面积，利用几何概型公式计算即可. 【详解】
若使函数有零点，必须在坐标轴上将
的取值范围标出，如图所示
，即
．
5
当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．
．
于是概率为故选：． 【点睛】
本题考查的知识点是几何概型，我们要求出区间对应平面区域的面积，再求出满足条件使得函数
内随机取两个数分别记为，
有零点对应
的平面区域的面积，然后代入几何概型公式，即可求解．
10．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（ ） A．101 B．808 C．1212 D．2012 【答案】B 【解析】
试题分析：由分层抽样的定义可得考点：分层抽样
11．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，
分别表示甲、乙
，解得
，答案选B．
两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A．
B．
6
C．【答案】B 【解析】 【分析】
D．
根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】
由茎叶图可看出甲的平均数是乙的平均数是
两组数据的平均数相等． 甲的方差是乙的方差是
甲的标准差小于乙的标准差， 故选：B． 【点睛】
本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
，
，
7
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
12．【答案】13 【解析】 【分析】
的最大公约数是______．
根据辗转相除法的步骤，将【详解】
， ， ，
故
的最大公约数是
和代入易得到答案．
，
故答案为：【点睛】
本题考查的知识点是辗转相除法，考查了算法的应用，区别辗转相除法与更相减损术的步骤是关键. 13．对任意非零实数
，若
的运算原理如程序框图所示，则
______．
【答案】1 【解析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程
8
序的作用是根据a，b值的关系，选择不同的式子求值，即求分段函数的函数值．
2
4 解：lg1000⊗（）﹣=3⊗
∵a＜b时，a⊗b=∴3⊗4=
=1．
，
故答案为：1．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 14．设集合
，
，，
，
表示的点中，任取
且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对一个，其落在圆是______． 【答案】【解析】 【分析】
根据两个集合之间的关系，写出
内（不含边界）的概率恰为，则的所有可能的正整数值
可能的取值，从而得到试验发生包含的事件数，根
据所给的概率的值，求出满足条件的事件数，把所有点的坐标的平方和比较，选出4个较小的，得到结果． 【详解】 集合
，
当
时，
或x=y，
这样在坐标系组成个点， 当
时，也满足条件共有个，
内（不含边界）的概率恰为，
所有的事件数是点落在圆
有个点落在圆内，
是落在圆内的点，
9
而（4，4）是落在圆外且到原点距离较小的点， 由于
， ，
而落在圆内的点不能多于个，
故答案为：【点睛】
本题考查等可能事件的概率和集合间的关系，本题解题的关键是看出注意列举时做到不重不漏．
15．点为周长等于的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧长度小于的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】
取M，N与A将圆弧进行三等分，当B落在式计算即可. 【详解】
如图所示，取M，N与A将圆弧进行三等分，
和
上时符合题意，根据几何概型公
的
的可能的取值，
则劣弧∴当B落在∴劣弧
和
，
上时符合题意，
，
的长度小于的概率为
故答案为：． 【点睛】
本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧应的弧长大小，属于基础题．
10
的长度小于”对
16．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，到之间的每个整数出现的可能性是______． 【答案】【解析】 【分析】
之间每个整数出现的可能性相等，算出整数的个数，即可得到对应的可能性． 【详解】 因为
， 故填：【点睛】
本题考查了整数型随机数、古典概型的概率计算，属于基础题． 评卷人
之间每个整数出现的可能性相等，而之间的整数共有个，故
．
得分 三、解答题
17．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
（1）用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为的样
本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人的学历为研究生的概率； （2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人，其中以下
人，
岁以上
人，再从这个人中随机抽取出人，此人的年龄为
岁
岁以上的
概率为，求的值．
【答案】(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为， ∴
, 解得
. …… 2分
∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3. 从中任取2人的所有基本事件共10个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3).
11
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). … 4分
∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为(2)解: 依题意得：
，解得
. …… 8分
. …… 6分
∴ 35～50岁中被抽取的人数为解得【解析】
. ∴
. …… 12分
. ∴. … 10分
试题分析：（1）首先根据抽样比计算35~50岁的人中，具有本科和研究生学历的人分别是多少，然后将这5人按类别标号，列举所有包含2人的方法种数，并计算其中至少有1人为研究生学历的基本事件的个数，最后相除就是结果；（2）首先根据
,计算
,再计算35～50岁中被抽取的人数，这样就知道35～50岁的抽样比，而每一层的抽样比都一样，这样计算
．
试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴
，解得m＝3．
∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S1、S2；B1、B2、B3． 从中任取2人的所有基本事件共10个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），
（B2，B3），（B1，B3）．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）， （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：
，解得N＝78．
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20． ∴
,解得x＝40，y＝5．∴x＝40，y＝5．
考点：1．分层抽样；2．古典概型．
18．某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数，满分
12
100分），从中随机抽取一个容量为这些分数分成以下组：
，
的样本，发现所有数据均在
，
，
，
内．现将，
，
并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
（1）算出第三组的频数，并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数， 【答案】（1）18人，直方图见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图中，小矩形的面积和等于，可求出分数在率，即可求出矩形的高，画出图象即可；
（2）将各组区间的中点值与每一组的频率相乘，求和即可求出本次考试的平均分；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标可得众数． 【详解】
（1）因为各组的频率之和等于，所以分数在
内的频率为： ，
所以第三组
的频数为
（人）
内的频
分，
分．
完整的频率分布直方图如图．
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为
分．
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：
（分）．
13
所以，样本的众数为【点睛】
分，平均数为分．
本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识． 19．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 频数 5 ① 30 20 10 ② 频率 名中学生的笔试成绩，按成
（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
组中用分层抽样抽
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
取名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图．
14
人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.
（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入
第二轮面试的人数． （3）设第组的位同学为
，第组的位同学为
，第组的位同学为，
利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率． 【详解】
（1）①由题可知，第2组的频数为②第组的频率为
，
人，
频率分布直方图如图所示，
（2）因为第组共有名学生，
所以利用分层抽样在为： 第组： 第组：第组：所以第
名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别
人， 人， 人，
组分别抽取人、人、人进入第二轮面试．
，第组的位同学为种选法，分别为：
，，
，，
，第组的位同学为， ，
，，
，，
（3）设第组的位同学为则从这六位同学中抽取两位同学有
，，
其中第组的位同学
，，
，，
中至少有一位同学入选的有种，分别为：
，
15
，
∴第组至少有一名学生被考官面试的概率为【点睛】
．
，
本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
20．某城市理论预测2014年到2018年人口总数（单位：十万）与年份（用示）的关系如表所示：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；（3）据此估计2019年该城市人口总数． （参考数据：
）
参考公式：线性回归方程为，其中
．【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）
万．
【解析】 【分析】
（1）根据表格画出散点图：可得与是正相关． （2）根据所给的数据求出
，可依据公式求得和的值，从而求得回归方程．（3）在回归直线的方程中，令，求得对应的值，可得结论．
【详解】
（1）根据表格画出散点图：可得与是正相关． 散点图如图所示．
表
16
（2）由题中数表，知：
，
，
，
（3）当
时，求得
，回归方程为
（十万）
万．
万）．
．
∴估计2019年该城市人口总数约为【点睛】
本题主要考查两个变量的相关关系，线性回归问题，求回归直线的方程以及回归方程的应用，属于基础题． 21．已知直线经过点
，且的斜率
．
（1）写出直线的参数方程； （2）设与圆
相交于两点
，求点到
两点间的距离之积．
【答案】（1）【解析】 【分析】
；（2）7.
（1）由题意得直线的倾斜角为，利用直线的参数方程的形式求解即可． （2）联立直线与圆，利用参数的几何意义可得． 【详解】
（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数）．
17
（2）将直线的参数方程为设则【点睛】
对应的参数分别为
，
．
代入并整理得：，
本题考查了直线的参数方程的形式及应用，属于中档题． 22．在直角坐标系动点，点满足（1）求
的方程；
与
的异于极点的交
中，曲线的参数方程为，点的轨迹为曲线
.
（为参数）是
上的
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线点为，与的异于极点的交点为，求【答案】（1）【解析】 试题分析：(1)通过集合意义求
.
，则由条件知
，由于点在上，
；（2）
．
．
消参,化为普通方程；(2)利用直线方程的极坐标的
试题解析：（1）设
所以
即的普通方程为
即消去参数，得．
，曲线的极坐标方程为
， ．
，
（2）曲线的极坐标方程为射线射线所以
与与
的交点的极径为的交点的极径为
．
，
考点：1.参数方程化为普通方程；2.直线的极坐标方程的几何意义.
18
