四年级奥数计算复杂数字谜

知识框架

一、基本概念 数字谜

数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．

填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。

数阵图

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵图：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

幻方

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

834159672112815610314711249516

13。

二、数字谜分类

1、 竖式谜 2、 横式谜 3、 填空谜 4、 幻方 5、 数阵图 6、 数独

三、解题技巧与方法 竖式数字谜

1、 技巧

（1） 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，

可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；

（2） 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；

Page 1 of 24

（3） 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； （4） 注意结合进位及退位来考虑；

（5） 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字。 （6） 数字谜解出之后，最好验算一遍． 2、 数字迷加减法 （1） 个位数字分析法； （2） 加减法中的进位与退位； （3） 乘除法中的进位与退位； （4） 奇偶性分析法。

横式数字谜

解决巧填算符的基本方法

（1） 凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减

少，从而使等式成立。

（2） 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

最值问题

（1） 横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；

（2） 找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．

（3） 采用特殊分析方法：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、

分解质因数法、奇偶分析法等．

（4） 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到

所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．

（5） 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数

互化、方程、估算、找规律等题型。

数阵图

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

数独

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为条件）来缩小可选数字的范围。 总结4个小技巧：

Page 2 of 24

1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的来

分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的。

2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯

定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.

3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选

数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。 4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能

进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

幻方

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．

四、奇数和偶数的简单性质

1、 整数可以分为奇数和偶数两类

（1） 我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数. （2） 把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数. 2、 性质： （1） 奇数≠偶数.

（2） 整数的加法有以下性质：

Page 3 of 24

奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数.

（3） 整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数.

（4） 整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数；

偶数×偶数=偶数.

五、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

43951276

8

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

六、数独简介：

数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

Page 4 of 24

1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。 19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（Number Place），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。

一位前任高等的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。

中国是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

例题精讲

【例 1】 下面是一个n进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求n和ABCDE的值．

ABCCBECEABDB E【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 由于算式中出现5个不同的数字，所以n至少为5．在n进制中，就像在10进制中一样，两个四

位数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为1(因为这两个四位数都小于10000，它们的和小于20000，故首位为1)，即C1．由于A最大为n－1，则AC1n111n1，

ACn11n，即两个四位数的首位向上位进1后最多还剩下1，即E最大为1，又因为不同

的字母表示不同的数，E不能C与相同，所以E只能为0．则DBn，末位向上进1位；

CE12，即B2；BB4，不向上进位，所以A4；ACEn，得n5，则DnB3．所以n为5，ABCDE为42130．

【答案】n为5，ABCDE为42130

【巩固】 如图，在加法算式中，八个字母“QHFZLBDX”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代

Page 5 of 24

表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ”的最大值是多少？

2QQ1Q0HHH0FLD9Z BX【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 原式为2009QHFZQHLB1QHDX，即QHFZ1QHDXQHLB20097991DXLB．为

了使QHFZ最大，则前两位QH先尽量大，由于DXLB小于100，所以QH最大可能为80．若QH80，则继续化简为FZDXLB9．现在要使FZ尽量大．由于8和0已经出现，所以

此时DXLB9最大为9712976，此时出现重复数字，可见FZ小于76．而9612975符合题意，所以此时FZ最大为75，QHFZ的最大值为8075．

【答案】8075

【例 2】 把0，1，2，…，8，9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各

用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？

2007

【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为

10．由于三位数的百位上不能为1和0，所以要使三位数最小，它的百位应该为2，十位应该为

0．那么十位向百位的进位为1，所以四位数的百位为7，且十位上三个方框中的数之和再加上

个位的进位的和为10．又剩下的数字3，4，5，6，8，9中除345618只向十位进1外，其余任选四数字的和都大于20，由于3456的尾数不为7，所以个位上四个数字不能是3，所以个位向十位进位为2，也就是十位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为0)，4，5，6，

而剩下的3，4，5，6，8，9中只有358，所以个位上的四个方框中的数为4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为204．

【答案】204。

【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的6位

数最小为 ．

Page 6 of 24

0美数花好好好207妙学 园好【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 “好”为2，要使算式满足则必有(美数花）≥20。要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则

美数花389，妙学园15456．即“美妙数学花园”代表的6位数最小为348596

【答案】348596

【例 3】 将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四

位数最小是多少？

12008

【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空

【解析】 9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，

19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．

【答案】最小是1125

【巩固】 在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不

相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？

ECF

9DG10AB【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空

【解析】 本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的

个位，若个位不进位，则四个数字EFGB之和为2B，是偶数；若个位进位，则四个数字

EFGB之和为102B或202B，还是偶数．所以EFGB为偶数，又ABCDEFG23835，所以ACD为奇数．如果加法算式中个位不进

位，那么CD10A，这样ACD102A为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向十位进奇数位，只能是1位，故EFG10B，CD110A，得

Page 7 of 24

EFGCD19AB，而ABCDEFG23835，所以AB8，

A、B可能为2、6或3、5，乘积为12或15，故A与B乘积的最大值是15．

另解：因为ECF9DG10AB，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于AB7815，所以AB8，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与B乘积的最大值是15．

【答案】15

【例 4】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字

和等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格

ABCD20,为止）。例如：EFGHCI22,当填写完后，字母C处所写的数字是_____________。

JKMN19。232019102722202428AEFGHCB10JKMN2620DI96

A. 4 B. 5 C. 7 D. 9

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空

l3l4C，提示：在下图中，直线l1上的6个数之和是，只有12345722，直线l2上的5【解析】

个数之和是35，只有5678935，所以G等于5或7；

直线l3上的4个数之和是12，只有：123612或124512，再考虑到G等于5或7，得到G5,M1或2或4。直线l4上的3个数之和是20，并且M1或2或4，只有47920，所以M4，再考虑到l1上的数不大于7，所以C7。下图是一种填法（填法不唯一）。

Page 8 of 24

3523201226191027222019215985765243949710114320621987

3122428【答案】C=7。

【巩固】 用数字1至9填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行，每一列（相连或不

相连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 如图1，因为a、b、c、d所在列已经出现8，所以a、b、c、d不等于8，

在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知e8，那么g、f不等于8，而在h、i所在的列中出现了数字8，所以h、i不等于8，那么j8，之后用同样的方法可以得出结果如图2。

h4gf9de17c95jib3a8636281791354962435817624165382958712374582163792873图176154图2

【答案】

【例 5】 如图，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数

的和都等于2008。这九个数总和最小为 。

Page 9 of 24

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 假设9个数总和是M，则MABCDEFGHI,上面三个环的总和为：

32008MCG，所以当CG12时，总和最小为2008336027。

【答案】6027

【巩固】 如图，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九个各不相同的正整数，A，B，C，D，

E，F，G，H，I的总和是2008，并且每个圆中所填的数和都等于M。(1)M最大为多少？

(2)M最小为多少？

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空

【解析】 上面三个环里数的和为3M，3MCG2008，3M2008CG，所以M最大可以取668，

此时C，G分别为1，3。五环的和是5M2008BDFH，要使M最小，只要取

BDFH最小为12，此时M404。

【答案】最大668，最小12

【例 6】 请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【解析】

111111121111112311111233答案不唯一

1111233311113333111333331133333313333333

Page 10 of 24

1111111211111123111112331111233311113333111333331133333313333333【答案】

。

【巩固】 在8×8表格的每格中各填入一个数，使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数都大于3，

而整个8×8表格中个数的平均数都小于2．

【考点】 【难度】星 【题型】填空

【解析】 如图所示，根据题意，在任何一个任何一个5×5正方形中的总和应该大于75，而整个的数之和要

小于128，其中粗线格部分的在所有的5×5的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边的尽可能的小，则外面的60个方格最小和为60，中间四个方格，应该小于68。在每一个5×5的正方形内除去这4个，所有之和为21，则中间四个数之和应该大于54，即只要中间四个数的和在54到68之间即可。如14+14+14+14.其他方格里均填写1.

【答案】答案不唯一可以在粗线格里添14，其余方格添1

【例 7】 将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：

（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除

（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中5个数的和最小是

Page 11 of 24

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．这10个合数当中10和15一

定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和

6所在的列分别讨论．4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一

定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824，当14、16在2下面，4和8在4下面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数18一定在最后一行，最小的数6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18927，当12和18在6下面，6和9在3下面时成立．所以最后一行的5个数的和最小是24152766。

【答案】24152766

【巩固】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号

的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．

【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空

k2【解析】 如果a，bab两个编号的同学是“好朋友”，那么abkakb，则ak．

bkb有3，6； k2时满足条件的a，b有4，12； k3时满足条件的a，20、6，b有5，12； k4时满足条件的a，30； b有6，k5时满足条件的a，24、5，20、5，20； b有8，k6时满足条件的a，24； b有12，k8时满足条件的a，30； b有15，k10时满足条件的a，b有20，30、21，28； k12时满足条件的a，则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516名学生未列)：

981824211265203028431510

关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人

Page 12 of 24

当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人． 小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．

【答案】25人

【例 8】 如图，5×5方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个，使得每行、每列、

每条对角线的五个数各不相同，。现有两个格子已分别填入1和2，请在其它格子中填上适当的数。那么，ABCDE是 。

1

2

ABCDE

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 这道题是数独游戏的变体。

１、因为每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等;

所以，⑴如图两a位置的数一定相等。

⑵右下角的数如果有数相同，只能是两b位置的数相同。 ⑶左上角一组第二行的数为2。

２、求公和=(1+2+3+4+5)×5÷5=15，所以，右下角的四个数的情况可能为： （1） 必有5,否则为15＝4＋4＋4＋3,不成立。 （2） 则可能：15＝5＋5＋4＋1

15＝5＋5＋3＋2，不成立 15＝5＋4＋4＋2，不成立 15＝5＋4＋3＋3，不成立，

因为对角线上a必为3,则最底行有两个3.所以，只有：

所以，a＝3,(3,4-斜去，5－底去)，C＝5（斜只剩），c＝4（4,5－竖去），b＝5（横只剩），d＝1（1,4－横去），B＝4（竖只剩），e＝4（3－横竖去，4），f＝3（斜只剩），D＝2（竖只剩2），E＝3(3,1-竖去)，A＝1（横只剩），ABCDE＝14523。

【答案】ABCDE＝14523

【巩固】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格

都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，五位数CDEFG是 ．

Page 13 of 24

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 首先可以判断A、B、C、D、E、F、G当中不可能出现1和5，C3，D2，通过尝试可

得到F8，G9，E4，所以CDEFG324．

【答案】324

【例 9】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格

都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是 ．

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 首先可以判断A、B、C、D、E、F、G当中不可能出现1和5，C3，D2，通过尝试可

得到F8，G9，E4，A、B分别为6和7，所以ABCDEFG67324．

【答案】67324

【巩固】 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的23的“宫”中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所有数字之和，并且该区域内所有数字互不相同，那么，六位数ABCDEF是_____________.

【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空

【解析】 每行每列中1～6各出现1次，故每行每列6个数的和都是12345621，则可以确定第6行第1列的数为11(2113)3，第1行第4列的数为211191，第1行第5列的数为615，而第3列第1、2行的数只能为5611，故第1行第3列为6，第2行第3列为5.

由于第6列第1、2行两个数和为7，而7162534，而这两个数不可能为1，5，6，

Page 14 of 24

故只可能为3和4，而右上角的“宫”中6个数1～6各出现1次，那么第2行第4、5列的两个数分别为2，6.

由于第1列的6只能出现在上面3个数中，现在第1、2行已经有6，故第1列第3行的数为6，且第1列第1、2行的两个数之和为6，且都不能为5，只能为246，注意到第2行已有2，故第1列第1行为2，第2行为4，则第6列第1行为4，第2行为3，第2行第1行为3，第2列为1. 又第5列第2、3行的数之和为21957，第2行的数为6或2，如果为2，则第3行的数为5，重复，故第2行的数为6第3行的数为1，则第4列第2行的数为2.

此时第6列第3、4行的数之和为14617，可能为16和25，又第3行已有1和6，故只能为25，第6列第5、6行的数为1和6.

此时第4列第3、4行的两个数之和为1129，可能为36或45，又第2列第3、4行的两数之和为13319，只能为45，故此时第3、4行的两个5分别在第2列和第6列，那么第4列只能是36，故第4列第3行为3，第4行为6.

那么右列中间的“宫”中1，2，3，5，6都已出现，所以这个“宫”中的4只能在第4行第5列，则可以确定第5列第5行为3，第6行为2。

第1列第4、5行的数为1和5，而第4行的5在第2列或第6列，故第1列第4行为1，第5行为5。

下面根据每行、每列、每“宫”中1～6各出现1次，较易确定最后的填法.如图. 故ABCDEF是2315.

12246615113133145261165102314611123694551461943274352761

【答案】2315

【例 10】 如图1的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各

不相等；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘积．那么，★处所填的数是 ．

525120192601203620图18410516824

【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空

Page 15 of 24

【解析】 这是一道拉丁方问题．每行、每列的7个各不相等的数的乘积均为7!5040．任意两行、两列中

14个各不相等的数的乘积均为7!7!25401600，除去已知的乘积，未知数的乘积便可知．将其分解，进行分析，即可填出．首先将列依次定a、b、c、d、e、f、g，行依次定为1、2、3、4、5、6、7，那么★处可表示为7g．观察a、b两列，由25401600525192367，容易知道7a、7b只能是1和7．再由6b、6c、7b、7c相乘积为20，容易知道7b只能填1，7a只能填7．

a12120525bcd168ef24g3456719260120105362084

由于6b、6c、7b、7c相乘积为20，7b填1，这样一来，6b、6c、7c可能填1、4、5或2、2、5．若6b、6c、7c填1、4、5，只能是6b填4，6c填1，7c填5（1a，1b，2a，2b乘积为525，．于是5a、5b、6a的乘积为9，在1a、1b、2a、2b中必有两个是5，一个是3，另一个是7）

5a、5b、6a中，必有两个是3，这时与1a、1b、2a、2b中所填的3出现在同一列，矛盾．确

定1c、2c中填的数．由254016005251682412，122634，7c已填2，所以1c、60与120均不是7的倍数，故c列中，7只能在5c处．603c、4c只能填1和6．2c只能填3和4．

与120均是5的倍数，故c列中，5已出现，显然3d填5，4d填2．再由可确定3e填3．下面确定4e，4e所填的数是105与120245016001681208415，1535，的公约数，只能是1或5．若填1，则5d、5e的乘积为60，它显然不能表示成两个不大于7的数的乘积，故4e填5．从第6、7行看，6d、6e、7d、7e不能出现2，这样一来，84只能表示为847341，显然6d、．7d填3，5d、5e乘积是1202512，6e只能填7和1，7e填4，从d、e列看，12只能表示为1226，5d填6，5e填6．下面请同学们自己进行分析，容易得到下面填法．★处所填的数是6．

a152332454136192525b754632120c346175212060d415267384168e673105120f261743524g127354652146677

【答案】6

【巩固】 如图，请沿虚线将77的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，

并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方

Page 16 of 24

形．

【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】2010年，迎春杯，五年级，初赛，第9题 【解析】 如图所示：第4行第6列的数字4为此题的突破口。

22483242444352

【答案】4个

课堂检测

【随练1】 用l—9填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不

相连的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次．

【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空 【解析】 解题顺序如第二附图，依照A、B、C、D……的顺序.

【随练2】 在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留1、

10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

Page 17 of 24

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 共6种

【答案】

【随练3】 下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小

方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由.

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空

Page 18 of 24

【解析】 用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、

9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5行都有数字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）＝6。所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：3274651.

【答案】3274651。

家庭作业

【作业1】 图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一

个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：abgfA）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么agd___________．

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数，7个数被3除的余数分别为1、0、2、1、0、2、1，可以

得到中间数g8或14，同样分析5的倍数，7的倍数，得到具体的填法（如图），agd4810320评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。

1326112014FE04A8D10BC612

16

【答案】320

【作业2】 将1、2、3、4分别填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中

的4个数1、2、3、4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，从左上到右下的对角线上4个数的和是____________。（左下图是一个3×3的例子）

Page 19 of 24

132133221

A. 10 B. 11 C. 12 D. 16

【考点】数独 【难度】5星 【题型】选择 【解析】 C提示：填法如右图。

【答案】C

【作业3】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部

但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。

12ABCDE∧3345>>∧><∨∧<3

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 这道题是一道数独游戏的变体，我们称之为“大小数独”。已知数字很少，我们就要善于利用大小

关系条件。

1、 首先看E行，因为E4<3，所以E4只能填入1或者2，又因为D4>D3>E3,再因为E5为3，所以

E3只能填入1或者2，这样，1和2就必然出现在E3和E4中，所以E1和E2只能填4和5，再根据E1>E2，我们可以知道E1为5，E2为4；

2、 再看A行和第5列，因为A3>A4>A5且A1为3，所以A5填1或者2，同理我们知道第5列中

B2也只能填1或者2，于是我们可以确定1和2必然出现在A5和B5之中，那么4和5必然出现在C5和D5中，再根据D5>C5，我们推知C5填4，D5填5，又根据D4大于D3，我们知道D4只能填4或者5，而5已经出现在D5中，所以D4只能填4，进而确定D3只能填3，A4只能填2，A5填1，B5填2，A2填5（E5已经填入4，A2不能再填4），A3填4，E4填1，E3填2，C3填1，B4填3，B2填1，C4填5，再由于E1为5，所以B1为4，B3为5，进而C1填2，D1填1，D2填2，C2填3. 分析完毕，答案如图.

Page 20 of 24

12A35B41C23D12E5>412A3B541C23D12E5>43454>2>1532∧154∧∧3<45∨21<33454>2>1532∧154∧∧3<45∨21<3

【答案】

。

【作业4】 请你在下面55表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得每行、每列、每条对角线所

填的5个数各不相同，且A格中的数比B格中的数大，B格中的数比C格中的数大，C格中的数比D格中的数大，E格中的数比F格中的数大，G格中的数比H格中的数大。那么，第二行的5个数从左到右依次是 。

A

BC

D

GFEH

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 本题基于日本比较流行的谜题“大小数独”，所不同的是，除了行列为拉丁方以外还了两

条大对角线也不能有重复数字。所以，和解通常的大小数独相比，会有一些新的套路。 解数独的时候，一般是先分析必然成立的，如果分析不出来了再去假设。为描述方便，将所有没有标出来的方格用小写字母标出。

根据已知的大小关系可知：

A只能填4或5，B只能填3或4，C只能填2或3，D只能填1或2。除此之外，E和G都不能填1，F和H都不能填5。除此之外，观察到D不能和A，B，C，j里面的任何一个数相同，所以D只能和i相同。至此似乎无法继续分析，可以进行假设。但是，假设哪里比较好呢？注意到本题和通常的大小数独相比，多了对角线的要求，所以中间的方格F最特殊，可以以它为突破口。注意，只有和中间格成“马步”的格才可能和中间格填相同的数，这很关键。 (1) 假设F填1，则i和j都不能填1，这样第一行没有任何一格能填1，矛盾；

(2) 假设F填2，则D填1，i填1。第一行的2只能填在C，从而第五行的2只能填在v。第三行的1只能填在p，这样第四、五两行的1只能填在H和w，此时副对角线出现了D和H两个1，与题意不符，矛盾；

Page 21 of 24

(3) 假设F填3，则B填4，A填5，i和j填1和2。第一行的3只能填在C，从而第五行的3只能填在v。G不能再填3或5，所以只能填2或4。H比G小，而且也不能填3，所以只能填1或2。但此时，副对角线上的j，D，H三格都只能填1或2，矛盾；

(4) 假设F填4，则B填3，C填2，D填1，i填1，E填5。第一行的4只能填在A，从而第五行的4只能填在x。第一行最后剩下j填5，第四列最后剩下s填3。之后就非常简单了，填完之后的结果如下：

所求结果为45213。

【答案】45213

【作业5】 将1、2、3、4、5、6都分别填入6×6的方格网（如下图所示）的36个小方格中，使得每一行

每一列中的6个数1、2、3、4、5、6各出现依次，并且满足与不等式相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是___________。（左下图是一个3×3的例子。）

123121332

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

【考点】数独 【难度】5星 【题型】选择 【解析】 D，提示：填法如下图。

1523463152136245512634254361325416

【答案】D。

【作业6】 如图．44方格被分成了五块；请你在每格中填入l、2、3、4中的一个，使得每行、每列的

四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A、B、C、D四处所填数字之和是 。

Page 22 of 24

ABDC

【考点】数独 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 首先16个方格的和为4×（1+2+3+4）=40，所以每一块的和位40÷5=8，4个数和为8只有1+2+3+2

和1+1+2+4两种，3个数和为8有1+3+4、2+2+4、2+3+3两种.其中只有1+3+4，三个加数各不相同，所以A所在的三格只能填1、3、4，所以B只能是2，B所在块中另外两个数只能是3+3（排除）或2+4.

224

再看C所在的块，这能填1+2+3+1或1+1+2+4，其中C右侧的数只能填重复的数

4123222431421224

事实上以上两个中2可以确定位置.剩下的尝试即可得出.

41231342321424314321314212342413314243211234

2413

所以和为10.

【答案】10。

Page 23 of 24

教学反馈

学生对本次课的评价 ○特别满意 ○满意 ○一般 家长意见及建议： 家长签字：

Page 24 of 24