变温霍尔效应实验
一、实验目的
1.了解半导体中霍尔效应的产生原理，霍尔系数表达式的推导及其副效应的产生和消除；
2.掌握霍尔系数和电导率的测量方法、样品导电类型的判别方法、半导体材料的霍尔系数、电导率、
载流子浓度和霍尔迁移率的计算方法；
3.掌握动态法测量霍尔系数及电导率随温度的变化； 4.了解霍尔器件的应用，理解半导体的导电机制； 5.掌握实验数据处理方法，并能利用 Origin 绘图软件对实验数据进行处理和分析。
二、实验原理
霍尔效应原理
1．半导体中的载流子
根据半导体导电理论,半导体内载流子的产生有两种不同的机构：本征激发和杂质电离。
（1）本征激发
半导体材料内共价键上的电子有可能受热激发后跃迁到导带上，在原共价键上却留下一个电子缺位—空穴，这个空穴很容易受到邻键上的电子跳过来填补而转移到邻键上。因此，半导体内存在参与导电的两种载流子：电子和空穴。这种不受外来杂质的影响由半导体本身靠热激发产生电子—空穴的过程，称为本征激发。显然，导带上每产生一个电子，价带上必然留下一个空穴。因此，由本征激发的电子浓度 n 和空穴浓度 p 应相等，并统称为本征浓度 ni，由经典的玻尔兹曼统计可得ni=n=p=(NcNv)1/2exp[-Eg/(2KBT)]=K’T3/2exp[-Eg/(2KBT)]式中 Nc，Nv 分别为导带、价带有效状态密度，K’为常数，T 为温度，Eg 为禁带宽度，K 为玻尔兹曼常数。
（2）杂质电离
在纯净的第 IV 族元素半导体材料中，掺入微量 III 或 V 族元素杂质，称为半导体掺杂。掺杂后的半导体在室温下的导电性能主要由浅杂质决定。如果在硅材料中掺入微量 III 族元素（如硼或铝等），这些第 III 族原子在晶体中取代部分硅原子组成共价键时，从邻近硅原子价键上夺取一个电子成为负离子，而在邻近失去一个电子的硅原子价键上产生一个空穴。这样满带中电子就激发到禁带中的杂质能级上，使硼原子电离成硼离子，而在满带中留下空穴参与导电，这种过程称为杂质电离。产生一个空穴所需的能量称为杂质电离能。这样的杂质叫做受主杂质，由受主杂质电离而提供空穴导电为主的半导体材料称为 p 型半导体。当温度较高时，浅受主杂质几乎完全电离，这时价带中的空穴浓度接近受主杂质浓度。同理，在 IV 族元素半导体（如硅、锗等）中，掺入微量 V 族元素，例如磷、砷等，那么杂质原子与硅原子形成共价键时，多余的一个价电子只受到磷离子 P+的微弱束缚，在室温下这个电子可以脱离束缚使磷原子成为正离子，並向半导体提供一个自由电子。通常把这种向半导体提供一个自由电子而本身成
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为正离子的杂质称为施主杂质，以施主杂质电离提供电子导电为主的半导体材料叫做 n 型半导体。
2． 霍尔效应和霍尔系数
设一块半导体的 x 方向上有均匀的电流ＩX 流过，在 z 方向上加有磁场Ｂz，则在这块半导体的 y 方
向上出现一横向电势差ＵH，这种现象被称为“霍尔效应”，ＵH 称为“霍尔电压”，所对应的横向电场 EH
称为“霍尔电场”。见图 1。
实验指出，霍尔电场强度 EH 的大小与流经样品的电流密度Ｊx 和磁感应强度Ｂz 的乘积成正比，EH＝RH·Jx·Ｂz （1）
式中比例系数 RH 称为“霍尔系数”。
下面以 p 型半导体样品为例，讨论霍尔效应的产生原理并推导、分析霍尔系数的表达式。半导体样品的长、宽、厚分别为 L、ａ、ｂ，半导体载流子（空穴）的浓度为 p，它们在电场 Ex 作用下，以平均漂移速度ｖx 沿 x 方向运动，形成电流Ｉx。在垂直于电场 Ex 方向上加一磁场Ｂz，则运动着的载流子要受到洛仑兹力的作用Ｆ＝ｑ ×Ｂ （2） 式中ｑ为空穴电荷电量。该洛仑兹力指向－y 方向，因此载流子向－y 方向偏转，这样在样品的左侧面就积累了空穴，从而产生了一个指向＋y 方向的电场——霍尔电场 Ey。当该电场对空穴的作用力ｑEy 与洛仑兹力相平衡时，空穴在 y 方向上所受的合力为零，达到稳态。稳态时电流仍沿 x 方向不变，但合成电场 E＝Ex＋Ey 不再沿 x 方向，E 与 x 轴的夹角称“霍尔角”。在稳态时，
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上述模型过于简单。根据半导体输运理论，考虑到载流子速度的统计分布以及载流子在运动中受到散射等因素，在霍尔系数的表达式中还应引入一个霍尔因子Ａ，则（7）、（８）式应修正为 15p 型： qp1A RH （９）n 型：qnA RH1(10） Ａ的大小与散射机理及能带结构有关。由理论算得，在弱磁场条件下，对球形等能面的非简并半导体，在较高温度（此时，晶格散射起主要作用）情况下18 . 183 A 一般地，Ｓｉ、 ＧE 等常用半导体在室温下属于此种情况，Ａ取为 1．1８。在较低温度（此时，电离杂质散射起主要作用）情况下，93 . 1512315A 对于高载流子浓度的简并半导体以及强磁场条件，Ａ＝1；对于晶格和电离杂质混合散射情况，一般取文献报道的实验值。上面讨论的是只有电子或只有空穴导电的情况。对于电子、空穴混合导电的情况，在计算 RH 时应同时考虑两种载流子在磁场下偏转的效果。对于球形等能面的半导体材料，可以证明：
式中ｂ’＝μn／μp， μn、 μp 为电子和空穴的迁移率。从霍尔系数的表达式可以看出：由 RH 的符号（也即ＵH 的符号）可以判断载流子的类型，
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正为 p 型，负为 n 型（注意，所谓正、负是指在 xyz 坐标系中相对于 y 轴方向而言，见图 1。Ｉ、Ｂ的正方向分别为 x 轴、z 轴的正方向，则霍尔电场方向为 y 轴方向。当霍尔电场方向的指向与 y 正向相同时，则ＵH 为正。）； RH 的大小可确定载流子的浓度；还可以结合测得的电导率σ算出如下定义的霍尔迁移率μHμH＝｜RH｜·σ （12）μH 的量纲与载流子的迁移率相同，通常为ｃm2／Ｖ·ｓ（厘米2／伏秒），它的大小与载流子的电导迁移率有密切的关系。霍尔系数 RH 可以在实验中测量出来，若采用国际单位制，由（6）、（7）式可得
但在半导体学科
中习惯采用实用单位制（其中，ｂ：厘米，Ｂz：高斯Ｇs），则
3．霍尔系数与温度的关系
RH 与载流子浓度之间有反比关系，因此当温度不变时，RH 不会变化；而当温度改变时，载流子浓度发生变化，RH 也随之变化。图 2 是 RH 随温度 T 变化的关系图。图中纵坐标为 RH 的绝对值，曲线Ａ、Ｂ分别表示 n 型和 p 型半导体的霍尔系数随温度的变化曲线。下面简要地讨论曲线Ｂ：杂质电离饱和区。在曲线（ａ）段，所有的杂质都已电离，载流子浓度保持不变。 p 型半导体中 p>>n，（11）式中 nｂ2可忽略，可简化为
式中 NＡ为受主杂质浓度。
（2） 温度逐渐升高，价带上的电子开始激发到导带，由于μn＞μp，所以ｂ＞1，当温度升到使 p＝nｂ2时，RH＝0，出现了图中（ｂ）段。（3） 温度再升高时，更多的电子从价带激发到导带， p＜nｂ2而使 RH＜0，（11）式中
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分母增大，RH 减小，将会达到一个负的极值（图中（ｃ）点）。此时价带的空穴数 p＝n＋NA，将它代入（11）式，并对 n 求微商，可以得到当
由此式可见，当测得 RHM 和杂质电离饱和区的 RH，就可定出 b’的大小。 17（4） 当温度继续升高，达本征范围时，半导体中载流子浓度大大超过受主杂质浓度，所以 RH 随温度上升而呈指数下降，RH 则由本征载流子浓度 Nｉ来决定，此时杂质含量不同或杂质类型不同的曲线都将趋聚在一起，见图中（ｄ）段。3． 半导体的电导率在半导体中若有两种载流子同时存在，则其电导率σ为σ＝ｑpμp＋ｑnμn （15）
实验得出 σ 与温度 T 的关系曲线如图 3。 现以 p 型半导体为例分析：
（1）低温区。在低温区杂质部分电离，杂质电离产生的载流子浓度随温度升高而增加，而且 μp 在低温下主要取决于杂质散射，它也随温度升高而增加。因此，σ 随 T 的增加而增加，见图的ａ段。室温附近。此时，杂质已全部电离，载流子浓度基本不变，这时晶格散射起主要作用，使 μp 随 T 的升高而下降，导致 σ 随 T 的升高而下降，见图的ｂ段。2）高温区。在这区域中，本征激发产生的载流子浓度随温度升高而指数地剧增，远远超过 μp 的下降作用，致使 σ 随 T 而迅速增加，见图的ｃ段。实验中电导率 σ 可由下式计算出：
式中 ρ 为电阻率，Ｉ为流过样
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品的电流，Ｕσ、l 分别为两测量点间的电压降和长度。对于不规则形状的半导体样品，常用范德堡（Van der Pauw）法测量，它对电极对称性的要求较低，在半导体新材料的研究中用得较多。感兴趣的读者可参阅文献［4］。
4． 霍尔效应中的副效应及其消除在霍尔系数的测量中，会伴随一些热磁副效应、电极不对称等因素引起的附加电压叠加在霍尔电压ＵH 上，下面作些简要说明：
（1）爱廷豪森（Ettinghausen）效应。在样品 x 方向通电流Ｉx，由于载流子速度分布的统计性，大于和小于平均速度的载流子在洛仑兹力和霍尔电场力的作用下，沿 y 轴的相反两侧偏转，其动能将转化为热能，使两侧产生温差。由于电极和样品不是同一种材料，电极和样品形成热电偶，这一温差将产生温差电动势ＵE，而且有ＵE∝Ｉx· Ｂz这就是爱廷豪森效应。ＵE 方向与电流Ｉ及磁场Ｂ的方向有关。
（2）能斯脱（Nernst）效应。如果在 x 方向存在热流Ｑx（往往由于 x 方向通以电流，两端电极与样品的接触电阻不同而产生不同的焦耳热，致使 x 方向两端温度不同），沿温度梯度方向扩散的载流子将受到Ｂz 作用而偏转，在 y 方向上建立电势差ＵN，有ＵN∝Ｑx· Ｂz这就是能斯脱效应。ＵN 方向只与Ｂ方向有关。
（3）里纪-勒杜克（Righi-Ledue）效应。当有热流Ｑx 沿 x 方向流过样品，载流子将倾向于由热端扩散到冷端，与爱廷豪森效应相仿，在 y 方向产生温差，这温差将产生温差电势ＵRL，这一效应称里纪勒杜克效应。ＵRL∝Ｑx· ＢzＵRL 的方向只与Ｂ的方向有关。
（4）电极位置不对称产生的电压降Ｕ0。在制备霍尔样品时，y 方向的测量电极很难做到处于理想的等位面上，见图 4。即使在未加磁场时，在Ａ、Ｂ两电极间也存在一个由于不等位电势引起的欧姆压降Ｕ0：Ｕ0＝Ｉx·R0其中 R0 为Ａ、Ｂ两电极所在的两等位面之间的电阻，Ｕ0 方向只与Ｉx 方向有关。19
图 4
样品所在空间如果沿 y 方向有温度梯度，则在此方向上产生的温差电势ＵT 也将叠加在ＵH 中，ＵT 与Ｉ、Ｂ方向无关。要消除上述诸效应带来的误差，应改变Ｉ和Ｂ的方向，使ＵN、 ＵRL、Ｕ0 和ＵT 从计算结果中消除，然而ＵE 却因与Ｉ、Ｂ方向同步变化而无法消除，但ＵE 引起的误差很小，可以忽略。实验时在样品上加磁场Ｂ和通电流Ｉ，则 y 方向两电极间产生电位差Ｕ，自行定义
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磁场和电流的正方向改变磁场和电流方向，测出四组数据：
加＋Ｂ、 ＋Ｉ时，Ｕ1＝＋ＵH＋ＵE＋ＵN＋ＵRL＋Ｕ0＋ＵT 加＋Ｂ、 －Ｉ时，Ｕ2＝－ＵH－ＵE＋ＵN＋ＵRL－Ｕ0＋ＵT 加－Ｂ、 －Ｉ时，Ｕ3＝＋ＵH＋ＵE－ＵN－ＵRL－Ｕ0＋ＵT 加－Ｂ、 ＋Ｉ时，Ｕ4＝－ＵH－ＵE－ＵN－ＵRL＋Ｕ0＋ＵT 由以上四式可
得
将实验时测得的Ｕ1、Ｕ2、Ｕ3 和Ｕ4 代入上式，就可消除ＵN、ＵRL、ＵO、ＵT 等附加电压引入的误差。实验仪器说明
1．样品制备
在霍尔系数的测量中样品的制备是一个重要环节，样品电极位置的对称性、电极接触电阻的大小以及对称性等都直接影响到测量结果。此外，为了避免两电流电极的少数载流子注入和短路作用对测量结果的影响，两个端面要磨毛，并做成长度比宽度及厚度大得的矩形样品。实验中把一定厚度的硅、锗单晶片或外延硅薄层（外延层和衬底的掺杂浓度不一样）样品采用切割或腐蚀方法做成如图 6． 1-5 的矩（或桥）形样品，在 1、2、3、4、5、6 电极处用蒸发、光刻、合金化等平面工艺技术制成欧姆接触电极。对于硅、锗半导体电极金属材料可用铝、金铟合金（对Ｐ-Ｓｉ）、金锑合金（对ｎ-Ｓｉ）、镍等。也有更为简单的四头样品，即纵向有 5、6 电极，横向只有位于中部的 1、3 电极。也可购买商品化的四头样品有锗、硅、砷化镓的样品。
2．实验仪器
实验仪器包括电磁铁、变温设备、测量线路、特斯拉计、可自动换向恒流电源、计算机数据采集系统及软件等。本实验中磁场可采用电磁铁或永久磁场。为避免磁阻效应对霍尔测量的影响，必须选用弱磁场，弱20可换向恒流源 I数字电压表
测量线路见图 6，流过样品的电流由恒流源提供，实验中选用 1mA，电流过大会使样品发热，电流过小则检测信号太弱。霍尔电压 U12，测样品电导率的压降 U34 都利用数据采集仪在计算机上显示。样品电流的换向和磁场换向由计算机控制自动完成或采用手动操作。变温设备可使样品温度由 77K 到 420K 范围之间连续变化。把样品架放入紫铜套内，外面包上绝缘材料，再绕以加热用的电阻丝，或
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在铜套外加热。
三、实验仪器设备和材料清单
电磁铁、变温设备、测量线路、特斯拉计、可自动换向恒流电源、计算机数据采集系统及软件等。
样品尺寸:锗材料（N 型）
长 l＝6mm，宽 a=4mm，厚 b=0.6mm。
四、实验内容
1． 测量室温下锗样品的霍尔系数和电导率 首先熟悉样品架、磁场、测量线路，仪器和软件。把样品（商品化四头样品）置于电磁铁两磁极间的中心，样品与磁场方向垂直，B 固定为 0.2T。样品电流定为 1mA（3、4 两电极间）。测 1、2 电极间的电压 U12，改变磁场和电场方向，共测四次；求 U34 的平均值得到霍尔电压 UH。测 U12，不加磁场，电流换向后再测一次，取两次的平均值，得平均值得Ｕσ。
2．变温霍尔系数及电导率的测量
把样品 1 连同样品架放入装有液氮的杜瓦瓶内， 冷到 77Ｋ后将样品架放入磁场中固定，由计算机控制自动测量随样品自动升温的霍尔系数，并测量高温霍尔系数。测完后再放入液氮中降温，动态测量电导率随温度的变化。
3． 数据处理
（1） 判断样品的导电类型。
（2） 计算室温下的霍尔系数及电导率，并计算样品的载流子浓度，霍尔
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迁移率。
（3） 由变温测量的数据，作出以下几条随温度变化的曲线：
定性说明之。由曲线求出
禁带宽度Ｅg。
五、操作步骤
1．打开实验仪器及电脑程序，单击“数据采集” 2．将样品放入机座，对好槽口固定。 3． 将测量方式拨至“稳态”，样品电流换向方式拨至“手动”，磁场测量和控制仪换向转换开关拨至
“手动”，调节电流至磁场为设定值（200mT）（用磁场测量探头测量）
4．测量选择拨至“RH”测得分别正向磁场+H，样品正向电流+I 时霍尔电压 V1， +H， -I 时 V2， -H，
-I 时 U3，-H，+I 时 U4。
5．将电磁铁电流调到零，测量选择拨至“δ”测得+I 时 V5，-I 时 V6 值； 6．将样品架拿出放入液氮中（装有液氮的保温杯或杜瓦瓶）降温； 7．测量选择拨至“RH”，样品电流换至“自动”，测量方式换至“动态”，磁场控制换至“自动”并调
节电流至磁场设定值（200mT）（如无电流可安“复位”按钮后调节）温度显示为 77K 时，将样品架放
回电磁铁中，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，随着样品自然升温，可测得如图 7 四
条曲线。当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮，并继续调大，升温至 420K 时，保存数
据；
8．将调节温度设定调至最小（逆时针）将样品再放入液氮中降温； 9． 测量选择拨至“δ”，，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，当温度降至 77K 时拿出，随着样品自然升温，可测得如图二条曲线 （图 8） 。当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮， 并继续调大，升温至 420K 时，保存数据。将调节温度设定调至最小（逆时针） ； 10．打开保存的霍尔数据，单击霍尔曲线可得霍尔系数随温度变化的曲线； （图 9） 11．打开保存的电导率数据，打击电导曲线可得电导率随温度变化的曲线； （图 10）
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摘要：本实验我们研究了样品（锑化铟）的霍尔系数随温度的变化情况。实验中，我们利用液氮沸腾吸热原理和反馈加热的方法来控制样品的温度。通过测量不同温度下的霍尔电压来计算出变温情况下的霍尔系数，画出温度80-300k范围内样品的率等特征。
和RHT曲线。并通过曲线来研究禁带宽度、载流子浓度、迁移
五、数据记录
见附录
六、数据处理
作出以下几条随温度变化的曲线：
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七、思考题
1. 以 P 型半导体为例，讨论确定霍尔电场方向的过程； 答;用左手定则判定。
2. 霍尔系数测量中，有哪些副效应？其形成机制是什么？如何消除？ 答：（1）爱廷豪森（Ettinghausen）效应; 形成机制由于载流子速度分布的统计性，大于和小于平均速度的载流子在洛仑兹力和霍尔电场力的作用下，沿 y 轴的相反两侧偏转，其动能将转化为热能，使两侧产生温差。（2）能斯脱（Nernst）效应; 形成机制由于 x 方向通以电流，两端电极与样品的接触电阻不同而产生不同的焦耳热，致使 x 方向两端温度不同 （3）里纪-勒杜克（Righi-Ledue）效应; 形成机制 载流子将倾向于由热端扩散到冷端，与爱廷豪森效应相仿，在 y 方向产生温差，这温差将产生温差电势ＵRL。
要消除上述诸效应带来的误差，应改变Ｉ和Ｂ的方向，使ＵN、 ＵRL、Ｕ0 和ＵT 从计算结果中消除，然而ＵE 却因与Ｉ、Ｂ方向同步变化而无法消除，但ＵE 引起的误差很小，可以忽略。
3. 从霍尔系数中可以求出哪些参数？给出其推导过程。
答:求出载流子浓度和霍尔迁移率。
。
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