傅里叶变换的性质

设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α为实数， 则有如下性质：

一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω)

2

二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω) 证明：

将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，

或：

，

即：F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3：已知

，

再令

==> 三、尺度变换：

←→2πG(-ω)

(α≠0的实数)

可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性：

(此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移)：

P.69-70例3-4请大家浏览。 五、频移性：

(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理：

欧拉公式 ?

例如门信号的调制：

显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积：

f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)

证明：

时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：

时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Yf(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积： f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]

八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论:

条件：

例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性：

证：

故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。

十、频域微分性：

例如：

十一、频域积分性：

f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。 十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数，则 能量

表3-2傅里叶变换的基本性质

下面再举几个例子说明性质的综合运用。 例1．求图示两信号的频谱函数。

例2．用时域卷积性质求书上P.75-76例3-8所示信号τ=1的频谱函数。 解：方法一 ——用时域积分性质，请自学书上内容； 方法二——用时域卷积性质：

注意，此题不可以用时域微分性质，∵不满足

的条件。