2024届江苏苏州部分高中高三4月适应性检测(高考指导卷)数学试题+答案

数学

2024．04

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．1．已知AB={1,2,3}，AB={1}，则满足条件的集合A的个数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．7

2．记i是虚数单位，复数z满足z=3+4i，则|z|=（ ） 4−3iC．5 D．1

A．2 3．对于T(n)=B．5 5(2n2+2n+1单位时间（表示代码中一条语句执行一次的耗时）的算法A来说，由于分析

)的是代码执行总时间T(n)和代码执行次数n之间的关系，可不考虑单位时间．此外，若用f(n)来抽象表示一个算法的执行总次数，前面提到的算法便可以抽象为f(n)=2n+2n+1，因此我们可以记作

2T(n)=O(f(n))，其中O表示代码的执行总时间T(n)和其执行总次数f(n)成正比．这种表示称为大O记法，其表示算法的时间复杂度．在大O记法中，非最高次项及各项之前的系数及对数的底数可以忽略，即上面所提的算法A的时间复杂度可以表示为On2．对于如下流程所代表的算法，其时间复杂度可以表示为（ ）

()

A．O(logn)

B．O(nlogn)

C．On2

()D．O(1)

4．已知甲乙两组数据的区间分别为[23,27]，[20,26]，则（ ） A．甲组数据中位数为23.5

B．乙组数据中第70百分位数为23

C．两组数据中乙更稳定 D．两组数据中甲更集中

5．下列说法中，正确的是（ ）

ˆ3x+aˆ，若样本点(m,3)与(2,m)的残yA．已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3)一个经验回归方程=11 差相等，则3m+n=0.2，则P(−2≤ζ≤2)=0.4 B．已知随机变量ζ~N0,σ2，若P(ζ>2)=C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240

D．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3

()f(x)2sin(ωx+ϕ),(ω>0,0<ϕ<π)的最小正周期为π，且为偶函数，则f(x)的一个递6．已知函数=减区间为（ ） A．−ππ, 44B．π3π, 44C．−π,0 2D．0,

π

2

7．已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当00；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)=A．f(0)=1

f(a)+f(b)．则（ ）

1−f(a)f(b)B．f(x1)>f(x2)

D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增

C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减

8．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式

′=EB+EB．以点B为坐标原点建立坐标系，若曲线T是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线EM组成的，等腰梯形A1B1C1D1的A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线T切于点P、Q、R．则梯形A1B1C1D1的面积最小值为（ ）

A．6

B．22

C．210

D．311 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，AB=2,BC=3,PA=PB=5，二面角P−AB−C为

60°，F为PA中点．则下列说法正确的是（ ）

A．BF=13 4

B．∠PMO是二面角P−AB−C的平面角

C．tan∠PCO=

153

D．PC与BD所成的角的余弦值26 13，gn(x)10．已知函数f(x)=x+1，设g1(x)=f(x)=f(gn−1(x))n>1,n∈N*．且关于x的函数

()y=x+∑gi(x)n∈N*．则（ ）

2i=1n())nx+1 =A．gn(x)=x+n或gn(xn2+2nnB．=+x+ y42C．当n≤2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n=0 D．当n>2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n=4

2x2y232，抛物线x=4y的焦点F是椭圆E的一个顶11．设椭圆E:2+2=1(a>b>0)的离心率等于ab2点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线AP、BQ的斜率分别为

k1,k2，且k2=2k1．则（ ）

A．AP的斜率可能不存在，且不为0

B．P点纵坐标为

4k 24k+223C．直线AP的斜率k1≠21 8D．直线PQ过定点,0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

tanBAB⋅BCBC⋅CACA⋅AB=___________． 12．在△ABC中，若==，则

tanA+tanC3211”互为充要条件，则“13．已知“a>0,b>0”与“a+b=之和为___________．

14．已知随机事件A，B满足P(A)=14a118+”和“++2”的最小值2aba+bab113，P(B)=，P(AB)=，则PBA=___________． 344()四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

已知函数f(x)2sin2x+3sinxcosx+cos2x+=（1）若x∈R，求函数f(x)的单调递减区间；

π+a． 4（2）当x∈0,16．（15分）

π时函数f(x)的最小值为2，求实数a的值． 2在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1是AC1和B1C1的公垂线段，A1B与平面ABC成60°角，AB=22，

==23． AAC1A

（1）求证：AB⊥平面A1BC； （2）求A1到平面ABC的距离； （3）求二面角A1−AC−B的大小． 17．（15分）

lnx+已知函数f(x)=lnx−ax+a(a∈R)，g(x)=（1）当m=1时，求函数y=g(x)的最小值；

2m(m∈R)． x（2）是否存在0（3）当a>12时，函数f(x)有两个零点x1,x2，是否存在x1+x2−1>a+的关系？若存在，请证明；

a2若不存在，请写出正确的关系． 18．（17分）

已知点A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)和动点P(x,y)满足y是PA⋅PB，PA⋅PC的等差中项．

2（1）求P点的轨迹方程；

31（2）设P点的轨迹为曲线C1按向量a=−,平移后得到曲线C2，曲线C2上不同的两点M，N的连

416线交y轴于点Q(0,b)，如果∠MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围；

（3）在（2）的条件下，如果b=2时，曲线C2在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上． 19．（17分）

点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．

过曲线C:y=x上的点P1(x1,y1)作曲线C的切线l1与曲线C交于P2(x2,y2)，过点P2作曲线C的切线l23与曲线C交于点P1(x1,y1)，P3(x3,y3)，…，3(x3,y3)，依此类推，可得到点列：P2(x2,y2)，PPn(xn,yn)，…，已知x1=1．

（1）求数列{xn}、{yn}的通项公式；

（2）记点Pn到直线ln+1（即直线Pn+1Pn+2）的距离为dn， （I）求证：

1114+++>； d1d2dn9（II）求证：

11181+++>1−n，若n值(n>0,n∈N*)与（I）相同，则求此时d1d2dn9211181+++>1−n的最小值． d1d2dn92苏州市2024届高三年级高考指导卷（部分高中4月联考）

数学参

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案

1 C

2 D

3 A

4 D

5 D

6 D

7 D

8 B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．

题号 答案

9 BD

10 BD

11 CD

注意：选择题答案设置不规律，目的是全面考察学生数学能力．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

15．（13分）

π1+cos2x+32解：（1）f(x)=+a， 1−cos2x+sin2x+22=sin2x−cos2x+3+a 2π32sin2x−++a

422kπ+π2≤2x−π373<2kπ+π，kπ+π≤x≤kπ+π，

884237∴减区间为：kπ+π,kπ+πk∈Z．

88（2）0≤x≤π2，0≤2x≤π，−π4≤2x−π32π≤π，∴−≤sin2x−≤1， 4424当sin2x−π32f(x)时，有最小值为−++a， 1=−242由已知a+13=2，∴a=．

2216．（15分）

解：（1）三棱柱ABC−A1B1C1中A1B1是AC1与B1C1的公垂线段，

∴AB⊥BC，AB⊥AC1．又AC1A1B=A1，∴AB⊥平面A1BC．

（2）AB⊂平面ABC，AB⊥平面A1BC

⊥BC垂足为O，则AO⊥平面ABC， ∴过平面ABC⊥平面A1BC作AO11∠A1BC为A1B与平面ABC所成角，即∠A1BC=60°，

在Rt△A1AB中，A1B=12−8=2，

=2，O为BC中点AOBC=2，∴AC=3， 11即A1到平面ABC的距离为3．

（3）由O引垂线OH⊥AC垂足为H，连接A1H由三垂线定理可证AC⊥A1H，

∴∠A1HO为二面角A1−AC−B平面角，

在△ABC中解得OH=6AO321，在△OA1H中解得tan∠AOH， ==13OH232． 2∴二面角A1−AC−B大小为arctan注意：若有其他正确解答，可按步骤给分． 17．（15分）

x)lnx+解：（1）当m=1时，g(=1x−1，g′(x)=2， xx=g=(1)1． 故x=1是极小值点，g(x)min（2）lnx1+112112mmmxx+lnx3+=2lnx2+⇒ln123+m+−=0⇒m+−=0， x1x3x2x2x1x3x2x1x3x2①若m等于0，存在； ②若m不等于0，则1122+−=0⇒2x1x3=x2(x1+x3)⇒2x2=x2(x1+x3)⇒2x2=x1+x3， xxx32122代入x2=x1x3得：(x1−x3)=0与题意0（3）f(x)有两个零点，不妨设014(x−1)22(x−1)−=≥0，所以F(x)在R上单x)lnx−，则F(1)=0，F′(x)=设函数F(=x+1x(x+1)2x(x+1)2调递增，

故当x∈(0,1)时，F(x)<0，即lnx<2(x−1)2(x−1)，当x∈(1,+∞)时，F(x)>0，即lnx>， x+1x+1所以ax1−a<所以ax1−a222(x1−1)2(x2−1)2，ax2−a>，

x1+1x2+1112−a2()(x+1)−2(x−1)<0<(ax)(x2+1)−2(x2−1)，

2整理可得：ax12−x2+a−a2−2()()(x−x)<0，

12即a(x1+x2)>a2−a+2，所以x1+x2>a+18．（17分）

2−1． a解：（1）由题意可得PA=(1−x,−y)，PB=(−x,1−y)，PC=(1−x,1−y)， 则PA⋅PB(1−x)⋅(−x)+(−y)⋅(1−y)x2+y2−x−y，PA⋅PC=(1−x)⋅(1−x)+(−y)⋅(1−y)=x2+y2−2x−y+1，

又y是PA⋅PB，PA⋅PC的等差中项，∴(x2+y2−x−y)+(x2+y2−2x−y+1)=2y2，

2整理得点P(x,y)的轨迹方程为y=x−231x+． 22（2）由（1）知C1:y=x−231x+， 2233′′=−=+xxxx3144，

即又a=−,，∴平移公式为11416y′=y′−=y+y16161代入曲线C1的方程得到曲线C2的方程为：y′−=162′33′312x+−x++，即y′=x′．

42422曲线C2的方程为y=x．如图由题意可设M，N所在的直线方程为=ykx+b，

y=x22由消去y得x−kx−b=0，

=ykx+b令M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)，则kx1+x2=， −bx1−x2=y1=x12 点M，N在抛物线上：∴2=yx222，ON(=x2,y2)∴OM=(x1,y1=)(x1,x1)=(x,x)，

2222x1x2+x12x2OM⋅ON>0 >0，即又∠MON为锐角，∴cos=∠MON|OM|⋅|ON||OM|⋅|ON|2∴x1x2+x12x2>0，又x1x2=−b，∴−b+(−b)2>0，得b<0或b>1．

（3）当b=2时，由（2）可得kx1+x2=2对y=x求导可得y′=2x

−b=−2x1−x2=∴抛物线C2在点∴M=(x1,x12)，N(x2,x22)处的切线的斜率分别为kM=2x1，

22kN=2x2，∴在点M，N处的切线方程分别为lM:y−x=2x1(x−x1)，lN:y−x=2x2(x−x2)， 21由y−x=212x1(x−x1)y−x=2(x1≠x2)，解得交点R的坐标(x,y)．22x2(x−x 2)x1+x2k满足x=2即x=2，∴R点在定直线y=−2上．

y=x1⋅x2y=−219．（17分）

解：（1）曲线C上点P2n(xn,yn)处的切线ln的斜率为=kny=′x=xn3xn， 故得到的方程为y−y2n3xn⋅(x−xn)，

联立方程y=x3y−yx223n3n⋅(x−xn)消去y得：x3−3x⋅x+2xnn=0 yn=x3n化简得：(x−x2n)⋅(x+2xn)=0，所以：x=xn或x=−2xn．

由x=xn得到点Pn的坐标(xn,yn)，由x=−2xn就得到点Pn+1的坐标(−2xn,(−2xn)3)，

所以：x2x−2)n−1n+1=−n，故数列{xn}为首项为1，公比为−2的等比数列所以：xn(，（2）（I）由（1）知：Pn+1((−2)n,(−8)n)，Pn+2((−2)n+1,(−8)n+1)，

所以直线l=8)n(−8)n−(−8)n+1n的方程为：y−(−(−2)n−(−2)n+1(x−(−2)n) 化简得：3⋅4nx−y−2⋅(−8)n=0，d3⋅4n⋅(−2)n−1−(−8)n−1−2⋅(−8)n⋅8n−1n−3n=(2=27⋅8n−1273⋅4n)+(−1)29⋅4n+1<3⋅22n=9.2， n−3所以111d>⋅n92．

∴1118181d+++>91−42n≥91−2=9． 1d2dny(−8)n+1n．

−2−1n−31111111（II）+++>+++

d1d2dn9222−2n111−121281=⋅=− n19921−2与（I）中相同，当n=1时，此时最小值为

4． 9