_席位分配问题的数学模型_的一个注解

Sep.,2008　ICSINPRACTICEANDTHEORY“席位分配问题的数学模型”的一个注解

杨学伟1,　刘红卫2

(1.南开大学数学科学学院,天津　300071)

(2.西安电子科技大学应用数学系,西安　710071)

(2002年7月,第32卷,第四期)中的摘要:　对《数学的实践与认识》《席位分配问题的数学模型》一文作了

注解,指出了一个错误之处.关键词:　席位;分配;反例

文献[1]中提到了席位分配问题:设某个部门由m个单位组成,其中Ai的人数为pi且整个部门的总人数为p.如果该部门需要召开一个由n个代表参加的代表大会,那么会议的

组织者就必须把n个席位分配到m个单位中去.设每个单位分配到的席位数为ni(1ΦiΦm),则非负整数向量X=(n1,n2,…,nm)满足n1+n2+…+nm,此时,称X为席位分配方

npi均为整数,则最合理的分配方案为ni=qi,但是在实p

际中,所有qi是整数的情况非常少见,在大多数情下,{qi󰃜1ΦiΦm}中一定存在非整数.

案或简称为方案.当然,如果qi=令:

x

表示不大于x的最大整数,x表示不小于x的最小整数.

文献[1]对席位分配问题作了深入地研究,提到了席位分配问题的4个模型.其中模型2如下:

m

minD2(X)=

∑∑

i=1b∈Bi

m

pi-ni

i

pn

2

m

=

∑

i=1

pi-ni

2

pn

2

m

原文误为∑

i=1

pi-ni

2

p2n

2

s.t.

∑n

i=1

=n,　niΕ1为自然数,　1ΦiΦm

　　文献[1]证明了模型2与Huntington方法(Q值分配法)等价,其中的定理2指出:设n为自然数(nΕm),则由模型2得到的席位分配方案满足:

1)满足除公理4以外的所有公理;

2)可能违背公理4,但是不存在1Φt,sΦm使得nt公理(接近份额性)　没有从一个单位到另一个单位的名额转让使得这两个单位都接近于它们应得的份额,即对任意1Φi≠jΦm,不等式:󰃜ni+1-npi󰃗p󰃜<󰃜ni-npi󰃗p󰃜和󰃜nj-1-npj󰃗p󰃜<󰃜nj-npj󰃗p󰃜不能同时成立.

我们通过研究发现,模型2得到的席位分配方案是不满足公理5的,反例如下:

取(p=19,n=4,p1=12,p2=7),由模型2得到的结果为n1=n2=2.对此例显然有:

收稿日期:2005205214

17期杨学伟,等:“席位分配问题的数学模型”的一个注解99

0.474=󰃜n1+1-np1󰃗p󰃜<󰃜n1-np1󰃗p󰃜=0.526

和

0.474=󰃜n2-1-np2󰃗p󰃜<󰃜n2-np2󰃗p󰃜=0.526.

　　这说明,模型2得到的席位分配方案违背公理5.事实上,我们可以构造出大量的反例来说明模型2违背公理5.例如:

(p=38,n=8,p1=p2=12,p3=p4=7),(p=94,n=6,p1=55,p2=39)等.

可见,文献[1]中定理2的结论是错误的.参考文献:

[1]　张建勋.席位分配问题的数学模型[J].数学的实践与认识,2002,32(4):5412548.[2]　刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模[M].北京:北京师范大学出版社,1997.

ANoteof″TheMathematicsModel

oftheDistributingSeats″

YANGXue2wei,　LIUHong2wei

1

2

(1.SchoolofMathematicalSciences,NankaiUniversity,Tianjin300071,China)(2.DepartmentofMathematics,XidianUniversity,Xi′an710071,China)

Abstract:　Wemakeanoteof《TheMathematicsModeloftheDistributingSeats》inthejour2(Vol.32,No.4,July,2002),wepointnal《MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY》outoneerrorofthearticle.

Keywords:　seat;distribute;counterexample