概率论与数理统计试题库[1]

一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( )

⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( ) ⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差S2n=

1nn(Xi1i2X)是母体方差DX的无偏估计 （ ）

二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅A发生，B、C都不发生；

（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。

三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为

X2152116015111531 13012

P求YX的分布列.

五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)求X的数学期望和方差.

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14X30). x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设X1,X2,,Xn是来自几何分布 P(Xk)p(1p)k1e|x| ，＜ x＜，

,k1,2,,0p， 1的样本，试求未知参数p的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题（1）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC

（2）ABACBC或ABCABCABCABC；

（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；

（4）ABCABCABC；

（5）ABACBC或ABCABCABCABC 每小题4分；

三 解 设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,axy，则

0xa,0ya,0xy，a不等式构成平面域S.------------------------------------5分

a2a2a2 a A发生0x,0y,xya

S a /2 不等式确定S的子域A，----------------------------------------10分

所以

0 A a /2 a P(A)

四 解 Y的分布列为

Y014

P17191 1 .

A的面积S的面积14 -----------------------------------------15分

530530 Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

五 解 EX1|x|xedx0，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 22 DXEX0x2120ex|dxx|0xedx

2x x2ex2[xe2xedx

edx]2.----------------------------------------10分

xx00

六 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分

30201420P(14X30)()()---------------------------10分

1616 (2.5)(1 .5 =0.994+0.933--1

7 0.92.--------------------------------------------------15分

nn七 解 L(x1,x,np;)pi1(p1xi1)pnxinp(1i1)----------5分

n lnLnlnp(i1 Xn)ln(1pin),n

dlnLdpnpXi1i1p0,--------------------------------10分

解似然方程

n

npnXi1i1p，

得p的极大似然估计

1 。--------------------------------------------------------------------15分 pX

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)P(B)0.5，则A,B至少有一个不发

生的概率为__________.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)4P(X2)，则P(X3)______. 3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量YX在区间(0,4)内的概率

密度为fY(y)_________.

4． 设随机变量X,Y相互，且均服从参数为的指数分布，P(X1)e_________，P{min(X,Y)1}=_________.

22，则

5． 设总体X的概率密度为

(1)x, f(x)0,0x1,其它 1.

X1,X2,,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

解：1．P(ABAB)0.3

即 0.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)0.52P(AB) 所以 P(AB)0.1

P(AB)P(AB)1P(AB)0.9. 2．P(X1)P(X0)P(X1)e 由 P(X1)4P(X2) 知 e16e,2P(X2)22e

e2e

2 即 210 解得 1，故

P(X3)e1.

3．设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则 FY(y)P(Yy)P(X2y)P(yX)yXF()XyF( )y 因为X~U(0,2)，所以FX(y)0，即FY(y)FX(y) 故

10y4,fY(y)FY(y)1y),2yfX(4y

0,其它. 另解 在(0,2)上函数yx2严格单调，反函数为h(y)y 所以

10y4,fY(y)fX(y)1,4y

2y0,其它. 4．P(X1)1P(X1)ee2，故 2 P{minX(Y,)1}1P{mXinY(,1P(X1)P(Y 1e4.

n 5．似然函数为 L(x1,,xn;)(1)x1)n(xi(1,,xn)

i1n lnLnln(1)ixl ni1

dlnLdnn1lnxi0

i1 解似然方程得的极大似然估计为

11n1. nlnxii1

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)1，则AC与BC也. （B）若P(C)1，则AC与B也. （C）若P(C)0，则AC与B也.

（D）若CB，则A与C也. （ 2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为(x)，则P(|X|2)的值为 （A）2[1(2)]. （B）2(2)1.

（C）2(2). （D）12(2). （ 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

（A）X与Y. （B）D(XY)DXDY.

（C）D(XY)DXDY. （D）D(XY)DXDY. （ 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2

P111169183

））31) ） ,) 若X,Y，则,的值为 （A） （C） 291,,191. （A） （D）195,,29.

1186618. （ ）

5．设总体X的数学期望为,X1,X2,,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是

（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量. （ ）

解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

事实上由图 可见A与C不.

S A B

C

2．X~N(0,1)所以P(|X|2)1P(|X|2)1P(2X2) 1(2)(2)1[2(2) 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若X,Y则有

Y P(X2,Y2)P(X2P)Y( 2123X 1]  应选（A）. 2[1121111111 18 3 (6 913121)()( )93929 3 3 129118， 19

故应选（A）.

5．EX1，所以X1是的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B‘任取一产品确是合格品’

则（1） P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)

50.10.02 0 0.90.9P(AB)0.90.95 （2） P(B|A)0.9977.

P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

件是相互的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X的概率分布为 P(Xk)C3k()k()3k5523k0,1,2,3.

X027125154125x0,2361253 即

P 8125 X的分布函数为

0,27,12581, F(x)125117,1251,26 EX3,

552318 DX3.

55250x1,1x2, 2x3,x3.五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|x0,y0,xy1} 上服从均

匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度. 解： y （1）(X,Y)的概率密度为 (,y)D2,x 1 f(x,y)

x+y=1 0,其它.D 0 z 1 x fX(x)x+y=z （2）利用公式fZ(z)2, 其中f(x,zx)0,D1 x122x,0fx(y,dy)

,其它0f(x,zx)dx

0x1,0zx1x其它2,0x1,0,其它.xz1.

当 z0或z1时fZ(z)0 z z=x 0z1时 fZ(z)2 故Z的概率密度为

x z0dx2xz02z

fZ(z) Z的分布函数为

z2z,0z0,其它.1,

fZ(z)fZ0,z(ydy)ydy201,z0,0zz10,z0,21z,z01,z1. 1, 或利用分布函数法

0)zD110z1 ,z1.,z0, z1, FZ(z)P(Zz)P(XY2dxd,y0,z1.0 z21,,,z0,2z,() fZ(z)FZz0,0z其它.1,

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相

互，且均服从N(0,22)分布. 求（1）命中环形区域D{(x,y)|1x2y22}的概率；（2）命中点到目标中心距离ZX22Y的数学期望. f(x,y)dxdy

r82 解： y （1）P{X,Y)D}xy822D 0 1 2 x 24D211edxdy18r2201821erdrd

 （2）EZE(XY)1820022er28d(r2282)e81exy82e12；

r2xy14r21822edxdy

re8rdrd20e8rdr

22r2 re

800er8dr2212er8dr2.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(,2)，今抽取容量为16的

样本，测得样本均值x10，样本方差s20.16. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:20.1（显著性水平为0.05）.

（附注）t0.05(16)1.746,t0.05(15)1.753,t0.025(15)2.132, 02.0(516)26.296,02.05(15)24.909.6,0252(1 5)27.488. 解：（1）的置信度为1下的置信区间为 (Xt/2(n1) X10,s0.4n,sn,Xt16,/n(2s1) n)2.13200.t.05,025(15 ) 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）H0: 220.1的拒绝域为22(n1).

2215S0.1151.624，0.05(15)24.996

22 因为 2424.9960.05(15)，所以接受H0.

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设事件A与B相互，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且

P(A)P(B)0.，5P(C)0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的

概率为___________.

（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2

个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.

2x,f(x)（3） 设随机变量X的概率密度为0,0x1,其它, 现对X进行四次重复观

察，用Y表示观察值不大于0.5的次数，则EY2___________. （4） 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为

(X,Y)P(1,0)0.4(1,1)0.2a2(2,0)b 若EXY0.8，则Cov(X,Y)____________.

（5） 设X1,X2,,X17是总体N(,4)的样本，S是样本方差，若P(Sa)0.01，则

a____________.

2222 （注：0.01(17)33.4, 0.005(17)35.7, 0.01(16)32.0, 0.005(16)34.2）

2 解：（1）P(ABCABC)P(ABC)P(ABC)

因为 A与C不相容，B与C不相容，所以AC,BC，故ABCC 同理 ABCA. B P(ABCAB)C(P)C(PA)B0.20.50.5. 0.45 （2）设A‘四个球是同一颜色的’， B1‘四个球都是白球’，B2‘四个球都是黑球’ 则 AB1B2. 所求概率为 P(BP(AB2)P(B2)2|A)P(A)P(B1)P(B

2)22 P(BBC2C2231)C2C2C332)5C23C25100,P(5C25100

所以 P(B12|A)2.

（3）Y~B(4,p), 1 其中 pP(X0.5)0.522102xdx0x， 4 EY4141,DY414343，4 EY2DY(EY)214154.

（4）(X,Y)的分布为

X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 这是因为 ab0.4，由EXY0.8 得 0.22b0.8 a0.1,b0 .3 EX0.620.4，

1EY0.5 故 covX(Y,)EXYEXEY0.80.7.

（5）P(S2a)P{16S244a}0.01

即 20.0(116)a4，亦即 4a32 a8.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

（1）设A、B、C为三个事件，P(AB)0且P(C|AB)1，则有 （A）P(C)P(A)P(B)1. （B）P(C)P(AB).

（C）P(C)P(A)P(B)1. （D）P(C)P(AB). （2）设随机变量X的概率密度为

f(x)1(x2)242e,x

且YaXb~N(0,1)，则在下列各组数中应取

） （ （A）a1/2,b1. （B）a （C）a1/2,b1. （D）aXP00.410.62/2,b2.

2/2,b2. （ ）

（3）设随机变量X与Y相互，其概率分布分别为 则有

（A）P(XY)0. （B）P(XY)0.5.

（C）P(XY)0.52. （D）P(XY)1. （ ） （4）对任意随机变量X，若EX存在，则E[E(EX)]等于

（A）0. （B）X. （C）EX. （D）(EX)3. （ ） （5）设x1,x2,,xn为正态总体N(,4)的一个样本，x表示样本均值，则的 置信度为1的置信区间为

44 （A）(xu/2,xu/2).

nn22 （B）(xu1/2,xu/2).

nn22 （C）(xu,xu).

nn22 （D）(xu/2,xu/2). （ ）

nn 解 （1）由P(C|AB)1知P(ABC)P(AB)，故P(C)P(AB) P(C)P(AB) 应选C. （2）f(x)12e(x2)42 YP00.410.6 P(A)P(B)P(A2B)P(A) BP(122[x(2)]2(2)2e 即 X~N(2, 故当 a12,22 )b222 时 YaXb~N(0,1)

应选B.

（3）P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)

4 0.40.0.60.6 0 应选C.

（4）E[E(EX)]EX 应选C.

（5）因为方差已知，所以的置信区间为 (Xu/ 应选D.

2n,Xu/2n )三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设A‘从箱中任取2件都是一等品’ Bi‘丢失i等号’ i1,2,. 3 则 P(A)P(1B)P(A|1B)22P2(B)P(A|B)223P(B)P( 3A|B)1C3C51C2 42252；

2C910C95C99 所求概率为P(B1|A)

P(B1)P(A|B1)P(A)38.

四、（10分）设随机变量X的概率密度为

ax1,f(x)0,200x2,其它.a2

求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1X3). 解：（1）1 ∴ a12f(x)dx(ax1)dx(xx)02a2

22

（2）X的分布函数为

x F(x)0fu(du)1,x0x0,u(1du)2,x0x2. 2,,0,2x, x41,x0,0x2 ,x2. （3）P(1x3)31f(x)dx21(1x2)dx14.

五、（12分）设(X,Y)的概率密度为

ex,f(x,y)0,0yx,其它.

求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2）P(XY1)； （3）ZXY的概率密度fZ(z). 解：（1）fX(x)y ,0f(x,y)dyxxedy,0x00,xx0.xe,x0,x0.

y=x x fY(y)0,f(x,y)dxxedx,yy0

y0.0, ye,1y0, y0. （2）P(XY1)xy1f(x,y)dxdy201yyxedxdy

121e.

1  （3）fZ(z)20(eyee)dy12ey1f(x,zx)dx

f(x,zxx0,xz2x,e, x)0,其它. z z =2 x 当 z0 时 fZ(z)0 z=x z0 时 fZ(z) 所以

0, fZ(z)zx z20 ee,z0,zz2edxexz2ez

z0.

六、（10分）（1）设X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X与Y，求E|XY|； （2）设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y，求E|XY|.

解：y （1）E|XY|1 x0f(x,y)|xy|dxdy

1101(xy)dxdy0x(y)xd xdy ；

x 0 1 3 （2）因X,Y相互，所以ZXY~N(0,2)

Z2XY221 )~N(0,12 EXY，所以E|XY|2. 七、（10分）设总体的概率密度为

x1,0x1, (0) f(x;)其它.0, 试用来自总体的样本x1,x2,,xn，求未知参数的矩估计和极大似然估计.

解：先求矩估计 1EX 11110xdx1

X1X 故的矩估计为

再求极大似然估计

n L(x1,,xn;)xi1ni11i(x1xn)xl nn1

lnLnln(

dlnLdnn1)0

ilnxi1i 所以的极大似然估计为 1 . n1lnxini1《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8，则A,B至少发生一个的概率为_________.

（2） 设X服从泊松分布，若EX26，则P(X1)___________.

1(x1),（3） 设随机变量X的概率密度函数为f(x)40,11000x2,其他. 今对X进行8次

观测，以Y表示观测值大于1的观测次数，则DY___________.

（4） 元件的寿命服从参数为

的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够

正常工作100小时以上的概率为_____________.

（5） 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(,)，今随机地测量16个零

16162件，得Xi8，Xi234. 在置信度0.95下，的置信区间为___________.

i1i1 (t0.05(15)1.753t10,.025(15) 2.1315)0.5P(AB) 解：（1）0.8P(B|A) P(AB)P(BA)1P(A)P(B)P(AB) 得 P(AB)0.2

. 0.2P(A)P(B)1.1 （2）X~P(),6EX222DX(EX) 故 2.

P(X1)1P(X1)1PX(2 1e22e213e.

210)PX( 58 （3）Y~B(8,p)，其中pP(X1) DY8583815814(x1)dx

.

),1i1,2,3,4,5 （4）设第i件元件的寿命为Xi，则Xi~E(. 系统的寿命为Y，所

100求概率为

P(Y100)P(X1100X2,100,X5, 100) [P(X005)][1e115]e511

. （5）的置信度1下的置信区间为 (XtS/2(n1)nX,t/n(S21) n) X0.5,S21162215[Xi16X]2,S1.4142,n16

i1 t0.02(515)2.13 15.所以的置信区间为（0.2535,1.2535）.

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）

（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）(AB)BAB.

（B）(AB)AB.

（C）(AB)ABABAB.

（D）(AB)C(AC)(BC). （ ）

（2）设X1,X2是随机变量，其分布函数分别为F1(x),F2(x)，F(x)aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取 （A）a32225,b5. （B）a3,b3. （C）a132,b2. （D）a12,b32.

（ ）

（3）设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y35X的分布函数为FY(y) （A）FX(5y3). （B）5FX(y)3. （C）F3X(y5). （D）1FyX(35). （ ）

为使

Xi11011（4）设随机变量X1,X2的概率分布为 且满足P(X1X24240)1，则X1,X2的相关系数为X14P. 1 i1,2

1X2 （A）0. （B）. （C）

12. （D）1. （ ）

14)且X,Y相互，根据切比

（5）设随机变量X~U[0,6],Y~B(12, 雪夫不等式有P(X3YX3) （A）0.25. （B）512. （C）0.75. （D）512. （ ）

解：（1）（A）：成立，（B）：(AB)ABAB 应选（B） （2）F()1ab. 应选（C） （3）FY(y)P(Yy)P(35Xy)P(X(3y)/5) 1P(3y5X)1FX(3y5) 应选（D）

（4）(X1,X2)的分布为

X2 X1 –1 0 1 –1 0 140 141 0 14 141214 0 14 0 14 0 14 12 EX10,EX0,EX21 于是 X1X，所以0cov(X1,X2)0， 2X20. 应选（A）

（5）P(X3YX3)P(|YX|3) E(YX)EY 由切比雪夫不等式

215 P(|YX|3)14 应选（D）

912 D(YX)DYDX3EX094214

三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互的，

求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。

解：设B‘一天中恰有k个顾客购买A种商品’ k0,1, Cn‘一天中有n个顾客进入超市’ nk,k1,

则 P(B)   

nkP(CB)nnkP(nC)P(Bn| Cnknknn!keCnp(1p)

kk(p)k!ek(nk)!(1nknkp)nk

(p)k!ep k0,1,.

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参

数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列. （2）

EY和DY.

((2)0.977,(1)0 .88472 解：（1）Y~B(100,p)，其中pP(60X84)( (6072)2(12) 1967224()1 ()

3PX( 由 0.0296)124) 得 (24)0.977，即

2，故

121

所以 p2(1)10.6826.

kk100k 故Y的分布列为P(Yk)C100(0.6826)(0.3174)

（2）EY1000.682668.26，DY68.260.317421.6657.

2五、（10分）设(X,Y)在由直线x1,xe,y0及曲线y1x所围成的区域

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否. （2）求P(XY2). 解：区域D的面积 SDy (X,Y)的概率密度为

e121xdxlnx12

e2y=1/x D 0 1 e2 x 1, f(x,y)20,(x,y)D其它.2

, （1）fX(x)11xdy,f(x,y)dy020,1xe,其它.1xe其它.2

1, 2x0,

, fY(y)e112dx,11fx(y,dx)ydx,120,21yee22,y1,

其它1yee22122(e1 2y01),12,y1

,其它 （2）因f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不. （3）P(XY2)1P(XY2)1121112434xy2f(x,y)dxdy

10.7. 5

六、（8分）二维随机变量(X,Y)在以(1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求ZXY的概率密度。

y 1, 解1： (X,Y)的概率密度为f(x,y)0,(x,y)D,其它.

设Z的概率密度为fZ(z)，则

D1 fZ(z)–1 0 x f(zy,y) dyx+y=z 1 f(zy,y)1,0,0y其它1,y21z

z 当 z1或z1时fZ(z)0 y z1z11 当 1z1时fZ(z)2dy

02 y 所以Z的密度为

z1, – 1 fZ(z)20,0 |z|其它.1,

解2：分布函数法，设Z的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)P(Zz)P(XY)zxyz(f,x)y dxdy00,z1(zz1 dxd,y1D11z11,,1)4,2z1,,1z 1,z1. 故Z的密度为

z1, fZ(z)FZz()20,|z|其它.1,

七、（9分）已知分子运动的速度X具有概率密度

x2()4x2e,3f(x)0,x0,x0.0, x1,x2,,xn为X的简单随

机样本

（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。

解：（1）先求矩估计 1EX4x3(x)220(x)3edx

2x2e040xe(x)2dx2 2X

再求极大似然估计

n L(X1,,Xn;)i14xi32n2e(xi)2

n2 3n lnL3nlnln(n2n4(x1xn)e2n2x2ii11

4)ln(x1xn)1n2xi12i

lnLd3n2n2i3xi10

n 得的极大似然估计 2xii123n，

（2）对矩估计

 E2EX22

所以矩估计 2X是的无偏估计.

八、（5分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为a（米）。假设每台机床发生故障的概率均为

1n，且相互，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走

的路程，求EZ.

解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n

X为已经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，则 P(Xi)1n,P(Yj)1n,i,j1,2,,n

P(Xi,Y)jP(X)i(PY1)j2 n Z|ij|a 于是

nn EZ|ii1nj1nj|aP(Xi,Yj)

1n2 i1|ij|aj1

an2ni12i(ij)j1nji1(ji) (n1) a.

3n《概率论与数理统计》试题（5）

一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) ⑷ 样本均值X=

1

nni1Xi是母体均值EX的一致估计 （ ）

⑸ X～N(,12) , Y～N(,22) ，则 X－Y～N(0, 12－22) （ ） 二、 计算（10分）

（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

三、（10分） 设P(A)0,P(B)0，证明A、B互不相容与A、B相互不能同时

成立.

四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均

成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成

绩在60分至84分之间的概率。分布表如下

x 0 1 1.5 2 2.5 3

Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、（15分） 设(X,Y)的概率密度为

(xy),e f(x,y),0x0,Y0,其他.

问X,Y是否？

六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为 k1p0p1,k1,2, P(Xk)(1p)，

求EX与DX

七、（15分）设总体X服从指数分布

(x),e f(x;)0,x,其他.

试利用样本X1,X2,,Xn，求参数的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题（5）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）设A‘他们的生日都不相同’，则 P(A)P3653651rr----------------------------------------------------------5分

（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则 P(B)或

C4C1PCC41CPC12112412422223212411296；

P121244 P(B)1P(B)14196-------------------------------------------10分

三 证 若A、B互不相容，则AB，于是P(AB)0P(A)P(B)0 所以 A、B不相互.-----------------------------------------------------------5分

若A、B相互，则P(AB)P(A)P(B)0，于是AB，

即A、B不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分

3PX(四 解 0.0296)1967224()1-------------------------3()分

 (2424)0.977,122,-------------------------------------71.分

所求概率为

P(60X =2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分

84)8472()60(72)12()12()----------12分

五 解 边际密度为 fX(x)0,fx(y,dy)xyeedy,0x0,x0;0,x0,---5分 xe,x0.0, fY(y)ye,y0,---------------------------------------------------------10分 y0.因为 f(x,y)fXx()fYy(，所以X,Y.-----------------------------------15分

k1六 解1 EX其中 q1p

k(1k1p)k1ppkqk1p(x)k1xqkkpxk1--8分

xq由函数的幂级数展开有



xk0k11x，

所以

11 EXp1p21x(1x)xqxq1. --------------------------------12分 p因为

 EX所以

2k1kpq2k1kpx(x)k1xqxp2(1x)xq2pp2-----16分

DXEX2(EX)22ppn21p2qp2n.------------------------------------20分

七 解 L(X1,,Xn;)nei1(xi)exini1,xi,i1,2,,n.

lnLnXi-----------------------------------------------------------8分

i1

dlnLdn0

x---------------------------15分 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为(1)《概率论与数理统计》试题（6）

一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA （ ） ⑵ 对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ）

⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )

⑷ X~ N（，2

），X1 ，X 2 ，„„Xn是X的样本，则~ N（，2

） （）

⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（ ）

二、（10分）一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？. 三、（15分）在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长

l(la)的针，求针与任一平行线相交的概率.

四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是

相互的，并且概率都是分布函数和数学期望.

五、（15分）设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求X和Y的相关系数；（2）问X,Y是否？ 六、（10分）若随机变量序列X1,X2,,Xn,满足条件

25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、

lim2D(Xinni11n) 0试证明{Xn}服从大数定律.

n(X,,X)是的一七、（10分） 设X1,X2,,Xn是来自总体F(x,)的一个样本，1nnk,Dn2且limklim20 个估计量，若Ennnnnnn是的相合（一致）估计量。 试证

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（0.05）.正态分布表如下

x 0 1.56 1.96 2.33 3.1

Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999

《概率论与数理统计》试题（6）评分标准

一 ⑴ √；⑵ ×；⑶ ×；⑷ ×；⑸ √。

二解 设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’， B‘任取一枚硬币是正品’， 则

所求概率为

P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)1mn2mrr

B，A----------------------------------------------------------5分

ABA

P(B)P(A|B)mmn2rm .------------------10分

n1mn2mn

三 解 设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

a 为针与平行线的夹角，则 a 0xa2,0，不等式确定了平面上

x 的一个区域S.------------------------------------6分

a L 2 A发生xsin，

l 2xsinS 2A 0  不等式确定S的子域A------------------------10分

故 P(A)1a20L2sind2La

-----------------------------------------------------15分

四 解 X~B(3,即

X027125154125x0,0x1,1x2,------------------有所不同-----------------10分 2x3,x3.241506---------------------------------------------------15分 125125525kk3k，分布律为)P(Xk)C3()()2355k0,1,2,3.

2361253

P-----------------------5分 8125X的分布函数为

0,27,12581, F(x)125117,1251,5472 EX125125

五． 解 (X,Y)的密度为

1, f(x,y)r20,xyr,其他.222-------------------------------------------3分

（1）EX22x21xyrr1r22dxdy20r0cos1r2dd

 sin EXY2202r0d 012r321xy21xrdxdy2xyr220sin2dr03d

4r2[cos2020]d 0r 故 X,Y的相关系数0.----------------------------------------------------------9分 （2）关于X的边缘密度为

fX(x)22rx1dy,|x|r,r2x22 rf(x,y)dy0,|x|r,2r2x2,2 r0,|x|r,|x|r.

关于Y的边缘密度的

2r2y2,2 fY(y)r0,|y|r,|y|r.

因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不.------------------------------------15分

六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的0有

D(1nn1 PnnXi1i1niEXni1i12Xi)1n2nD(Xi)i12---------5分

所以对任意的0 1 limPnnnXi1i1nnEXi1in112lim2D(Xi)0

nni1故{Xn}服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的0有

nD P(|nkn-------------------------------------------------------5分 |)2P(n|kn|)于是 0limnn2nlim 0n依概率收敛于，故n是的相合估计。--------------------------------------10分 即 2

八 解 问题是在已知的条件下检验假设H0：0=26查正态分布表，1－=0.975,

2

12=1.96---------------5分

1u1=1.08＜1.96,

应当接受H0，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分