模糊推理的一个新方法

Ξ

.13,No.3Vol

Sep.,1999　

模糊推理的一个新方法王国俊

(陕西师范大学数学研究所,陕西西安　710062)

摘　要:作为模糊控制的理论基础,模糊推理已有20多年的历史,至今持续不衰。但其基本原理与逻辑基础似乎均应重新考虑。本文指出Zadeh的CRI算法中的复合运算是缺乏根据的,提出了完全建立在蕴涵运算基础上的三I算法,从方法与运算结果两个方面都改进了CRI算法。对几种蕴涵算子作了分析与比较,肯定了R0蕴涵算子。在三I算法的基础上提出了支持度理论。并利用R02代数从语义角度把三I算法与支持度理论纳入了多值逻辑框架。在有多条推理规则的情形,对表示聚合与推理次序交换的FATI与FITA方法作了分析。关键词:模糊推理;CRI算法;三I算法;支持度;相似度;模糊逻辑;22(Α2重言式)中图分类号:O159　　　文献标识符:A

模糊推理是模糊控制的理论基础。由于它在诸多工业生产领域、特别是在系列家电产

品开发上的成功应用[1,2],使它在近20多年来模糊系统理论的研究中始终占有重要的地

[3]

位。Zadeh于1973年第一次提出了模糊分离规则(FuzzyModusPonens,简称FMP),并被Mamdani等人所发展[4],形成了如今被广泛使用的CRI(CompositionalRuleofInfer2

[5]

ence)方法,这也就是模糊推理的基本方法。20多年来,以CRI方法为主线的模糊推理不断溶入各种新的思想与方法,如今已形成为模糊系统理论中的一个重要分支。吴望名教授的专著[6]是这方面的阶段性总结。张文修、梁怡教授的专著[7]则从更一般的观点对模糊推理作了论述。

模糊推理作为近似推理的一个分支,以数值计算而不是以符号推演为特征。正因如此,它与经典逻辑有明显的不同。这里不注重基于公理的形式推演,甚至也没有基于赋值的语义运算。这也是模糊推理区别于人工智能方法之特征所在。也许正因如此才出现了

“模糊逻辑的似是而非的成Elkan1993年在美国第11届人工智能年会上引起争议的名为

功”的报告[8]。事实上,与许多有名无实的“模糊逻辑”文献(如[9])相反,早在1979年

[10]

Pavelka就提出了严格意义的模糊逻辑学,只是尚有待于和模糊推理方法相结合。我们

Ξ本文系编辑与出版工作委员会、教育与普及工作委员会联合特约专稿。收稿日期:1999201205

基金项目:国家自然科学基金(19831040)。

2模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　　　　　1999年

也在[11]中提出了旨在将模糊推理纳入逻辑框架的命题演算系统。另一方面,从20世纪80年代初起,我国就有从事人工智能研究的学者致力于模糊逻辑方法在人工智能领域应

用的研究[12]。这些都为将模糊推理方法进一步完善化或纳入于适当的逻辑框架提供了基础。

作为模糊推理基本方法的CRI算法似乎并没有充分运用推理。事实上它只在将A→B的前提转化为模糊关系时使用了一次能体现推理思想的蕴涵算子,接下来就偏离了推理轨道而借助于复合运算给出推理结果。这正是它难于被纳入逻辑框架的原因所在。我们在分析了CRI算法的缺陷的基础上提出了完全基于蕴涵算子的三I算法,提出了一个新的蕴涵算子R01在三I算法的基础上,我们提出了命题间的支持度理论,并利用R02代数从语义角度把模糊推理纳入了多值逻辑框架。对有多条推理规则的情形,我们对聚合与推理的次序对换问题作了分析研究。

1　模糊推理的基本思想

一个系统的输出与预定的标准之间总是有误差的,以e记此误差。这个误差又是随着

α(或许还要e的多阶导数)时间而变化的,以eα记误差变化率。所谓控制就是要根据e与e

α的函数f(e,eα)。对系统的输入进行调整。经典控制理论中这个调整量是e与e在某些情况下,这个f是不易建立或不需要建立的,取而代之的是已知一组专家经验,即,已知当误

差为ei且变化率为eαi时应当采取的调整量为ci(i=1,2,…,n),并要在这一组经典情况的

3α基础上针对随时测得的e3与e计算出相应的控制量c3来。模糊控制的基本原理是:第一

333αα步,把ei,e与B3;第二i,ci,e与e分别模糊化为X,Y,Z,X与Y上的模糊集Ai,Bi,Ci,A

步,列出算式

　已知　　A1且B1→C1　　　　　　……

An且Bn→Cn且给定　　A3

(1)

且B3　　　　　求　　　　　　　C3

第三步,将C3去模糊(Defuzzify)后就得到最终的数值控制量c.以上的第二步就是模糊推理。由于已知条件Ai且Bi可用乘积X×Y上的一个模糊集去取代,且n条规则可以通过聚合(Aggregate)而成为一条超规则,或者可以分别使用这n条规则单独推理后将所得

n个中间结果以某种方式合成为最终的C,所以模糊推理可归结为以下最基本的形式:

3

　已知　　A→B且给定　　A3　　　　　求　　　　B3

这里A,A3是X上的模糊集,B,B3是Y上的模糊集。

求解(2)的传统方式即Zadeh于1975年提出的CRI算法[5]。Zadeh提出了一种蕴涵算子RZ:[0,1]2→[0,1]如下:

RZ(a,b)=a′∨(a∧b)

(2)

(3)

第3期　　　　　　　　　　　王国俊:模糊推理的一个新方法3

这里a′表示1-a,∨和∧分别表示取上、下确界运算。CRI算法的第一步是利用蕴涵算子RZ把已知条件A→B转化为X×Y上的一个模糊关系R(x,y)如下:

R(x,y)=RZ(A(x),B(y)),(x,y)∈X×Y

(4)

然后在第二步用A3与R复合就得出B3,即B3=A3.R.这里复合运算的具体表达式为333

B(y)=sup[A(x)∧R(x,y)]=sup[A(x)∧RZ(A(x),B(y))],y∈Y(5)

x∈Xx∈X这样就求出了最终答案B3.

2　模糊推理的三I算法20多年来虽然有不少学者提出过不同于CRI算法的模糊推理算法,CRI算法本身也

有各种变形和发展(参看[6],[13]),但都采取了复合运算这一步。那么为什么要采取复合

运算呢?似乎至今没有一个令人满意的理由。因为蕴涵算子恰好是与推是相配的,所以利用某种蕴涵运算把A→B转化为模糊关系这一想法是好的。可惜CRI算法没有沿此思路走下去,只走了一步就转入岔路上去。事实上,(2)式中所求的B3可看作是在已知A→B的前提下由A3推导出来的,这里自然应当把A3→B3考虑进来,即同样利用蕴涵算子(比如RZ)把它转化为另一个模糊关系R1(x,y)=RZ(A3(x),B3(y))((x,y)∈X×Y)。这里对每一对固定的(x,y),R1(x,y)表示了A3→B3的真实程度。我们自然希望这种真实程度越大越好。但A3→B3又是在A→B的前提之下提出的,所以应当要求

(A(x)→B(y))→(A3(x)→B3(y))(6)

的值越大越好。注意(6)式中有三重蕴涵关系。我们正是基于这种分析提出了三I算法[14,15,30]。

以下分别用F(X),F(Y),…表示X,Y,…上的模糊集的全体。当(6)式中的A,A3

∈F(X)以及B∈F(Y)都已知时,F(Y)中使(6)式取得最大值的B3显然是有的。比如,由RZ(a,b)关于b递增知在Y上取常值1的F(Y)中的最大集1Y就使(6)式取最大值。如果采用其他的蕴涵算子,如Lukasiewicz的蕴涵算子RL:

(7)a→b=RL(a,b)=(a′+b)∧1,

・・

或Godel的蕴涵算子RG:

a→b=RG(a,b)=

1,

b,

a≤b,a>b,a≤b,a>b,

(8)

或Gaines2Rescher的蕴涵算子RGR:

a→b=RGR(a,b)=

1,0,

　(9)

等,则由a≤b时(a,b)在这些算子作用下的值都等于1知在(6)式中令B3=1Y,则(6)式的值达到最大值1。但这个1Y不是我们所需要的。事实上,这个1Y代表了恒真命题,无论

怎么改变(6)式中的A,B与A3,1Y总使(6)式达到最大值。换句话说,这里(6)式之所以取得最大值并非建立在前提A→B以及给定的A3的基础上。所以我们应当寻求F(Y)中能使(6)式取最大值的最小可能模糊集B3,这种B3才是恰好在已知A→B时由A3推出的那个模糊集。这是三I算法的另一个基本思想。即,我们有下面的

4模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　　　　　1999年

三I原则:设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B∈F(Y),则(2)式中的B3是使(6)式对一切(x,y)∈X×Y取得最大值的F(Y)中的最小模糊集。

根据以上原则,如果采用Zadeh的蕴涵算子RZ,则有下面的

定理211(Zadeh型三I算法)　设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B∈F(Y),则(2)式中B3的算法是

3

(10)B(y)=sup[A3(x)∧RZ(A(x),B(y))],y∈YR

Z

(A(x),B(y))>12

x∈Ey

这里

Ey={x∈X󰃜(A

3

(x))′　　注意RZ(a,b)=1一般不成立,即a→a不必等于1。这似乎是RZ的不足之处。它还会

导致还原性(见下节)不成立。Lukasiewicz算子虽具有较多的好性质,但在传递性方面有缺陷,所以在[11]中我们引入了在若干方面具有较好性质的算子R0:

R0(a,b)=

1,

a′∨b,

a≤ba>b

(12)

本文以下主要使用蕴涵算子R01这时的三I算法为

定理212(R0型三I算法)[30]　设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B∈F(Y),则(2)式中B3的算法是

33

(13)B(y)=sup[A(x)∧R0(A(x),B(y))],y∈Y

x∈Ey

这里

Ey={x∈X󰃜(A

3

(x))′　　将(10)式与(5)式相比较可见,用三I算法和用CRI算法求B3时取上确界运算后的

表达式完全一样。但(10)中x的变化范围比(5)中小,因而对每个y∈Y,由(10)式求出的

B

3

(y)比由(5)式求出的B

3

(y)要小,从而按最小性原则知(10)式的结果较(5)式为优。

3　关系再现算法

在上一节已经看到,ZadehCRI算法除了在原理上有缺陷而外,其计算结果也不是最优的。它的另一个不足是当A3=A时B3=B一般不成立。即,CRI算法不是还原算法,或按[16]的术语,CRI算法不是关系再现算法。本节中我们讨论三I算法的还原性问题。首先将三I算法推广用于模糊拒取式(FuzzyModusTollens,简称FMT)的情形。FMF的一般形式是:

　已知　　A→B且给定　　　　B3　　求　　A3　　

这里A,A3和B,B3仍分别是X和Y上的模糊集。我们有[15]

三I(FMT)原则:设X,Y是非空集,A∈F(X),B,B3∈F(Y),则(15)式中的A3是使(6)式对一切(x,y)∈X×Y取得最大值的F(X)中的最大模糊集。

(15)

第3期　　　　　　　　　　　王国俊:模糊推理的一个新方法5

定理311(R0型三I(FMT)算法)[30]　设X,Y是非空集,A∈F(X),B,B3∈F(Y),则(15)式中A3的算法是

A

3

(x)=

y∈Ex

inf[B

3

(y)∨R0′(A(x),B(y))],x∈X(16)

这里

Ex={y∈Y󰃜B

3

(t)　　在很弱的条件下,对于FMP和FMT而言三I算法都是关系再现算法。定理312[15]　设A是X上的正规模糊集,即有x0∈X,使A(x0)=1,则R0型三I算法是关系再现算法,即,若(2)中A3=A,则B3=B1

定理313[15]　设B′是Y上的正规模糊集,即有y0∈Y,使B(y0)=0,则R0型三I(FMT)算法是关系再现算法,即,若(15)中B3=B,则A3=A1

顺便指出,按CRI算法,FMT的运算结果是[1]

33

A(x)=sup[B(y)∧RZ(A(x),B(y))]

y∈Y

(18)

(18)式与(16)式相去甚远。考虑一个很简单的情形,令X=Y=[0,1],A(x)=x(x∈X),

33

=x∧(1-x),并不还原B(y)=B(y)=y(y∈Y),这时由(18)式可求出A(x)=x∨x′

为x,而且这时(6)式成为

(x→y)→(x∨x′→y)

(19)

它一般都不取最大值,甚至当x=y=0时它的值等于0。可见CRI算法在FMT的情形是

不可取的。

4　支持度理论

三I算法的另一个优点是可以被方便地推广为Α2三I算法。事实上,要求(6)式对一切(x,y)∈X×Y都等于1可以理解为要求A→B对A3→B3全力支持。设Α∈[0,1],上述要求可以一般化为要求

(A(x)→B(y))→(A3(x)→B3(y))≥Α(20)

对一切(x,y)都成立。

2三I(FMT)原则:设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B∈F(Y),则(2)式的Α2解Α

B

是使(20)式对一切(x,y)∈X×Y都成立的F(Y)中的最小模糊集。相应地,定理212可以推广为定理411(R0型Α2三I算法)[30]　设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B3∈F(Y),则(2)式的Α2解B3的算法是

B

3

3

(y)=

x∈Ey∩Ky

sup[A

3

3

(x)∧R0(A(x),B(y))]∧Α,y∈Y(21)

这里Ey同(14)式,

Ky={x∈X󰃜A

(x)∧R0(A(x),B(y))>Α′},y∈Y(22)

　　当Α=1时,(21)式中的Α不起作用,且因Ky=supp[A3(x)∧R0(A(x),B(y))],x∈Ey∩Ky也可用x∈Ey代替,可见这时(21)式转化为(13)式。所以定理411是定理212的一般化形式。

关于FMT的一般化,有

6模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　　　　　1999年

2三I(FMT)原则:设X,Y是非空集,A∈F(X),B,B3∈F(Y),则(15)式的Α2解Α3

A是使(20)式对一切(x,y)∈X×Y都成立的F(X)中的最大模糊集。

定理412(R0型Α2三I(FMT)算法)[30]　设X,Y是非空集,A∈F(X),B,B3∈F(Y),则(15)式的Α2解A3的算法是

A

3

(x)=

y∈Ex∩Kx

inf[B

3

3

(A(x),B(y))]∨Α(y)∨R0′′,x∈X(23)

这里Ex同(17)式,

Kx={y∈Y󰃜B(y)∨R0′(A(x),B(y))<Α},x∈X(24)

　　定理311是定理412当Α=1时的特例。支持度概念还可以一般化而用于同一论域上的任何模糊集之间。定义411　设X是非空集,A,B∈F(X),则称

(25)Α=inf{A(x)→B(x)󰃜x∈X}

为A对B的支持度,记作sust(A,B)=Α1

定义411中的A(x)→B(x)可借助任何蕴涵算子去计算。如,当使用算子R0时称相应的支持度为R0型支持度等。

R0型支持度具有一定意义下的传递性。

定理413[15]　设X是非空集,A,B,C∈F(X)。如果R0型支持度

sust(A,B)=Α>

1,sust(B,C)=Β>2

12

则R0型支持度

sust(A,C)≥Α∧Β

　　值得注意的是,如果采用Lukasiewicz蕴涵算子RL,则相应的支持度不具有传递性,即定理413不成立,这是算子RL的一个不足之处。

R0型支持度的进一步性质是

定理414[30]　R0型支持度具有以下性质:设X是非空集,A,B,Ai,Bi∈F(X)(i∈

I),则

(1)sust(∨Ai,B)=∧sust(Ai,B);

i∈I

i∈I

(2)sust(A,∧Bi)=∧sust(A,Bi)。

i∈I

i∈I

设X,Y是非空集,B,Bi∈F(X),C,Ci∈F(Y)(i∈I),A∈F(X×Y),则

(1)sust(A,∨Bi→C)=∧sust(A,Bi→C);

i∈I

i∈I

(2)sust(A,B→∨Ci)=∧sust(A,B→Ci)。

i∈I

i∈I

5　22(Α2重言式)理论

为适应模糊命题演算的需要,我们在[11]中引入了一种形式演绎系统L3,并于[17]中简化了其公理系统。本文仅涉及它的语义部分。

定义511[11]　设S={p1,p2,…},F(S)是由S生成的(?,∨,→)型自由代数,则称F(S)的元素为命题或公式,称S中的元素为原子命题或原子公式。

定义512[11]　设映射v:F(S)→[0,1]是(?,∨,→)型同态,这里[0,1]是R02区

第3期　　　　　　　　　　　王国俊:模糊推理的一个新方法7

间[18]。即,当a,b∈[0,1]时?a=a′,a∨b=max(a,b),a→b=R0(a,b),则称v为F(S)的一个赋值。F(S)的全体赋值之集记作ϖ8.又,对F(S)中的公式A,也称v(A)为A的赋值。

由F(S)是自由代数知下面的命题511成立:

命题511　设v0:S→[0,1]是任一映射,则存在F(S)的唯一赋值v:F(S)=[0,1]使v是v0的扩张。称v是由v0生成的F(S)的赋值。定义513[19]　设A∈F(S),2<ϖ∈(0,1]。如果对每个v∈2恒有v(A)≥Α,则称A8,Α为22(Α2重言式)。当2=ϖ=1时,22(Α2重言式)就是重言式。8且Α2重言式)理论即部分赋值理论,只要适当选取2,就可将模糊推理纳入于多值逻22(Α辑框架之中。事实上,把(6)式抽象化为

(26)P=(p1→p2)→(p3→p4)

由于pi(i=1,2,3,4)可以各自赋值,所以(26)式中的P不是重言式,也不是Α2重言

ϖ式,但适当选取8的子集2后就可使一般的R0型Α2三I算法问题成为求2使P成为

2重言式)问题。22(Α

定义514　设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B,B3∈F(Y),E=(A,B;A3,B3)。定义v0=v0(E,x,y):S→[0,1]为

v0(p1)=A(x),v0(p2)=B(y),

v0(p3)=Av0(p4)=B

33

(x),(y),

(27)

v0(pn)=0,n=5,6,…

以v(E,x,y)记由v0生成的F(S)的赋值。定义

(28)2(E)≡{v(E,x,y)󰃜(x,y)∈X×Y}

　　利用定义514就可把模糊推理从语义角度纳入逻辑框架中。以下的定理511是自明的。

定理511　设X,Y是非空集,A,A3∈F(X),B∈F(Y),则(2)式的Α2解就是

2重言式)的最小模糊集B3,这里2=2(E),E=(A,B;F3(Y)3中使(26)式的P成为22(Α

2解就是F(X)中使(26)式的P又,设A∈F(X),B,B3∈F(Y),则(15)式的ΑA,B)。

成为22(Α2重言式)的最大模糊集A3,这里2=2(E),E=(A,B;A3,B3)。

6　多条规则的模糊推理

具有多条规则的模糊推理(1)可以归结为问题(2)。一般先利用乘积方法把(1)化为如下问题:

　已知　　A1→B1

　　　　　　……

An→Bn且给定　　A3　　　　　求　　　　B3

(29)

8模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　　　　　1999年

求解(29)式有两种常见的途径。第一种途径是先分别利用Ai→Bi与A3求得中间结果Ci(i=1,2,…,n),然后把这n个中间结果聚合为最终结果B3。Buckley等称这种方法为

[20]

FITA,即FirstInferThenAggregate1第二种途径是先把(29)中的n条规则聚合为一条超规则A→B,然后利用给定的A3求得B31[20]称此为FATI,即FirstAggregate33ThenInfer1[20]并称FATI是不相容的,即,当A等于某Ai时,B不等于Bi1但[20]的证明是错误的。事实上,在一定意义的聚合下FATI与FITA都可以是相容的,而且在三I算法之下二者是等价的。

定义611　设X,Y是非空集,Ai,A3∈F(X),Bi∈F(Y)(i=1,2,…,n),则(29)式的FITA型解B3

=∨Ci,这里Ci是

i=1

n

　已知　　Ai→B

i

且给定　　A3　　　　　　　求　　　　Ci

的解,Ci∈F(Y)(i=1,2,…,n)。

定义612　设X,Y是非空集,Ai,A3∈F(X),Bi∈F(Y)(i=1,2,…,n),则(29)式的FATI型解B3是F(Y)中使

R(x,y)→(A

3

(x)→B

3

(y))=1(30)(31)

对一切(x,y)∈X×Y恒成立的最小模糊集,这里

R(x,y)=∨R0(Ai(x),Bi(y))

i=1n

　　由蕴涵算子R0的性质[18]容易证明下面的

定理611　FITA算法与FATI算法是等价的,即,当Ai,Bi与A3给定时,由定义611与定义612算出的B3相等。

求解(29)式的另一种方法是在A3与各Ai(i=1,2,…,n)之间引进距离或贴近度等概念,然后给定阈值让A3激活(29)中的某一条或某几条规则,并与它们一起去计算B3(参看[21]与[22])。又,关于(29)中规则的聚合问题,也可以先分组聚合后再将各结果进行聚合,请参看[23]或[24]。

7　结束语

在当前用于模糊控制的模糊推理中,各数据模糊化后的模糊集多为简单的三角型模糊集[25,26]或其组合,这时论域为一个区间。在这种情况下,由于模糊化与去模糊等也仅涉及加权平均或求重心等方法,这就使得相应的模糊推理可以更简捷地通过插值算法来实现,李洪兴教授对此有详细的论述[27]。本文则侧重于对模糊推理的一般化模式与算法的讨论,其目的一方面在于试图为模糊推理建立比较严格与系统的理论,另一方面也希望能为较复杂的模糊控制问题提供一个理论模型。此外,模糊推理还可以与可能性推理、概率推理以及证据推理等相结合使用。关于这方面的情况请参看Dubois等人的长篇评述文章[13]以及张文修、梁怡两位教授的专著[7]。如何将模糊推理纳入逻辑框架问题是复杂的,本文仅从语义角度介绍了这方面的初步工作。基于代数观点的讨论可参看[28]。最后还有一点要说明的是,按Zadeh的观点模糊逻辑有广义与狭义之分[29]。广义泛指模糊系统,

第3期　　　　　　　　　　　王国俊:模糊推理的一个新方法9

狭义则系真正意义下的模糊逻辑,本文中所述的模糊逻辑属于后者。最后我们指出,把多个前提“若A1且…且An”通过乘积(取小)而简化为一个模糊集的过程会丢失大量信息,将若干条规则聚合为一个超规则或将若干中间结果聚合为最终结论等也都会导致信息的丢失。关于如何尽可能地利用全部信息进行模糊推理的问题,我们将于另文加以讨论。参考文献:

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ANewMethodforFuzzyReasoning

WANGGuo2jun

(InstituteofMathematics,ShanxiNormalUniversity,Xi’an710062,Shanxi)

Abstract:ThisisasurveyontheTripleImethodproposedbytheauthor(See[14],[15],and[30]).ThemotivationofwhytheTripleImethodshouldbetakenasarea2sonablemethodforsolvingtheproblemsofFuzzyModusPonensandFuzzyModusTol2lensisanalized,thenthemainpointsoftheTripleImethodandrelatedtopicsaredis2cussed.

Keywords:FuzzyReasoning;CRIMethod;TripleIMethod;SustentationDegree;

2tautology)22(Α