2009秋讨论课(3)

（条件极值、重积分）

1．填空 （1）设D（2）Ix,yR2xy1，则积分xyd_______________.

D0dx3x0f(x,y)dyRR2dxRx022f(x,y)dy在极坐标系下的累次积分

为 . （3）已知

zy22y，z(x,0)1．zy(x,0)x则z(x,y) 。

11x2（4）设f(x)为已知连续函数，将I而后对z的积分为I2．设ft21dx1x2dy2xy122f(z)dz化为先对x,y

bab ，g(z) 。则a ， g(z)f(z)dz，

221cosxyd．当t0时，f(t)是t的几阶无穷小？

22xyt3．选择

（1）设R0，则二重积分I22e2xy22xyR1xyd等于[ ]。

（A）42221xyxyRexy22d。 （B）22221xyxyRexy22d。

x0,y0x0（C）422e2xy22xyRx0,y01xyd。 （D）0.

（2）设函数fu连续，区域Dx,yx2y222y，则fxydxdy等于 [ ]。

D2yy0211dx1x21x2fxydy. 2dy0fxydx.

C0d2sin0frsincosdr. Dd202sin0frsincosrdr.

2（3） 设f(x,y)为连续函数，则2240d

10f(rcos,rsin)rdr等于【 】

（A）20dx1xx2f(x,y)dy

（B）20dx1x20f(x,y)dy

1

22

（C）2y22

（D）0dy1yf(x,y)dx20dy1y0f(x,y)dx

（4） 若I2I2221(xy)d,2(xy)d,D:0yrx, 则 ( )。

DD (A) I1I2. (B) I1I2.

(C) I1I2. (D) 与 I2之大小相等关系不定而与r有关. 1（5）1x21dxx1(xy)dy ( ).

2 (A) 4 . (B) 2. (C) 1. (D) 0.

（6）设D是以点A(1,1),B(1,1),C(1,1)的三角形，则

(x23y21)sin(xy)2dxdy( )。

D (A) 4 . (B) 2. (C) 1. (D) 0.

（7） 设有空间区域1:x2y2z2R2,z0，

及222：xyz2R2,x0,y0,z0，则（ ）

。 （A）xdv4xdv (B)

ydv4ydv

1212(C)

zdv4zdv (D)

xyzdv4xyzdv

1212（8） 设 (x,y,z)R3x2y2(z1)21,x0,y0，则积分

8dv的值为（ ）。

2xy2z2(A). 83 (B) 483. (C)

23. (D)

3.

（9）设函数f(x,y)连续，则二次计分1dxf(x,y)dy等于（ ）。

2sinx（A）1dy （B）10arcsinyf(x,y)dx 0dyarcsinyf(x,y)dx

（C）1dyarcsiny0f(x,y)dx （D）1arcsiny20dyf(x,y)dx

24． 变换积分次序

（1）I1x20dxxf(x,y)dy （2）I1x2x0dx0f(x,y)dy21dx20f(x,y)dy

（3）I12xx2f(x,y)dy22x0dx01dx0f(x,y)dy

2

5． 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分： (1) 0dy0R2R2Ryy2f(x,y)dx yRR1R2(2) 01R2dx0Rxf()dy xdx0Rx22f()dy xy6．计算xydxdy , 其中D为圆域{(x,y)|x2y22y}.

D7．计算下列积分

（1）计算D(xy)dxdy，其中D为矩形0x,ya． （2）计算102212x1lnxdx

（3）用两种方法计算

22(axbycz)dxdydz

2xyz2z（4）求

Dxy22yd,其中D是由圆xy224和x1y221所围成的平

面区域。

x2,xy1（5） 设二元函数f(x,y) ，计算二重积分f(x,y)d，1,1xy2D22xy其中D(x,y)xy2。

x2y2z2222。 xy1z1（6）用两种方法计算58(xy1z)dxdydz，其中 :8．当x0,y0,z0时，a,b,c均大于零，求ulnxlny3lnz在球面xy22z25R上的最大值，并证明

2abc327(abc5)．

59．确定正数a，使椭球x22y23z2a2与平面x2y3z100相切。

10．设{(x,y,z)|1x,y,z1}，f(x,y,z)axbycz（其中abc0）．求证

max{f(x,y,z)|(x,y,z)}必定在的某个顶点达到．

11． 求下列曲面所围的空间体体积

体积可利用二重积分或三重积分求解，关键是定限。讨论时请同学画出草图，便于理解。 （1） 由曲面z1（2）由x2xy，zx,x0所围成。

y,y1围成;

22yz,2x 3

（3）由zxy,z0,x2y2ax,(a0)围成; （4）由z8x2y2，z2y围成.

4