2013年高考数学总复习 (6-3) 等比数列课件 新人教B版

2013年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B版

1.(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是( )

A.

69

2

B．69 D．1

C．93 [答案] C

2

[解析] 由a2a4＝a3＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，

又a1＝3，各项均为正数，则q＝2. a11－q53×1－32所以S5＝＝＝93.

1－q1－2

2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a3＋a41

a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )

2a4＋a5

1－5A.

2C.5－1

2

B.D.5＋1

2

5＋15－1

或 22

[答案] B

1

[解析] ∵a2，a3，a1成等差数列，

2∴a3＝a2＋a1，

∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1， ∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝∴

a3＋a415＋1

＝＝. 2a4＋a5q

5－1

. 2

3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为( )

A．81 C．168 [答案] B

a5[解析] 设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：＝27＝q3，所

a2

B．120 D．192

31－34a2以q＝3，所以a1＝＝3，所以S4＝＝120.

q1－3

(理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3

1

＝S6，则数列{}的前5项和为( )

an

85A. 3215C. 8[答案] B

[解析] ∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6， ∴8＝q3，∴q＝2， 11－－

∴an＝2n1，∴＝()n1，

an2

11－52311

∴{}的前5项和为＝，故选B. an116

1－2

4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于( )

A.1 1C.－

2[答案] C

[解析] 2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q， 1

得q＝－，故选C.

2

5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( )

2n1－1

A.

3

＋

31B. 1685D. 2

1B. 21＋5D. 2

2n1－2B.

3

＋

22n－1C.

3[答案] C

[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n1＝2n1.

－

－

22n－2D. 3

∴an＝2n1(n∈N*)，

－

1－22n22n－1

则数列{an}的奇数项的前n项和为＝，故选C.

31－22(理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7

＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )

A．12 C．15 [答案] D [解析]

a5＋a6＋a7＋a84

＝q＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1.

a1＋a2＋a3＋a4

B．14 D．16

得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1， 1－q4

即a1·＝1，∴a1＝q－1，

1－qa11－qn又Sn＝15，即＝15，

1－q∴qn＝16，

又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.

6．(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于( )

4A．－

323C．－或－

32[答案] C

[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，

32∴q＝－或－. 23

7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．

[答案] 10000

[解析] 设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)·(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f(n)＝2n－1，

100×99

则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋×2＝10000.

2

8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.

[答案] n＋1

3

B．－

234D．－或－ 43

[解析] 设等差数列首项a1，公差d，则

2

∵a1、a3、a7成等比，∴a3＝a1a7，

∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d， 7×6又S7＝7a1＋d＝35d＝35，

2∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.

(理)(2010·浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)

[答案] 27

[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．

a59．(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝

a7

________.

2

[答案]

3

[解析] ∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，

又∵a4＋a6＝5，且q>1，∴a4＝2，a6＝3， a5a42∴＝＝. a7a63

10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.

[解析] 设{an}的公比为q，由已知有：

a1q＝6a1＝3a1＝2.解得或 2

6a1＋a1q＝30q＝2q＝3

(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1·qn1＝3×2n1

－

－

a11－qn3×1－2nSn＝＝＝3×(2n－1)

1－q1－2(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1·qn1＝2×3n1

－

－

a11－qn2×1－3nSn＝＝＝3n－1.

1－q1－3

综上，an＝3×2n1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n1，Sn＝3n－1.

－

－

11(理)(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3

a1a2

11

＋a4＝32(＋)．

a3a4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn1，

－

11由已知得a1＋a1q＝2(＋)，

a1a1q11

a1q2＋a1q3＝32(2＋3)．

a1qa1q

22a1qq＋1＝2q＋1，a1q＝2，化简得25即25

a1qq＋1＝32q＋1，a1q＝32.

a1＝1，－

又∵a1>0，q>0，解得∴an＝2n1.

q＝2.

n1

(2)由(1)知bn＝a2＋(n－1)， n＋log2an＝4

－

∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1)

－

4n－1nn－14n－1nn－1＝＋＝＋. 2324－1

11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )

a5A. a3an＋1C. an[答案] D

[解析] 数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－

5

Sn＋11－qn1a52S51－q11an＋1

2，＝q＝4；＝＝；＝q＝－2；＝，其值与n有关，故选D. a3S31－q33anSn1－qn＋

S5B. S3Sn＋1D. Sn

(理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )

A.C.5－1

25－1

4

1B. 2D.5＋1

4

[答案] A

[解析] 设三内角A∵sinA、sinB、sinC成等比数列， ∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac， a2a

∴c2－a2＝ac，∴c＋c－1＝0. 5－1aa∵>0，∴＝＝sinA，故选A. cc2

[点评] 在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，a3

A．－5 C．5 [答案] A

[分析] 根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an

的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．

[解析] 由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an>0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，

∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35， ∴log1 (a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.

3

(理)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是( ) A．S4a522[解析] (1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a1＝－a1<0.

1

B．－

51D. 5

B．S4a5>S5a4 D．不确定

(2)当q≠1且q>0时，

23

a2a1q14838

S4a5－S5a4＝(q－q－q＋q)＝(q－1)

1－q1－q3

＝－a21q<0.

[点评] 作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：

S3S5已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与的大小．

a3a5S3S5S3S5[解析] 当q＝1时，＝3，＝5，所以<；

a3a5a3a5当q>0且q≠1时，

35

S3S5a11－qa11－q－＝－ a3a5a1q21－qa1q41－q

q21－q3－1－q5－q－1＝＝<0，

q4q41－qS3S5所以有<. a3a5S3S5综上可知有<.

a3a5

a3n

13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝2，且{bn}的前

an＋1

n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是( )

A．02 [答案] B

a31an1n[解析] 由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝2＝2，于是b1＋b2＋…＋bn＝2qan＋1q1Sn(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝2·Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1.因为an>0对任意n∈N*

qTn都成立，所以q>0，因此公比q的取值范围是q>1.

(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8

S1S2＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…

12Sn＋最大时，n的值等于( ) n

A．8 C．8或9 [答案] C

[解析] ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

2∴a3＋2a3a5＋a25＝25，

B．q>1 D．1B．9 D．17

又an>0，∴a3＋a5＝5， 又q∈(0,1)，∴a3>a5， ∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，

11－－∴q＝，a1＝16，an＝16×()n1＝25n，

22bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴Sn＝n9－nSn9－n

，∴＝， 2n2

SnSnSn∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0，

nnnS1S2Sn∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．

12n

11

14．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.

33(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝

1－an

； 2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式． 11n－11

[解析] (1)因为an＝×＝n，

333111

1－n1－n333Sn＝＝，

121－

31－an

所以Sn＝. 2

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n) nn＋1＝－.

2

nn＋1

所以{bn}的通项公式为bn＝－. 2

15．(文)(2011·山东淄博一模)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)设数列{an}的公比为q(q>1)， a＋a＋a＝7，123由已知，得a1＋3＋a3＋4

＝3a，22

a1＋a2＋a3＝7，

即a1－6a2＋a3＝－7，a1＝1，解得

q＝2.

2

a11＋q＋q＝7， 2a1－6q＋q＝－7，1

故数列{an}的通项为an＝2n1

－

(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2， 又bn＋1－bn＝3ln2，

∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列．

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝

nb1＋bnn3ln2＋3nln23nn＋1ln2

＝＝ 222

3nn＋1

ln2. 2

即Tn＝

1

(理)(2011·安庆模拟)已知数列{an}中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝

21,2,3….

(1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项．

1

[解析] (1)由已知得2an＋1＝an＋n，又a1＝，

23313∴a2＝，b1＝a2－a1－1＝－－1＝－，

4424又∵bn＝an＋1－an－1，∴bn＋1＝an＋2－an＋1－1， ∴

bn＋1an＋2－an＋1－1＝ bnan＋1－an－1

an＋1＋n＋1an＋n

－－122

＝ an＋1－an－1an＋1－an－1

21

＝＝. an＋1－an－12

31

∴{bn}是以－为首项，以为公比的等比数列．

4231n－11＋

(2)由(1)知，bn＝－×()＝－3×()n1

4221

∴an＋1－an＝1－3×()n＋1，

21

∴a2－a1＝1－3×()2

21

a3－a2＝1－3×()3

2……

1

an－an－1＝1－3×()n

2

1111

各式相加得an＝n－1－3×[()2＋()3＋…＋()n]＋

222211－1

×[1－n]4213

＝n－－3×＝n＋n－2.

212

1－2

1．(2010·常德市检测)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a2n}的前n项的和为( )

A．4n－1 4

C.(4n－1) 3[答案] B

[解析] n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n1－1)＝2n1，

－

－

1

B.(4n－1) 3D．(2n－1)2

又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n1(n∈N*)．

－

n12

设bn＝a2)＝4n1， n，则bn＝(2

－

－

1×4n－11n∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝＝(4

34－1－1)．

2．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )

A．4 C．8 [答案] C

[解析] 由题意知，85q＝170，∴q＝2， 1×2n－1

∴85＋170＝，∴n＝8.

2－1

3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于( )

A．2 C．8 [答案] D

[解析] 由题意可知，a27＝2(a3＋a11)＝4a7.

2∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b27＝a7＝16.

B．6 D．10

B．4 D．16

ac4．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.

xy[答案] 2

a＋bb＋cb

[解析] 由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，

22q

2bqac2a2c2bq

∴＋＝＋＝＋ xya＋bb＋cbb＋bq

＋bq＝

22q＋＝2. 1＋q1＋q

5．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2

＝4S4，设bn＝q＋Sn.

(1)求q的值；

(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由． [解析] (1)由题意知5S2＝4S4， a11－q2a11－q4S2＝，S4＝，

1－q1－q

1∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝.

2a11－qn1n－1

(2)∵Sn＝＝2a1－a12， 1－q1n－11

于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a12， 21

若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，

21n＋11

∴a1＝－.此时，bn＝2. 4

1n＋2

bn＋121∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列． bn1n＋12

2

1

所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．

4

6．(2010·福建龙岩一模)已知数列{an}和{bn}，数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图象上，点(n，bn)在函数y＝2x的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. [解析] (1)由已知得Sn＝－n2＋4n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，

又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5. (2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n. Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n， 2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n1，

＋

两式相减可得

Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n1)＋(－2n＋5)×2n1

＋

＋

231－2n1＋＝＋(－2n＋5)×2n1－6

1－2

－

＝(7－2n)×2n1－14.

＋