第２７卷 第１１期 Ｖｏ１．２７ Ｎｏ．１ｌ 重庆理工大学 学报（自然科学） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０１３年１１月 ＮＯＶ．２０１３ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８４２５（ｚ）．２０１３．１１．００６ 柔性机构耦合振动的谐振可靠性分析方法 于霖冲 （厦门理工学院机械与汽车工程学院，厦门３６１０２４） 摘 要：提出了柔性机构耦合振动的谐振可靠性分析方法，给出了柔性机构谐振可靠性分 析的广义模型。通过柔性机构的虚拟样机仿真实验确定机构运动规律和耦合振动频率分布特 性，利用蒙特卡罗方法求解柔性构件的固有频率以及分布特性，进而通过干涉方法求出柔性机 构的谐振可靠度。以空间站柔性展开机构为例进行谐振可靠性分析。计算结果表明：该方法对 于求解柔性机构谐振可靠性问题十分有效。 关键词：柔性机构；耦合；振动；谐振；可靠性 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—８４２５（２０１３）１１—００２８—０４ 中图分类号：ＴＨ１１２．５ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｓｙｎｔｏｎｙ Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ Ｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ＹＵ Ｌｉｎ—ｃｈｏｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ Ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｘｉａｍｅｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉａｍｅｎ ３６１０２４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ａｉｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｓ ｔｏ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｙｎｔｏｎｙ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｏｆ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｙｎｔｏｎｙ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｋｉｎｅｔｉｃ ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｗｅｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｖｉｒ— ｔｕａｌ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅｎ，ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｌｆｅｘｉｂｌｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｗｅｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｗｉｔｈ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｓｙｎｔｏｎｙ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｗａｓ ｇａｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｅｘｐａｎｄ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｓｔａｔｉｏｎ ｗａｓ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｎｔｏｎｙ ｒｅｌｉａ－ ｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｃｏｕｐｌｉｎｇ；ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｓｙｎｔｏｎｙ；ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ 在高速和大柔性情况下，如果柔性构件的耦 合振动频率与构件的固有频率接近，则会产生谐 振，从而导致构件的变形和动态应力急剧增大，使 柔性机构运动功能受到很大的影响，严重时会导 致构件发生塑性变形甚至强度破坏，造成机构功 能的失效。因此，对柔性机构耦合振动的谐振可 靠性分析具有十分重要的理论意义，对柔性机构 的驱动规划有重要的实际参考价值。 收稿日期：２０１３—０８—０９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１３７５４１２）；国家８６３高科技计划资助项目（２００６ＡＡ０４Ｚ４０５） 作者简介：于霖冲（１９６８一），男，长春人，博士后，主要从事系统可靠性、ＣＡＤ及自动化、系统仿真等方面研究。 于霖冲：柔性机构耦合振动的谐振可靠性分析方法 多柔体系统动力学经过３０多年的发展，在建 模理论和求解方法上已经逐渐成熟¨Ｊ，并在耦合 ２９ 系统运动参数迅速恶化，机构的这种失效模式就 是耦合振动失效。阈值 的大小根据柔性构件第 振动方面取得了突破，为本研究奠定了基础。Ｄｉｋ— ｅｎ＿２ 对柔性机械臂的振动频率响应的影响因素进 行了分析；Ｓｉｄｄｉｑｕｉ等 通过摄动方法对有移动物 体的柔性悬臂梁的耦合问题进行了探讨；Ａ１一Ｂｅ－ ｄｏｏｒ等 和Ｙａｕ等 分别应用拉格朗日乘子法和 Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理建立了有移动物体的旋转柔性悬臂 梁模型，并进行了运动学分析；徐可君等 建立了 构件振动可靠性和强度可靠性计算的模糊模型， 计算了涡轮叶片的可靠度；崔海涛等 探讨了柔 性梁的共振和疲劳可靠性问题。本文在上述学者 的研究基础上，通过多柔体系统动力学分析，提出 了柔性机构耦合振动的谐振可靠性分析理论和方 法，建立了柔性机构谐振可靠性分析模型。通过 蒙特卡罗随机模拟，计算构件的固有频率，通过柔 性机构的虚拟样机仿真实验，确定机构运动规律 和耦合振动频率分布特性，进而求出谐振可靠度， 为柔性机构的设计和分析提供了借鉴。 １ 柔性机构谐振可靠性分析理论和方法 １．１ 柔性机构谐振可靠性基本理论 构件几何、物理等参数的随机性使构件固有 频率成为随机变量，而动力、载荷等随机因素使柔 性构件的耦合振动频率成为随机变量。在固有频 率和耦合振动频率相等或者接近时，振幅、动态应 力急剧增加导致构件发生强度破坏或者运动功能 失效。因此，在设计机构运动形式和驱动规划时， 要避免构件频率相等或者相接近。在运动过程 中，机构的拓扑结构是时变的，驱动力（矩）和载荷 也是时变的，所以柔性构件的耦合振动频率成为 时变随机变量。 假设随机变量 （ １，２，…，ｎ）为柔性构件 的第ｉ阶固有频率，时变随机变量Ｐ（ ）为柔性构 件ｔ时刻的耦合振动频率。当在机构运动时域 内ｔ时刻的耦合振动频率Ｐ（ｔ）与构件固有频率 的接近程度超过阈值 时，柔性构件将产生谐振。 此时构件的耦合振动幅度将急剧加大，导致机构 ｉ阶模态的振型确定。经过柔性构件的模态分析 确定柔性构件的各阶振型和阈值 从而建立柔 性构件谐振极限状态方程： ｇ（ｔ）＝ｌ 一Ｐ（ｔ）ｆ一 ，ｔ∈Ｔ （１） 柔性机构的谐振可靠性可以描述为：在机构 运动时域 内，柔性构件在任意时刻的耦合振动 频率相对于各阶固有频率的接近程度不超过阀值 的概率。式（２）就是柔性机构谐振可靠性分析的 广义模型。 Ｒ（ｔ）＝Ｐ｛ｇ（ｔ）＜０），ｔ∈Ｔ （２） １．２ 柔性机构谐振可靠性分析方法 利用Ｌａｇｒａｎｇｅ方法建立柔性机构的动力学 方程 ］： 绚＋Ｋｇ＋ｃ：’Ａ＝ＱＦ＋Ｑ （３） 其中： 、Ｋ、ｃ 分别为时变质量矩阵、时变刚度矩 阵和约束雅克比矩阵；Ａ为Ｌａｇｒａｎｇｅ因子；Ｑ Ｑ 分别为广义主动力向量和速度二次项广义力 向量。 如果柔性构件在机构运动ｔ时刻的固有频率 和耦合振动频率服从正态分布，则根据干涉理 论有： ，＝ ？Ｊｔｈ－－ ＯｔｉＩ，一 （孝 ㈩ 其中 和 分别为固有频率和耦合振动频率的 标准差。 在系统中只要有一个构件在任意时刻出现耦 合频率与固有频率产生谐振，就会发生谐振失效。 因此，整个机构系统的谐振可靠性分析应按照串 联系统计算其可靠度。 ２ 柔性机构谐振可靠性分析和计算 ２．１ 柔性机构模型的谐振可靠性分析 柔性机构模型为空间站柔性展开机构 ｍ 。 图１所示为机构展开状态，展开机构由Ｂ。～Ｂ。 共 １６个构件组成，其中大尺寸的轻质构件Ｂ 、Ｂ 、 ３０ 重庆理工大学学报 Ｂ 、Ｂ 、Ｂ Ｂ 和Ｂ 在展开过程中会产生较大的 变形，将它们作为等截面均质柔性梁。机构初始 状态为收拢状态，各个构件无弹性变形。柔性展 开机构的设计运动规律为：在机构启动初始１０ ｓ 较大，柔性机构产生频率较低。 振幅较大的耦合振动在１０ Ｓ时，加速度和速 度达到最大，耦合振动在１０ Ｓ时最剧烈。１０ Ｓ以 后，驱动力为０，柔性机构依靠惯性运动，由于运动 副的摩擦，使机构的速度逐渐降低，耦合振动的振 幅和频率逐渐随之下降。因此，在柔性机构驱动 内，由电机Ｂ 和Ｂ 匀加速驱动；在１０ Ｓ以后，电 机驱动力为０，机构依靠惯性完成展开运动。在机 构展开过程中，构件的动态响应为高度非线性，这 规划中，需要对１０ Ｓ前后的耦合振动进行谐振可 种特性体现为构件的运动学参数、动力学的动态 参数随时间的变化呈现出“振动”的现象，这种现 象就是耦合振动的反映。 （ａ）机构展开中间过程 （ｂ）机构完全展开状态 图１ 空间站展开机构模型 选择机构中有代表性的构件Ｂ 和Ｂ 作为研 究对象。其中，构件Ｂ 做平面旋转运动，构件Ｂ 做平移运动。 柔性构件为细长杆，两端为铰链连接，柔性构 件质心处的耦合振动最剧烈。通过柔性机构的虚 拟样机仿真，得到构件Ｂ 和构件Ｂ 质心处的耦 合振动，如图２所示。 从柔性机构仿真数据可以看出：构件Ｂ 的耦 合振动比构件Ｂ：的振动频率高、振幅大。在启动 阶段由于机构初始状态是静止状态，因此惯性力 靠性分析。 ０ ０ １Ｏ ２０ ３０ ｔ／Ｓ （ａ）Ｂ 的耦合振动 ０．２ ０．１ ０ ３０ ｆ／ｓ （ｂ）Ｂ 的耦合振动 图２柔性机构的耦合振动 ２．２柔性机构谐振可靠性分析 由于机构工作在微重力环境下，受到运动副 之间的摩擦和碰撞以及其他随机因素的影响，故 柔性机构的动态响应具有随机性。通过柔性机构 运动仿真，将对动态应力响应影响较大的因素确 定为柔性机构系统的随机变量：驱动加速度０ （ｒａｄ／ｓ ）、摩擦力矩坼（Ｎ・ｍ）、驱动时间ｔ（Ｓ）、阻 尼系数 以及柔性构件的质量／７／，（ｋｇ）。假设各个 随机变量的分布服从正态分布，随机变量的均值 为设计值，方差的大小分别根据电机技术指标、材 料参数等确定。 表１为随机变量设计值和方差、１００组抽样数 据的均值和方差，其中： 、 、 、 分别表示 随机变量的名称、随机变量的设计值、随机变量的 于霖冲：柔性机构耦合振动的谐振可靠性分析方法 方差、按照ＭＣ法抽样数据的均值和抽样数据的 ３１ 方差。 表１ 随机变量抽样数据的均值及方差 参考文献： ［１］ Ｓｈａｂａｎａ Ａ Ａ．Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｍｕｈｉｂｏｄｙ Ｄｙｎａｍｉｃｓ：Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｐａｓｔ ａｎｄ Ｒｅｃｅｎｔ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｍｕｈｉｂｏｄｙ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９７（１）：１８９—２２２． ［２］Ｄｉｋｅｎ Ｈ．Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ａ Ｓｉｎ— ｇｌｅ—Ｌｉｎｋ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｊｏｉｎｔ Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ Ａｎｄ Ｐｏｓｓｉｂｌｅ Ｔｒａｊｅｃ・・ 通过有限元方法对构件Ｂ 和Ｂ 进行蒙特卡 洛仿真，前４阶固有频率均值分别为１．８０６ ９５× １０一 、３．０１６ ５２×１０一 、３．４５３ １９×１０一 、３．８４５ ９３× ｌ０～。通过柔性机构运动仿真得到构件 的振动 频率均值为９．８５×１０～，方差为５．７８×１０～。根据 可靠度计算的干涉方法，得到可靠度为 Ｒ＝ （ ） 舢３ 由于柔性构件的耦合振动频率的均值大固有频率 均值约２个数量级，因此空间站展开机构的耦合 振动是可靠的。 ３ 结束语 随着构件柔性的增加，固有频率会降低；同时 随着速度的提高，构件的耦合振动频率会上升。 因此，柔性机构在高速运动时的耦合振动不可 忽视。 本文方法适合于柔性机构耦合振动的谐振可 靠性分析，但蒙特卡洛方法仿真时间成本较高，故 可结合快速算法进行改进。 ｔｏｒｙ Ｔｒａｃｋｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２０００， ２３３（２）：１７９—１９４． ［３］Ｓｉｄｄｉｑｕｉ Ｓ Ａ Ｑ，Ｇｏｌｎａｒａｇｈｉ Ｍ Ｆ，Ｈｅｐｐｌｅｒ Ｇ Ｒ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ ０ｆ Ａ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｂｅａｍ Ｃａｒｒｙｉｎｇ Ａ Ｍｏｖｉｎｇ Ｍａｓｓ Ｕｓｉｎｇ Ｐｅｒ— ｔｕｒｂａｔｉｏｎ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｎｄ Ｔｉｍｅ—Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｔｅｃｈ－ ｎｉｑｕｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２０００，２２９ （５）：１０２３—１０５５． ［４］Ａ１一Ｂｅｄｏｏｒ Ｂ Ｏ，Ｈａｍｄａｎ Ｍ Ｎ．Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃａｌｌｙ Ｎｏｎ－Ｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ａ Ｒｏｔａｔｉｎｇ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ａｎｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ ｏＳｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｅｒａｔｉｏｎ，２００１，２４０（１）：５９—７２． ［５］Ｙａｕ Ｄ Ｔ Ｗ，Ｆｕｎｇ Ｅ Ｈ Ｋ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｆｏ Ａ Ｒｏｔａ． ｔｉｎｇ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ａｒｍ Ｃａｒｒｙｉｎｇ Ａ Ｍｏｖｉｎｇ Ｍａｓｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｅｒａｔｉｏｎ，２００２，２５７（１）：１０７—１１７． ［６］徐可君，江龙平，隋育松．应用模糊方法计算构件振动 可靠性［Ｊ］．机械强度．２００３，２５（５）：５２３—５２７． ［７］ 崔海涛，彭兆行．振动构件的强度可靠性分析［Ｊ］．机 械强度，１９９８，２０（４）：３１２—３１５． ［８］ 于霖冲，白广忱，焦俊婷，等．柔性机构变形动态响应 可靠性分析方法［Ｊ］．宇航学报，２００６，２７（５）：１０３９ —１０４３． ［９］ 欧进萍，王光远．结构随机振动［Ｍ］．北京：高等教育 出版社．１９９８． ［１０］于霖冲．柔性机构动态可靠性分析［Ｍ］．北京：机械工 业出版社．２０１２． （责任编辑刘舸）
