一种B-样条小波的构造

一种B-样条小波的构造*TheConstructionofaB-splineWavelet

栾　丹1,丁宣浩2

12

LUANDan,DINGXuan-hao

(1.渤海大学数学系,辽宁锦州　121000;2.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林　541004)

(1.DepartmentofMathematics,BohaiUniversity,Jinzhou,Liaoning,121000,China;2.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin,Guangxi,541004,China)

摘要:利用样条函数和多分辨分析构造一类新的样条小波.新构造出的样条小波表达式简单,两尺度序列容易求得.新构造出的小波具有对称性、半正交等优良性质,有利于处理实际问题.关键词:小波　B-样条　多分辨分析　传递函数　两尺度序列

中图法分类号:O174.2　　文献标识码:A　　文章编号:1002-7378(2007)03-0138-02

Abstract:AkindofBsplinewaveletisconstructedbyusingB-splinefunctionandtheideaofmulti-resolutionanalysis(MRA).Thenewmethodhassimpleexpressionsandthetwoscalesequencesareeasilyobtainedinadditiontomanygoodpropertiessuchassymmetryandsemiorthogonal,whichispropitioustoresolvingpracticalproblems.

Keywords:wavelet,B-spline,multi-resolutionanalysis,transferfunction,twoscalesequences

1　基本定义

　　设{Vj}是尺度函数U(x)生成的一个多分辨分析,相应的小波为7(x),满足两尺度方程

U(x)=　　7(x)

(2x-k)∑pU

,

=∑qU(2x-k)

kk

kk

(1)

方程(1)两边作傅立叶变换得dXdXU(X)=H(2)U(2)　　或

dXdX7(X)=G()U()

22

d(X)=P(z)Ud(X)U

2

,(2)Xdd7(X)=Q(z)U()2

其中,序列{pk}k∈Z和{qk}k∈Z称为两尺度序列;P(z)

1k1k

pkz和Q(z)=qkz分别为两尺度序列∑∑2k2k

{pk}k∈Z和{qk}k∈Z的符号,简称为两尺度符号;H(X)11=pke-ikX和G(X)=qke-ikX分别称为尺∑∑2k∈Z2k∈Z

度函数的传递函数和小波传递函数.它们分别满足

P(z)P(-z)

方程(1)和(2).矩阵M(z)=称

Q(z)Q(-z)

为两尺度矩阵.

　　定义1　对于每个正整数m,m阶且具有节点=

序列Z的基数样条空间Sm是所有函数f∈C(R)的集合,f在任一区间(k,k+1)上的限制是不超过m-1次的代数多项式.一阶基数B-样条函数定义

1,x∈[0,1);

为N1(x)=m阶基数B-样条

0,其他.

Nm(x)(m≥2)定义为Nm(x)=(Nm-1*N1)(x)=

m

∫N

-∞

∞

m-1

(x-t)N1(t)dt=

N∫

0

1

m-1

(x-t)dt.

　　由基数B-样条函数的定义可求得其傅立叶变

收稿日期:2007-01-24修回日期:2007-05-21

作者简介:栾　丹(1977-),女,硕士研究生,主要从事算子理论与小波分析研究。

*广西研究生教育创新计划项目(2006105950701M03)资助。换为

1-e-iXsinX/2d　　N1(X)=()=e-iX/2,

XX/2-iX

m1-emdd　　Nm(X)=[N1(X)]=().iX栾　丹等:一种B-样条小波的构造　　　

139

因此计算简单,具有更大的实用价值.2.2　构造一个简单样条小波

　　取尺度函数U(x)为二阶B-样条函数N2(x),即　　U(x)=

x,　　0≤x<1;

2-x,1≤x<2;0,　　其他.

则由两尺度关系式得到P(z)=(Q(z)=P(-z)=(　　detM(z)

=

1+z2

),现取2

dm(X)=P(z)Ndm(X/2),z=由两尺度符号表达式Ne-iX/2得

mdm(X)m-ik2XN-m

　　P(z)=d=2∑e,

Nm(X/2)k=0k

mm!其中=Ckm=.从而可得

k!(m-k)!k

m

ikXm-ik2X--m

　　P(z)=1/2∑pm,ke2=2∑e=>

kk=0km2-m+1,0≤k≤m;

pm,k=k=>两尺度关系

0,其他.m

-m+1m

Nm(x)=∑2Nm(2x-k).

kk=0

对于每个j∈Z,定义

　　Vj=ClosL2{22Nm(2x-k);k∈Z},根据文献[1,2]可知{Vj}j=-∞是L(R)的一个多分辨分析,由文献[1],称子空间Wj(j∈Z)为相对于尺度函数Nm的小波子空间,而称V为L(R)的逼近子空间.众所周知,小波子空间W也是由某个基本小波7(x)按照Nm(x)生成Vj的方式生成的,即以{7j,k(x)=227(2x-k);k∈Z}为基生成的.

j

j

m

mjmj

2

m

m

∞

2

m

j

j

1[(1+z)4-(1-z)4]≠0,4

可见其满足引理1的条件.　　经计算得相应小波函数为1-z2

),则当ûzû=1时,有212122(1+z)2(1-z)22

=

12122(1-z)2(1+z)22

2　样条小波的构造

2.1　样条小波构造方法

　　引理1　给定序列{pn:n∈Z},{qn:n∈Z},

则{U(x-n),7(x-n):n∈Z)是V1的一个Riesz基,如且仅如对于所有的ûzû=1,两尺度矩阵M(z)是可逆的,即detM(z)≠0.

　　由引理1我们知道要构造的两尺度符号Q(z)必须满足两个条件:

　　(Ⅰ)A2≤ûQ(z)û2+ûQ(-z)û2≤B2,A2,B2为两个正常数;　　(Ⅱ)detM(z)=

≠0.

Q(z)Q(-z)

　　根据文献[4]得到传递函数构造样条小波的步

dd(X),展开骤为:由两尺度方程U(2X)=H(X)UH(X),得到两尺度序列{pk:k∈Z};构造小波传递

函数G(X),直接展开G(X),求出序列{qk:k∈Z},使得两尺度符号q(z)满足对于任意的ûzû=1,

P(z)P(-z)

detM(z)=≠0;通过取傅立叶逆

Q(z)Q(-z)

变换就可得出小波7(x).在文献[4]中构造的样条小波需要通过傅立叶逆变换求得其表达式,当求高阶的样条小波时其卷积和导数都难于求得,而本文构造的样条小波选取特殊的Q(z)=P(-z),这样两尺度序列有明确表达式,不需要求傅立叶逆变换,P(z)

P(-z)

[3]

x,　　　0≤x<1;

2

1-3x+2,≤x<1;

2

　　7(x)=33x-4,　1≤x<;

2

3-x+2,≤x<2;

2

0,　　　其他.

2.3　任意阶样条小波的构造　　取尺度函数U(x)为一般的m阶B-样条Nm(x),由两尺度关系式得到P(z)=(1+z)m,取

2

1-zm

Q(z)=P(-z)=(),则当ûzû=1时,有

21m1mm(1+z)m(1-z)22

　　detM(z)==

11mm(1-z)(1+z)2m2m

12m2m2m[(1+z)-(1-z)]≠0,又因为A≤ûP(z)û4

222

+ûP(-z)û≤B,所以A≤ûQ(z)û+ûQ(-z)û≤B也成立.由等式Q(z)=1∑qm,kzk=P(-z)

2k

11k=pm,k(-z)=(-1)kpm,kzk,可知qm,k

∑∑2k2k

kk-m+1m

=(-1)pm,k=(-1)2,得到B-样条小波

k

为

mm

(-1)km

　　7(x)=∑qm,kU(2x)=∑m-1Nm(2x

2k=0k=0k

-k).

(下转第143页)　　兰继斌等:三角模糊数的一种新排序方法　　　

143

fuzzyweightsusingmaximizingsetandminimizingset[J].FuzzySetsandSystems,1999,105:365-375.[5]　YAOJ,WUK.Rankingfuzzynumbersbasedon

decompositionprincipleandsigneddistance[J].FuzzySetsandSystems,2000,166:275-288.[6]　CHUT.Rankingfuzzynumberswithanarea

betweenthecentroidpointandoriginalpoint[J].ComputersandMathematicswithApplications,2002,43:111-117.

[7]　YONGD,ZHUZ,LIUQ.Rankingfuzzynumberswith

anareamethodusingradiusofgyration[J].ComputersandMathematicswithApplications,2006,51:1127-1136.

[8]　LIUX,HANS.Rankingfuzzynumberswith

expectations[J].

ComputersandMathematicswithApplications,2005,preference

weighting

function

49:1731-1753.

[9]　ASADYB,ZENDEHNAMA.Rankingfuzzynumbers

bydistanceminimization[J].AppliedMathematical

2598.Modelling,2007,31(11):2589-[10]　WANGX,KERREEE.Reasonablepropertiesforthe

orderingoffuzzyquantities(Ⅰ)[J].FuzzySetsand385.Systems,2001,118:375-[11]　WANGX,KERREEE.Reasonablepropertiesforthe

orderingoffuzzyquantities(Ⅱ)[J].FuzzySetsandSystems,2001,118:387-405.

[12]　王绪柱,单静.模糊量排序综述[J].模糊系统与数学,

2002,16(4):28-34.

[13]　郭志林,薛明志.Fuzzy区间数的一种排序方法及综

合评判模型[J].数学的实践与认识,2005,35(7):244-247.

[14]　刘华文.基于距离测度的模糊数排序[J].山东大学学

报:理学版,2004,39(2):30-36.

[15]　曾文艺,李洪兴,谷云东.模糊数的排序方法[J].北京

师范大学学报:自然科学版,2001,37(6):711-714.[16]　吴江,黄登仕.区间数排序方法研究综述[J].系统工

程,2004,22(8):1-4.

AA7A~3(A(10+0.55,-10+0.75),A)=(20+0.1,-A+0.65).

5

11　　取K=,根据(6)式得uA,=

33

1ee

7A1

+3060A-0.24e

-

7A1-3060e

--

A

+0.24A13+60601e

A13-6060e

.

1

1　　显然,矩阵U(A,3)是一致性正互反判断矩阵.在A截集下最大特征根所对应的特征向量为

7A1A+-0.2113060w(A,3)=(1,e,e4).根据(7)式得W(3)

1=(1,1.1438,0.9302).归一化后得W′()=

3

(0.3253,0.3721,0.3026),从而3个模糊数的优先

~2:~~3.顺序为AA1:A

5　结束语

　　本文针对三角模糊数,通过分析现有的关于模糊数排序的方法,从A截集定义左、右优于度着手,

构造一致性正互反优于度判断矩阵,根据其最大特征根所对应的规范化特征向量来确定各个模糊数在A水平下的排序,最后通过积分确定模糊数的排序.该指标满足模糊排序方法合理性的5个公理,为模糊数的排序增添了一种计算简便的新方法.

参考文献:

[1]　CHENL,LUH.Anapproximateapproachfor

ranking

fuzzy

numbersbasedonleftandright

dominance[J].ComputersandMathematicswithApplications,2001,41:1589-1602.

[2]　TRANL,DUCKSTEINL.Comparisonoffuzzy

numbersusingafuzzydistancemeasure[J].FuzzySets341.andSystems,2002,130:331-[3]　WANGY,YANGJ,XUD,etal.Onthecentroidsof

fuzzynumbers[J].FuzzySetsandSystems,2006,157:919-926.

[4]　RAJPAD,KUMARDN.Rankingalternativeswith

(责任编辑:尹　闯　邓大玉)　　

(上接第139页)

参考文献:

[1]　MALLATS.Multiresolutionapproximationand

waveletorthonormalbasesofL2(R)[J].TranAmer

87.MathSoc,1989,315:69-[2]　CHUICK,WJZ.Oncompactlysupportedspline

waveletandadualityprinciple[J].TranAmerMathSoc,1992,330(2):903-915.

[3]　程正兴.小波分析算法与应用[M].西安:西安交通大

学出版社,1998.

[4]　杨美香,丁宣浩.一种新的样条小波的构造[J].广西科

学院学报,2006,22(3):153-156.

(责任编辑:韦廷宗)