微分方程及应用

【实验类型】验证性 【实验学时】1学时 【实验目的】

掌握用MATLAB求常微分方程的解的方法。 【实验内容】

1．熟悉各种简单常微分方程及解法； 2．利用MATLAB求解常见常微分方程； 【实验方法与步骤】 一、实验的基本理论与方法

1．齐次方程的求解法。

2．一阶线性微分方程的求解法。 3．可降阶的高阶微分方程的求解法。 4．二阶线性微分方程的求解法。 二、实验使用的MATLAB函数 1. dsolve：求解常微分方程的通解。

dsolve命令的调用格式有：

◆dsolve('equ') ◆dsolve('equ', ' var')

上述命令调用格式中，equ为待求解的常微分方程，第一种调用格式视变量t为自变量进行求解；第二种调用格式中var为指定变量，dsolve将以var为自变量进行常微分方程的求解。

2. dsolve('equ', 'condition1,condition2,\",conditionm', ' var') 或

dsolve('equ', 'condition1', 'condition2',\", 'conditionm', ' var')：求解有初始条件的常微分方程。

以上两种调用格式所得结果完全相同，其中：equ为常微分方程；condition1, condition2,\",conditionm为初始条件；var为指定变量。

注：平时以y′′+2y′=x形式出现的常微分方程，在Matlab中需重新改写。Matlab中用

D表示对变量求导数，Dy表示对y求一阶导数，Dny表示对y求n阶导数，因此，

47

y′′+2y′=x这一常微分方程在Matlab中需描述为：D2y+2Dy=x

三、实验指导

例1、求解微分方程xy′−ylny=0。

可以执行以下命令：y=dsolve('x*Dy-y*log(y)=0','x') 则执行结果为： y =

exp(exp(C1)*x)

其中exp(C1)表示所求出的解为通解。若一时粗心，把执行命令写为： y=dsolve('x*Dy-y*log(y)=0') 则所得到的执行结果为： y =

exp(exp((t+C1)/x)) 显然结果相差甚远。

5

2y

=(x+1)2。 例2、求解微分方程y′−

x+1

可以执行以下命令：y=dsolve('Dy-2*y/(x+1)-(x+1)^(5/2)=0','x') 则执行结果为： y =

2/3*(x+1)^(3/2)*x^2+4/3*(x+1)^(3/2)*x+2/3*(x+1)^(3/2)+C1*x^2+2*C1*x+C1 例3、求解微分方程y′′′=e

2x

−cosx。

可以执行以下命令：y=dsolve('D3y=exp(2*x)-cos(x)','x') 则执行结果为： y =

1/8*exp(2*x)+sin(x)+1/2*C1*x^2+C2*x+C3 例4、求解微分方程yy′′−y′=0。

可以执行以下命令：y=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','x') 则执行结果为： y =

2

48

[ exp((x+C2)/C1)] 例5、求解微分方程y

(4)

−2y′′′+5y′′=0。

可以执行以下命令：y=dsolve('D4y-2*D3y+5*D2y=0','x') 则执行结果为：y =

C1+C2*x+C3*exp(x)*cos(2*x)+C4*exp(x)*sin(2*x) 例6、求解微分方程y′′−5y′+6y=xe。

可以执行以下命令：y= dsolve('D2y-5*Dy+6*y=x*exp(2*x)','x') 则执行结果为： y=

-1/2*exp(2*x)*(x^2+2*x+2)+C1*exp(2*x)+C2*exp(3*x) 例7、求解微分方程y′′+y=cos2x。

可以执行以下命令：y=dsolve('D2y+y=cos(2*x)','x') 则执行结果为： y =

(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+C1*sin(x)+C2*cos(x) 利用pretty命令将结果化为手写格式： pretty(y)

以上命令的执行结果为：

(1/2 sin(x) + 1/6 sin(3 x)) sin(x) + (1/6 cos(3 x) - 1/2 cos(x)) cos(x) + C1 sin(x) + C2 cos(x) 例8、求解微分方程xdy+2ydx=0,y

x=2

2x

=1。

可以执行以下命令：y=dsolve('x*Dy+2*y=0','y(2)=1','x') 则执行结果为： y = 4/x^2

例9、求解常微分方程w′′′=−w满足w(0)=1,w′(0)=0,w′′(0)=0的特解。 可以执行以下命令：w=dsolve('D3w=-w','w(0)=1,Dw(0)=0,D2w(0)=0') 则执行结果为：

49

w =

1/3*exp(-t)+2/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)

若想使得到的结果w为自变量x的表达式，只需执行以下命令： w=dsolve('D3w=-w','w(0)=1,Dw(0)=0,D2w(0)=0','x') 以上命令的执行结果为： w =

1/3*exp(-x)+2/3*exp(1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x) 【实验练习】

1、求解下列微分方程。

（2）ydx+(x−4x)dy=0； （1）xy′lnx+y=ax(lnx+1)；（3）

2

dyx

（4）y′′′+y′′−2y′=x(e+4)； +xy−x3y3=0；

dx

（5）y′′+2y′+5y=sin2x；

（6）求解微分方程y′′−y=4xe满足y(0)=0,y′(0)=1的特解。 （7）y′′+2y′+y=cosx，满足当x=0时，y=0,y′=

x

3

的特解。 2

50