2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(理)试题

2016-2017学年度下学期期末考试高二试题

数学(理)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U=R，集合A=xy=log-x2+2x{()}，B={yy=1+2x+1，那么

}A(CUB)=( )

A．{x02} D．{x12-2i(i为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( ) 1-iA．-1 B．1-i C．i D．1

3.若ò1(2x-1)dx=6，则二项式(1-2x)的展开式各项系数和为( )

nnA．-1 B．26 C．1 D．2n

14.设随机变量X服从二项分布，且期望E(X)=3，p=，则方差D(X)等于( )

53412A． B． C. D．2

5555.在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A．

9995 B． C. D． 5628149n6.已知(1+x)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( )

A．212 B．211 C.210 D．29

7.设随机变量X～N3,a2，若P(X>m)=0.3，则P(m>X>6-m)=( ) A．0.4 B．0.6 C.0.7 D．0.8

8.在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据： x ()4 1 m 8 3 10 5 12 6 y 2 1

由表中数据求得y关于x的回归方程为y=0.65x-1.8，则(4,1)，(m,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有( )个 A．1 B．2 C.3 D．0

9.甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有( )

A．210种 B．84种 C.343种 D．336种

10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13„，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则a2016a2018-(a2017)等于( )

A．1 B．-1 C.2017 D．-2017

11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C.472 D．484

纟1112.已知函数f(x)=alnx-x+，在区间ç内任取两个不相等的实数m、n，若不等式ç0,úú2x棼2mf(m)+nf(n)纟5轾5轹5-?,2,A．(-?,2] B．ç C. D．ú犏ê,+?÷ç÷ ú犏ê2棼2臌2滕第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

骣3x-13.在琪琪x桫6的二项展开式中，常数项为 ．

14.4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区进行了“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，得下列2´2列联表： 经常使用单车用户 不常使用单车用户 合计 年轻人 100 60 160 非年轻人 20 20 40 合计 120 80 200 则得到的c2= ．(小数点后保留一位)

2

(附：c2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n(ad-bc)2)

15.已知p:$x?R，mex+1?0，q:\"x?R，x2-2mx+1>0，若pÚq为假命题，则实数m的取值范围是 ．

16.已知f'(x)是函数f(x)的导数，\"x?R有f(x)-f(2-x)=6x-6，f'(x)-2x-1(x-1)轾臌<0，若f(m+1)为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行，某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项)，报名情况如下： 项目 人数 半程马拉松 2 10公里健身跑 3 迷你马拉松 5 (其中：半程马拉松21.0975公里，迷你马拉松4.2公里)

(1)从10人中选出2人，求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率；

(2)从10人中选出2人，设X为选出的两人赛程距离之和，求随机变量X的分布列. 18.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.

(1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率； (2)该考生答对理科题的概率均为

4，若每题答对得10分，否则得零分，现该生抽到3道理5科题，求其所得总分X的分布列与数学期望E(X). 19.已知函数f(x)=-alnx+x-(1)求实数a的取值范围；

(2)记f(x)的两个不同的极值点分别为x1,x2，若不等式f(x1)+f(x2)>l(x1+x2)恒成立，求实数l的取值范围.

20.已知函数f(x)=ex-x2-ax. (1)xÎR时，证明：ex?x1；

3

2a(a为常数)有两个不同的极值点. x

(2)当a=2时，直线y=kx+1和曲线y=f(x)切于点A(m,n)(m<1)，求实数k的值； (3)当021.(Ⅰ)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为a的直线l过点M(-2,-4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为rsin2q=2cosq. (1)写出直线l的参数方程(a为常数)和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与C交于A、B两点，且MA?MB40，求倾斜角a的值.

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+4m+x-m(m>0). (1)若函数f(x)的最小值为5，求实数m的值； (2)求使得不等式f(1)>5成立的实数m的取值范围.

22.(Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是ìïíx=2cosaïîy=2+2sina(a为参数，

0＃ap)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)写出C的极坐标方程；

(2)若A,B为曲线C上的两点，且∠AOB=p3，求OA+OB的范围. (Ⅱ)已知函数f(x)=2x-a+2x-4，g(x)=x-2+1. (1)a=0时，解不等式f(x)³8；

(2)若对任意x1ÎR，存在x2ÎR，使得f(x1)=g(x2)，求实数a的取值范围.

4

2016-2017学年度下学期期末考试高二试题

数学(理)参考答案

一、选择题

1-5:ADACB 6-10:DABDB 11、12：CB

二、填空题

13.1215 14.2.1 15.[1,+?骣1琪 16.)琪,1 3桫三、解答题

11C2C1617.解：(1)选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率P=28=.

C1045C52102(2)P(X=8.2)=2==；

C1045911C5C151P(X=14.2)=23==；

C10453C3231P(X=20)=2==；

C10451511C5C102P(X=25.2975)=22==；

C1045911C2C62P(X=31.0975)=23==；

C1045152C21. P(X=45.195)=2=C1045随机变量X的分布列为：

X P

8.2 2 914.2 1 320 1 1525.2975 2 931.0975 2 1542.195 1 4518.解：(1)记该考生在第一次抽到理科题为事件A，第二次和第三次均抽到理科题为事件

B.

5

123C4A6A4P(A)=3，P(B)=3，

A7A7该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率： PBA=()P(AB)P(A)3A41=12=. C4A65骣1(2)P(X=0)=C琪琪5桫033=1； 1254骣1P(X=10)=C琪琪5桫5132=12； 1251骣4P(X=20)=C琪琪5桫232骣1琪琪5桫=48； 125骣4P(X=30)=C琪琪5桫033=64. 125其所得总分X的分布列为：

X P 0 10 20 30 1 12512 12548 12564 125数学期望E(X)=24.

x2-ax+a19.解：(1)f'(x)=(x>0).

x2由函数f(x)=-alnx+x-a(a为常数)有两个不同的极值点. x即方程x2-ax+a=0有两个不相等的正实根. ìx1+x2=a>0ïï∴íx1x2=a>0，∴a>4. ï2ïîD=a-4a>0(2)由(1)知x1+x2=a，x1x2=a，a>4， ∴f(x1)+f(x2)=-alnx1x2+x1+x2-a所以l<-x1+x22>l(x1+x2)， x1x2lna恒成立. alna，a>4. a6

令F(a)=-

∵F'(a)=lna-1a2>0，F(a)递增， ∴F(a)>F(4)=-ln22， l?ln22. 20.解：(1)记F(x)=ex-x-1， ∵F'(x)=ex-1， 令F'(x)=0得x=0， 当x?(?,0)，F'(x)<0，F(x)递减；当x?(0,?)，F'(x)>0，F(x)递增，∴F(x)min=F(0)=0， F(x)=ex-x-1?0，

得ex?x1.

(2)切点为A(m,n)，(m<1)，则

ìïïn=km+1íïn=em-m2-2m，∴(m-1)em-m2+1=0， ïîk=em-2m-2∵m<1，∴em-m-1=0由(1)得m=0. 所以k=-1.

(3)由题意可得ex-x2-ax?0恒成立， 所以a£ex-x2x，

(exx)=-x2下求Gx的最小值，

xG'(x)=(x-1)e-x2(x-1)ex-xx2=(x2-1)-1=(x-1)轾臌e-x-1-1xx2，

由(1)ex?x1知ex-x-1?0且x£1. 所以G'(x)<0，G(x)递减， ∵x£1，∴G(x)?G(1)e-1.

所以a?e1.

7

ìïx=-2+tcosa21.(Ⅰ)(1)直线l的参数方程为íï(t为参数)，

îy=-4+tsina曲线C的直角坐标方程：y2=2x.

(2)把直线的参数方程代入y2=2x，得t2sin2a-(2cosa+8sina)t+20=0，

t1+t2=2cosa+8sinasin2a，t1t2=20sin2a， 根据直线参数的几何意义，MAMB=t201t2=sin2a=40， 得a=

p4或a=3p4. 又因为D=(2cosa+8sina)2-80sin2a>0， 所以a=

p

4

. (Ⅱ)(1)∵x+4m+x-m?44mm=m+m， ∴m+4m=5. 可得m=1或m=4. (2)由题意可知1+4m+1-m=1+4m+1-m>5， 当05，可得01时，1+4m-1+m>5，可得m>4. 综上实数m的取值范围为(0,1)(4,+?).

22.(Ⅰ)解：(1)r=4sinq，骣琪琪pq3p桫4＃4. (2)不妨设点A的极角为q，点B的极角为q+pp5p3，4＃q12， 则OA+OB=4sinq+4sin骣琪琪桫q+p3=43sin骣琪琪桫q+p6， 所以32+6?OAOB?43.

(Ⅱ)解：(1)a=0时，不等式f(x)³8等价于x+x-2?4， 当x£0时，-2x?2，解得x?1，综合得：x?1. 当0当x³2时，2x-2?4，解得x³3，综合得x³3.

8

所以f(x)³8的解集是(-?,1][3,+?).

(2)f(x)=2x-a+2x-4?(2xa)-(2x-4)=4-a，

g(x)=x-2+1?1，

根据题意4-a?1， 解得a³5，或a£3.

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