“等腰三角形”中考试题分类汇编(含答案)

17、等腰三角形

要点一、等腰三角形的性质及判定 一、选择题

1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；

2、（2009·威海中考）如图，ABAC，BDBC，若A40，则ABD的度数是（ ）

A．20

B．30

C．35

D．40

【解析】选B.由AB=AC, A40,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD=∠ABC-∠DBC =70°-40=30. 3.（2009·聊城中考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（ ）

A．62º B．38º C．28º D．26º

【解析】选C.在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED＝62º ,∴∠EAC=62º -

45 º =17 º ,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.

4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A

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等于（ ）

A、30o B、40o C、45o D、36o 【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,

∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xo,则∠ABD=xo, ∠C=∠ABC=∠BDC=2xo, 在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o

5、（2009· 武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ） A．70°

B．110 C．140°

B D．150°

O A C

D 【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°， 所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°， 所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°， 所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；

6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ） A．

3 2 B．

2 3 C．

1 2A D．

3 4B

60° P

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D C

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【解析】选B 因为∠APD＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD， 又因为∠BPA＝60°＋∠PAD，所以∠PDC=∠BPA， 又因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD， 所以

BPAB32,所以CD＝. CDPC23B．12cm

C．15cm

D．12cm或15cm

7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）

A．9cm 答案：选C 二、填空题

8. (2009·达州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.

【解析】由AB＝AC得∠B=∠C=答案：40°.

9.（2009·云南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）

11∠DAC=×80°=40°. 22

【解析】由∠ACB=90°，DE∥AC，得∠EDC=90°，又M为BE的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD

和△MDE是等腰三角形，∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC, ∴△EAD是等腰三角形.

答案：△MBD或△MDE或△EAD

10.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与

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CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．

【解析】∵正三角形ABC和正三角形CDE ∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE ∴ΔACD≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE

又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ 又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º ∴PQ∥AE,∵∠AOB=∠OEA＋∠OAE=

∠OEA＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC ∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE. 故恒成立的有①②③⑤ 答案：①②③⑤

11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该

为 。

答案：70,7040或70,55,55

12、（2007·江西中考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，BAD80°，

ABADDC，则C 度．

答案：25 三、解答题

13、(2009·绍兴中考) 如图，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°． （1）求DBC的度数；

（2）求证：BDCE．

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答案：（1）ΔABD是等腰直角三角形，BAD90°， 所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°, 所以∠CBD＝70°+45°＝115°．

(2)因为AB＝AC,BADCAE90°,AD＝AE, 所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．

14.（2009·河南中考）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

【解析】OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，

AC=BD， ∠BAC=∠ABD， AB=BA．

∴△BAC≌△ABD． ∴∠OBA=∠OAB,，∴OA=OB． 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB．

15、(2009·泸州中考)如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD， AD与BE相交于点F．

(1)求证：ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．

【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

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∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA 在△ABE和△CAD中， AB=CA，∠BAE=∠C,AE=CD, ∴△ABE≌△CAD

(2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD ∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为

一边向右作正三角形ADE。 （1）求△ABC的面积S；

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

【解析】（1）在正△ABC中，AD4323， 2S11BCAD42343． 22（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE． 在△CDF中，

CDE90°ADE30°，

CFD180°CCDE180°60°30°90°， AC⊥DE．

17、（2008·龙岩中考）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .

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【解析】我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB） 证明：在△ABC中， ∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°. ∵∠C=∠ABC， ∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB） 要点二、线段的垂直平分线的性质 一、选择题

1、（2009·怀化中考）如图，在Rt△ABC中，B90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知BAE10，则C的度数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60



【解析】选B．由B90，BAE10得∠AEB=80°，由ED是AC的垂直平分线得EA=EC，所以∠EAC=∠ECA=

11∠AEB=×80°=40°. 222、（2009·钦州中考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

【解析】选 A。线段垂直平分线判定定理：“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选A。

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3、（2009·云南中考）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16

A D E B C

【解析】选A.∵△ABC周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8， ∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+EC=BE+EC=AC=8, ∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13； 二、填空题

4、（2009·泉州中考）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ；

【解析】∵△ABC周长与四边形AEDC周长差等于12，∵DE是线段BC的垂直平分线∴△EDB≌△EDC，

∴BD+BE-DE=12，又∵BD+BE+DE=24，∴DE=6. 答案：6.

5、（2009·黄冈中考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．

【解析】如图（1）因为DE是AB的垂直平分线，又因为∠AED＝50°，所以∠A=40°，因为AB=AC，所以∠B=70°；

如图（2）因为DE是AB的垂直平分线，∠E＝50°，所以∠EAD=40°，因为AB=AC，所以∠B=20°；

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答案：70或20；

6、（2008·孝感中考）如图，AB=AC，么

；

，AB的垂直平分线交BC于点D，那

答案：60°

7、（2008·徐州中考）如图，Rt△ABC中，B90，AB3cm，AC5cm．将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长 = cm．

答案：7

8、（2007·陕西中考）如图，ABC50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的

平分线BE交AD于点E，连结EC，则AEC的度数是 ．

答案：115° 三、解答题

9、（2009·铁岭中考）如图所示，在Rt△ABC中，C90°，A30°．

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（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE． 求证：EF2DE．

【解析】（1）直线l即为所求．

（2）证明：在Rt△ABC中， A30°，ABC60°，又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EAEB， ∴EBAA30°，AEDBED60°， ∴EBC30°EBA，FEC60°． 又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴EDEC． 在Rt△ECF中，FEC60°，EFC30°， ∴EF2EC，∴EF2ED．

10、（2008·镇江中考）作图证明如图，在△ABC中，作ABC的平分线BD，交AC于D，

作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

【解析】（1）画角平分线，线段的垂直平分线． （2）△BOE≌△BOF≌△DOF

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11、（2007·成都中考）已知：如图，△ABC中，ABC45°，CDAB于D，BE平

分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与

BE相交于点G．

（1）求证：BFAC； （2）求证：CE1BF； 2（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． 【解析】（1）证明：∵CDAB，ABC45°，

∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BDCD．

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵DBF90°BFD，DCA90°EFC，

且BFDEFC，

∴DBFDCA．

又∵BDFCDA90°，BDCD，

∴Rt△DFB≌Rt△DAC． ∴BFAC．

（2）证明：在Rt△BEA和Rt△BEC中

∵BE平分ABC， ∴ABECBE．

又∵BEBE，BEABEC90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC． ∴CEAE1AC． 2又由（1），知BFAC，

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∴CE11ACBF． 22（3）CEBG． 证明：连结CG．

∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BDCD．

又H是BC边的中点，

∴DH垂直平分BC． ∴BGCG．

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边， ∴CECG． ∴CEBG．

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