初三数学解直角三角形

葛泉云 苏州市文昌实验中学

【课标要求】

1．掌握直角三角形的判定、性质．

2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．

3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题． 4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．

5．能根据已知条件求锐角三角函数值． 6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．

7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题． 8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题． 【课时分布】

解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）． 课时数 1 2 2 【知识回顾】 1．知识脉络

解 直角 三 角形

2．基础知识

内容 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单的解直角三角形 解直角三角形的应用 解直角三角形单元测试及评析 直角三角形的边角关系 解直角三角形 已知一边一锐角解直角三角已知两边解直角三角形 添辅助线解直角三角形 已知斜边一锐角解直角三角已知一直角边一锐角解直角三角已知两直角边解直角三角形 已知斜边一直角边解直角三角形 实际应用 直接构建直角三角形 建模出数学图形，再添设辅助线求解 1

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

A 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°； 222

A ⑹射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB．

锐角三角函数的定义： C c 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

b ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c, abab

则sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=

ccba

C a B D B 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况） 1．  sin cos tan 13330° 223

221 45° 22 1360° 3 22

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．

⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA=

cot 3 1 3 3A 的邻边bA 的对边a＝． ＝,cosA=

斜边c斜边c tanA=

A 的对边aA 的邻边b＝,cotA=＝．

A 的邻边bA 的对边a⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角． ②已知两边．

③解直角三角形的应用． 2．能力要求

例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．

2

【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．

【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A． A D 22在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝ACBC＝10， BC4AC3

∴sin∠BCD=sinA= = ,cos∠BCD=cosA= = ,

AB5AB5BC4AC3

tan∠BCD=tanA= = ,cot∠BCD=cotA= = ．

AC3BC4

B C 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，

即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三角函数定义直接求出）

例2 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）

C 【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，

故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求

A 出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的30° G 长．

60° 【解】 过点A作AG⊥CD，垂足为点G，

B E D 在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6， CG3

∴tan30°= ，∴CG=6× =23

AG3

F 23+1.5CDCD

∴CD=23 +1.5,在Rt△CED中，sin60°= ，∴EC= ==4+3 ．

ECsin60°32答：拉线CE的长为4+3 米．

【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结．

例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？

【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．

3

1

【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB= =2，∴∠B=63.43°．

0.5⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD， 垂足分别为E、F．

ME1

由题意可知：ME＝NF＝5，∴ ＝ ，

AE0.5∴AE＝DF＝2.5，

∵AD=4， ∴MN=EF=1.5， 1

∴S梯形ADNM＝ (1.5+4)×1＝2.75．

2∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．

M A E N D F B C 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝

垂直高度

＝坡角的正

水平距离

切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．

例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,cot32°≈1.600）

【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解Rt△ADC 和Rt△BDC即可．

D 【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．

A B

由题知：∠=45°，∠=32°．

BD

在Rt△BDC中，sin32°= ，∴BD＝100sin32°≈52.99． BCCD

cos 32°= ，∴CD=100 cos 32°≈84.80．

BC

在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80． ∴AB=AD+BD≈138米． 答：AB间距离约为138米．

【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．

例5 在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．

4

北 C (1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．

(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据21.41，31.73)． 【分析】⑴由题意易知． ⑵先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可．

【解】⑴100； (6010t)．

⑵作OH⊥PQ于点H，可算得

（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则P，H20t102OH1002141算得t52（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5（千米）＜141（千米）．

∴城市O不会受到侵袭．

【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．

例6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60° ，沿山

1

坡向上走到P处再测得点C的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为 ，（即

2

1

tan∠PAB= ）且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P

2

的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）． 【分析】很显然，电视塔OC的高在Rt△OAC

C 中即可求得.

要求点P的铅直高度，即求PE的长，由坡山坡 度i=1:2，可设PE=x,则AE＝2x.此时只要列出关于x的的方程即可.而此时要借助于

P 4545°所在的Rt△来解决.故过点P作PF⊥F 60OC，垂足为F.在Rt△PCF中，由PF＝CF，O B A E 水平地面 得100+2x=1003 –x,即可求得PE的长. 【解】过点P作PF⊥OC，垂足为F.

在Rt△OAC中,由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA tan∠OAC=1003 米. 过点P作PE⊥AB，垂足为E.由i=1:2,设PE=x,则AE＝2x. ∴PF＝OE＝100+2x，CF＝1003 –x.

100 3- 100

在Rt△PCF中,由∠CPF＝45°，∴PF＝CF,即100+2x=1003 –x, ∴x＝,

3

100 3- 100

即PE=

3

5

100 3- 100

答：电视塔OC高为1003 米.点P的铅直高度为 米.

3

【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系． 【复习建议】

1、 立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本

方法和基本技能．

2、 重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结

和升华．

增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力． 3、 加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，

促进学生更快、更好地构建数学知识网络．

4、 重视题型的生活化，复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之

间的关系，引导学生用数学的眼光来看待问题．

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