大一下学期高等数学期末考试试题及答案

院（系）别 班级 学号 姓名 成绩

1、已知向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png、0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png满足435fa50d732802944d3bc84077c6c7.png，e1f90272453dbf09691042c72dc70b3b.png，2754a04e04c90cd1a2df98af4b940757.png，则40b02c46ad0a2f49ce3dcdf9a2bd9b26.png ．

2、设1e6c72c676e1459d042ec5ed5b446e.png，则109c807ac1532ee97a0bd4bdd536019e.png ．

3、曲面60eb2361413656dc2496939fb76ec017.png在点cb34051fcb1653c8a1ebefa8a9eb6b0b.png处的切平面方程为 　　 ．

4、设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是周期为a1c836d0e4b0212c512b016cba67a88b.png的周期函数，它在113a7a08f6fa04fdb66db4a774de09.png上的表达式为f8abf34599677984dfe91b4f3003f6.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的傅里叶级数

在5870bb658ee9e8a6900c138365dc80.png处收敛于 ，在104dc80ca0225eb4063a51a7c6cb9ec8.png处收敛于 ．

5、设d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png为连接18ebe14b7333126e1b10f0a1b84a37f1.png与2ddfba5f020c79cd6efa2d7be8407017.png两点的直线段，则4a2eb5de7fcd7fbdead751605954928e.png ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

1、求曲线e5f9fdfa7d6eac06a11fe8509e175b.png在点5d2aeb05dde80a94548fb618a06eae85.pngeb20726a0e42ae33dac72b2e5ccb14ef.png处的切线及法平面方程．

2、求由曲面08fe75777bfd3bc7a10292797178af81.png及1cfbd70e39a0f0d827a2982ec2ab0a9c.png所围成的立体体积．

3、判定级数586bf377259370603c96a3b814e7e213.png是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

4、设36261c33a494629c4c3e85f29ed846.png，其中8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png具有二阶连续偏导数，求1efc3705976f6773f1fb5c9df4b1088a.png．

5、计算曲面积分ff57aaec32d1e000608ac98b6f7b55.png其中e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png是球面65ca777cd54faa934820c47ffe302f41.png被平面c47b21b3caf96d72ef668e70b77e0709.png截出的顶部．

三、（本题满分9分）

抛物面1adcc7c88e7492b6c6aa066fe8125bb8.png被平面2851f02aa2bd493a32b1d1fc09a0ecc7.png截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、（本题满分10分）

计算曲线积分1e9f77952e7d6c972d20f13d41b110.png，

其中6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为常数，d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png为由点a7a19f0bc270506bcbeaa22cc0be.png至原点18fc4c8c1ba5b3f94dbd306cf916f9e3.png的上半圆周d4a9993bcea035938bcb57304c8b2f07.png．

五、（本题满分10分）

求幂级数82db8f3e8e0148d854323187c1970fd5.png的收敛域及和函数．

六、（本题满分10分）

计算曲面积分860b9ae57d1885309982752a0b08195e.png，

其中e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png为曲面e276d1dc26912d2457fb730c323be982.png的上侧．

七、（本题满分6分）

设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为连续函数，28e6504280202e340435c4409bd5fa3d.png，c9b2d1da4133fde2842303d8bd3f7ab4.png，其中d87159bab4ff24d593e2305ceddf2960.png是由曲面ab3f2286b3df4b00c695995bb1a952.png与05a0fac655e1830d0d304acb432ae3.png所围成的闭区域，求 0db7d86d54f2b651602953e6d8a7b0b4.png．

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备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面0616fbe77335f9ce9120471a4e77eb61.png答题纸0616fbe77335f9ce9120471a4e77eb61.png草稿纸由表及里依序对折上交；

不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、40840efe8331e25667b1a21ac77f95.png； 2、88dd92b74a3041e3536c8d8ba6a28319.png；3、e9b430ce874e85004b2112230e659b96.png； 4、3，0； 5、d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1、解：方程两边对9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png求导，得32109f67fe99df0f08349317f2736e.png， 从而a5e694fe0f6e36e7605613c13cfb93.png，20e444034e2e8b7eaa463799f77588b8.png…………..【4】

该曲线在0062061e2e96775aa1bbb105dd3b9987.png处的切向量为19fc7bcb6a2c321693d93eff6c3131.png…………..【5】

故所求的切线方程为d4c2f911f1f5de0aa845a0fae598f4c7.png………………..【6】

法平面方程为 31ea99728463e8b86a802dede417a06e.png 即 8adad0fc224f87386cfc3628e8601cb8.png……..【7】

２、解：a6711daacba17e3db7fe77267d04b661.png9271f0c7226f06dd1446efa82f5b1e.png，该立体66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png在4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png面上的投影区域为bb03884b2861c56be388502ba6ddc572.png．…..【2】

故所求的体积为fdc12427275e150ed0ec0341fc6d3280.pngdf1993619129795ac9e7bdaa6f5e1a45.png……..【7】

３、解：由2bb23022fce958282716aa1b017927a6.png，知级数5206265b4c1321c6c285d375936a3b.png发散…………………【3】

又e43dbe298d97027ddbd3090b5b09b863.png,1bed8de10bf7b18ad1c8f6b3d33a328e.png.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：269df3ed4c5a7a4be635234ccff443.png， …………………………………【3】

0b6e11281709637fa66915d5b6221907.pngf116338b598c294957ffbdf376e5fdbc.png【7】

５、解：e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png的方程为37b9d307da9548ecb85a60ae985de3e8.png，e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png在4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png面上的投影区域为33bf19a13feb7e3c24ec03561670163a.png．

又095cf61f185cf299ba9dbd36e38d85ef.png，…..………【３】

故30149ac8dfa160769b14fff04101de.png4dd33ae3a248fc71e533a884ade54ad2.png..【7】

三、【9分】解：设61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png为该椭圆上的任一点，则点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png到原点的距离为6fb513a61824913ceab19f91c7c237c1.png……【1】

令a195545bcce15b6962ab9e4b1cd840.png，

则由ccc8ef051b2dc96b35c00efa0522d358.png，解得d443b9fbbb0d5fb08816ddafdf5e2a1c.png，7c453f0568b9c8512ea675b5b7749e17.png．于是得到两个可能极值点

c3544ae7c2f588ca3e111d0b968c6f.png…………………【7】

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故865529e3e885f116331cb4151750112c.png ……【9】

四、【10分】 解：记d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png与直线段535a1f24db2befd1c810f37be6c9e5.png所围成的闭区域为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，则由格林公式，得

8871d52c7271209dbc728b6d3009.png．………………【5】

而ef8054673cf0e1ee8408f5dc84f5ea62.png…………【8】

95e029696a8e77db6f75665ec095.pngeeb49af56dee28612aada40cd045e9ac.png ………………………【10】

五、【10分】解：d3be9ba11b2573b25f3419a498076e52.png，收敛区间为 94c0a37e7db8fc10b0120404fc57ee40.png…………【2】

又当5870bb658ee9e8a6900c138365dc80.png时，级数成为0473bd385866a66f0fa7a61f482d8a9f.png，发散；当a8cadbbb54279c78ce19f85632fa0327.png时，级数成为205d1f969a99a9deee8c1a38817ea316.png，收敛．……【4】

故该幂级数的收敛域为525435c9e3b1a09867c35b701d1d3e.png………【5】

令c4994cb281cf58d4f569dd7fc0ae68a2.png（47bd6b35da37766fbcd2e39ecd5b4c.png），则

b0a053a75e52ee0d55ee8276709c061f.png, (36221f59db4b9e3deca5ff87223a3ca9.png) ……【8】

于是08e46b04838b276224d2b6fcb4dee82e.png，（47bd6b35da37766fbcd2e39ecd5b4c.png）………………….【10】

六、【10分】解：取e40860fe2e8127539f72cf4e5afa3974.png为6c983822b58c69fa3636f154aa6520f8.png的下侧，记e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png与e40860fe2e8127539f72cf4e5afa3974.png所围成的空间闭区域为66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png，则由高斯公式，有c0d4fa72292a51b5ff93cc3c4552c00b.png………….… 【5】

9000b310d8022a040742f37e6cd15729.png…………………….…【7】

而fd54f62b8846a0b6d4bfcfb735feb9ef.png….… 【9】

61210ccd48f56092cd439e47e147d45b.png…………………….… 【10】

七、【6分】解：adc9cb6093021a3daaadcb9ac1abc21c.png….… 【2】

f2b67a9ebe7341c557a88cb2821c874b.png

fa3fd060f63401330448c5cfd6bc2742.png….… 【4】

故3b362d6ad9359d41e1490cabb8182006.png 【6】