最新沪科版数学九年级上册21章整合提升试题及答案

最新沪科版数学九年级上册21章解码专训一：函数中的决策问题

名师点金：函数中的决策问题通常包括三类：利用一次函数进行决策，利用二次函数进行决策，利用反比例函数作决策．其解题思路一般是先建立函数模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用函数的图象和性质去分析、解决问题．

利用一次函数作决策

题型1 购买方案

1．(2015·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.

若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送．

(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式； (2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购买房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．

题型2 生产方案

2．(2015·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲，乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是

1

多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)

题型3 运输方案

3．(2015·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：

每辆汽车装鱼量(吨) 每吨鱼获利(万元) 数表达式；

(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．

利用二次函数作决策

题型1 几何问题中的决策

4．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB为x m，面积为S m2.

(1)求S与x的函数表达式；

(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？

(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

鲢鱼 8 0.25 草鱼 6 0.3 青鱼 5 0.2 (1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函

(第4题)

2

5．如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．

(第5题)

题型2 实际问题中的决策

6．(2014·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1 500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1 300(0＜x2≤20，x2为整数)．

11

(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的9倍，且空调采购单价不低于1 200元/台，问该商家共有几种进货方案？

(2)该商家分别以1 760元/台和1 700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房

3

间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．

(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；

(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？

利用反比例函数作决策

8．某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了该项工程中运送土石方的任务．

(1)该运输公司平均每天的工作量v(单位：立方米/天)与完成运送任务所需的时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？

(2)这个运输公司共有100辆卡车，若每天一共可运送土石方104立方米，则公司完成全部运输任务需要多少时间？

(3)当公司以问题(2)中的速度工作40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，则公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？

4

解码专训二：函数与几何的综合应用

名师点金：初中阶段函数与几何的综合应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，以及图象特征，从而解决与一次函数、反比例函数和二次函数有关的问题，另一方面已知函数的表达式可求出点的坐标，进而解决有关几何问题．

与三角形的综合

1．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，

1

0)，B(0，2)，抛物线y＝2x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．

(第1题)

6

2．(2015·枣庄)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝x(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点．

(1)求一次函数的表达式；

6

(2)根据图象直接写出使kx＋b(第2题)

5

与四边形的综合

题型1 与平行四边形的综合

6

3．如图，过反比例函数y＝x(x＞0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双

33

曲线y＝－x(x＜0)于点B，过B作BC∥OA交双曲线y＝－x(x＜0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC＝3，求OE的长．

(第3题)

题型2 与矩形的综合

(第4题)

4．(2015·烟台)如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4，0)和(0，

k

2)，反比例函数y＝x(x>0)的图象过对 角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．

5．(2015·德州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB.

(1)求证：四边形AEBD是菱形；

(2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的双曲线的函数表达式．

6

(第5题)

题型3 与菱形的综合

(第6题)

2

6．二次函数y＝3x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn，在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为________．

7．(2015·武威)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O

k

重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y＝x(k>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．

(1)求k的值；

k

(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝x(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．

(第7题)

7

题型4 与正方形的综合

8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，

k

OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y＝x(x＞0，k≠0)的图象经过线段BC的中点D.

(1)求k的值；

(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的表达式并写出x的取值范围．

(第8题)

9．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)图甲中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；

(2)如图乙，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)． ①AE＝EF是否总成立？请给出证明；

8

②在如图乙所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．

(第9题)

9

解码专训三：探究二次函数中存在性问题

名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索特殊几何图形的存在性问题，探索周长有关的存在性问题，探索面积有关的存在性问题．

探索与特殊几何图形有关的存在性问题

1．(中考·扬州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(第1题)

探索与周长有关的存在性问题

2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A，O，B三点的抛物线对应的函数表达式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

10

(第2题)

探索与面积有关的存在性问题

3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式；

(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

(第3题)

11

解码专训四：二次函数与反比例函数中常见的热门考点

名师点金：二次函数与反比例函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识结合，又可以与几何知识结合．在中考中，反比例函数常与几何知识考查体现k的几何意义，而二次函数常以实际应用题或综合题的形式出现，重点考查最值或存在性问题．

二次函数的图象与性质

1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A．开口向下

B．对称轴是直线x＝－1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点

2．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

(第2题)

(第4题)

3．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．

4．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．

用待定系数法求二次函数的表达式

12

5．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________．

6．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

温度t/℃ 植物高度增长量l/mm 这种植物生长的温度为______℃.

7．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线对应的函数表达式．

－4 41 －2 49 0 49 1 46 4 25 科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合

(第7题)

二次函数与一元二次方程或不等式的关系

8．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0

9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是( )

x y －3 12 －2 5 －1 0 0 －3 1 －4 2 －3 3 0 4 5 5 12 A.x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜3

13

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是( )

(第10题)

A．a－b＋c＝0

B．x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 C．a＋b＋c＞0

D．当x＜1时，y随x的增大而减小

11．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4. (1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数； (2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．

二次函数的应用

12．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．

14

13．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.

(1)求点B的坐标；

(2)求抛物线对应的函数表达式；

(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(第13题)

反比例函数的图象与性质

m＋114．(2015·海南)点A(－1，1)是反比例函数y＝x的图象上一点，则m的值为( )

A．－1 B．－2 C．0 D．1

4

15．对于反比例函数y＝x，下列说法正确的是( ) A．图象经过点(2，－2) B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大

D．当x>0时，y随x的增大而减小

15

6

16．已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )

A．y3(第17题)

k

17．(2015·眉山)如图，A、B是双曲线y＝x(k≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( ) 48

A.3 B.3 C．3 D．4

18．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比

m

例函数y＝x的图象的两个交点．求：

(1)反比例函数和一次函数的表达式；

(2)直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

m

(3)方程kx＋b－x＝0的解(请直接写出答案)；

m

(4)不等式kx＋b－x<0的解集(请直接写出答案)．

(第18题)

反比例函数在实际生活中的应用

19．某数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么这些同学所制作的矩形长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )

16

20．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，点P(5，1)在其图象上，则当力达到10 N时，物体在力的方向上移动的距离是________m.

21．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10 L)，小敏每次用半盆水(约5 L)．如果她们都用了5 g洗衣粉．第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5 g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2 g.

(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y(g)与漂洗次数x(次)之间的函数表达式；

(2)当洗衣粉的残留量降至0.5 g时，便视为衣服漂洗干净．从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？

反比例函数与一次函数、几何图形的综合

3622．(2015·东营)如图是函数y＝x与函数y＝x在第一象限内的图象，点P是63y＝x的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝x的图象于点C，PB⊥y轴于点B，

3

交y＝x的图象于点D.

(1)求证：D是BP的中点； (2)求四边形ODPC的面积．

17

(第22题)

23．(2015·宜宾)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x

3

轴，A－3，2，AB＝1，AD＝2.



(1)直接写出B、C、D三点的坐标；

(2)将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数k

y＝x(x>0)的图象上，得矩形A′B′C′D′，求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的表达式．

(第23题)

18

答案

解码专训一

1．解：(1)当1≤x≤8时，y＝4 000－30(8－x)＝4 000－240＋30x＝30x＋3 760； 当8＜x≤23时，y＝4 000＋50(x－8)＝4 000＋50x－400＝50x＋3 600. 30x＋3 760（1≤x≤8为整数），∴所求函数表达式为y＝

50x＋3 600（8＜x≤23为整数）.(2)当x＝16时，方案一每套楼房费用(设为W1元)： W1＝120×(50×16＋3 600)×92%－a＝485 760－a； 方案二每套楼房费用(设为W2元)： W2＝120×(50×16＋3 600)×90%＝475 200.

∴当W1＜W2时，即485 760－a＜475 200时，a＞10 560；

当W1＝W2时，即485 760－a＝475 200时，a＝10 560；当W1＞W2时，即485 760－a＞475 200时，a＜10 560.

因此，当每套赠送装修基金多于10 560元时，选择方案一合算； 当每套赠送装修基金等于10 560元时，两种方案一样； 当每套赠送装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．

2．解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A产品．

由题意得4x＋2(60－x)≤200，解得x≤40.

w＝30[12x＋10(60－x)]－80×60－5[4x＋2(60－x)]＝50x＋12 600， ∵50＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝40 时，w取得最大值，为14 600元．

答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．

3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x－y)辆． ∵8x＋6y＋5(20－x－y)＝120，∴y＝－3x＋20.

x≥2，x≥2，(2)∵y≥2，∴－3x＋20≥2，

20－x－y≥2.20－x－（－3x＋20）≥2.

解得2≤x≤6.

19

设此次销售获利为W万元，则W＝0.25×8x＋0.3×6y＋0.2×5(20－x－y)＝－1.4x＋36.

∵k＝－1.4＜0，∴W随x的增大而减小， ∴当x＝2时，W取得最大值，为33.2万元． 此时y＝－3x＋20＝14，20－x－y＝4.

故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大且最大利润为33.2万元．

4．解：(1)因为宽AB＝x m，则BC＝(24－3x) m，此时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.

(2)由已知得－3x2＋24x＝45，化为x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜14

24－3x≤10，得3≤x＜8，∴x2＝3不符合题意，故AB＝5 m，即该鸡舍的宽为5 m.

1414

(3)S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵3≤x＜8，∴当x＝32

时，S最大值＝463 m2.∴能围成面积比45 m2更大的鸡舍．鸡舍的长取10 m，宽取22

43 m，这时鸡舍的最大面积为463 m2.

5．解：(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm.若△PBQ是11

直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝2BP或BP＝2BQ，即11

t＝2(3－t)或3－t＝2t.解得t＝1或t＝2，即当t为1 s或2 s时，△PBQ是直角三角形．

11

(2)过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝2BP＝2(3－t)cm.∴PM＝3

BP2－BM2＝2(3－t)cm.∴S

四边形APQC

1313

＝S△ABC－S△PBQ＝2×3×23－2t·2(3－t)

3339333393

＝4t2－4t＋4，即y＝4t2－4t＋4，易知03322733273

于是y＝4t－2＋16，∴当t＝2时，y取得最小值，为16，即当t为

32732

s时，四边形APQC的面积最小，最小值为 cm. 216

6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x1台，则冰箱的采购数量为(2011x1≥（20－x1），

9－x1)台，由题意，得解得11≤x1≤15，∵x1为整数， －20x1＋1 500≥1 200，

20

∴x1可取的值为11，12，13，14，15，∴该商家共有5种进货方案． (2)设总利润为W元，y2＝－10x2＋1 300＝－10(20－x1)＋1 300＝10x1＋1 100，则W＝(1 760－y1)x1＋(1 700－y2)x2＝1 760x1－(－20x1＋1 500)x1＋(1700－10x1－1 100)(20－x1)＝1 760x1＋20x12－1 500x1＋10x12－800x1＋12 000＝30x12－540x1＋12 000＝30(x1－9)2＋9 570，当x1＞9时，W随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，∴当x1＝15时，W最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650.

答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10 650元． 1

7．解：(1) y＝50－10x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．

11

(2)由题意可知，W＝50－10x(180＋x－20)，即W＝－x2＋34x＋8 000.

10

11

(3)∵W＝－10x2＋34x＋8 000＝－10(x－170)2＋10 0，

∴当x<170时，W随x的增大而增大，又∵0≤x≤160，∴当x＝160时，W1

最大值＝10 880，此时，y＝50－10×160＝34.

答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10 880元． 8．解：(1)因为工程需要运送的土石方总量为106立方米，所以运输公司平均每天的工作量v与完成运送任务所需要的时间t之间成反比例关系且函数表达

106

式为v＝.

t

106

(2)由vt＝10，把v＝10代入，得t＝104＝100，

6

4

即若每天一共可运送土石方104立方米，则该公司完成全部运输任务需要100天．

(3)设要完成剩余的运输任务运输公司平均每天的工作量为v′立方米/天，工106－104×40作时间为t′天，则v′＝，把t′＝50代入，得v′＝1.2×104.

t′

由(2)得一辆卡车平均每天运送的土石方为104÷100＝100(米3)，所以要完成剩余的运输任务，运输公司至少需要再增加卡车(1.2×104－104)÷100＝20(辆)．

21

解码专训二

(第1题)

1．解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∴∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴AO＝CD＝1，BO＝AD＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1111)．∵点C(3，1)在抛物线y＝2x2＋bx－2上，∴1＝2×32＋3b－2，解得b＝－2，11

∴所求表达式为y＝2x2－2x－2.

6

2．解：(1)∵A(m，6)，B(3，n)两点在反比例函数y＝x(x>0)的图象上， ∴m＝1，n＝2，即 A(1，6)，B(3，2)．

又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y＝kx＋b的图象上， 6＝k＋bk＝－2∴，解之，得， 2＝3k＋bb＝8

即一次函数表达式为y＝－2x＋8.

6

(2)根据图象可知使kx＋b3.

(3)分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E、C，直线AB交x轴于D点．

令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4，0)． ∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC＝2. 11

∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝2×4×6－2×4×2＝8. 666

3．解：设Aa，a，则Ba－3，a，∴(a－3)·a＝－3. ∴a＝2.

3

∴A(2，3)，B(－1，3)．∵C(－3，0)，∴直线BC对应的函数表达式为y＝2393－2，x＋2.与y＝－x联立从而求出D. 2

399

∴求出直线AD的函数表达式为y＝8x＋4.∴OE＝4. 15

4.4 点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，把P点坐

22

2

标代入反比例函数表达式可得k＝2，所以反比例函数表达式为y＝x，D点的横212

坐标为4，所以AD＝4＝2，点E的纵坐标为2，所以2＝CE，CE＝1，则BE＝915

3，所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－4－1＝4.

5．(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边11

形OABC是矩形，∴DA＝2AC，DB＝2OB，AC＝BO，∴DA＝DB.∴四边形AEBD是菱形．

1

(2)解：连接DE，交AB于F，∵四边形AEBD是菱形，∴DF＝EF＝2OA＝31k99

，1，1

2，AF＝2AB＝1，∴E2.设所求反比例函数表达式为y＝x，把点E2代

k99

入得1＝，解得k＝.∴所求反比例函数表达式为y＝.

922x2

6．4n

(第7题)

7．解：(1)如图，过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为(4，3)， ∴OF＝4，DF＝3， ∴OD＝5，∴AD＝5， ∴点A坐标为(4，8)， ∴k＝xy＝4×8＝32， ∴k＝32；

32

(2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝x(x>0)的图象上D′点处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′.

∵DF＝3，∴D′F′＝3. ∴点D′的纵坐标为3，

323232

∵点D′在y＝x的图象上，∴3＝x，解得x＝3， 323220

即OF′＝3，∴FF′＝3－4＝3，

23

20

∴菱形ABCD平移的距离为3. 8．解：(1)∵正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．

k

∵D是BC的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y＝x(x＞0，k≠0)的图象经过点D，∴k＝2.

(2)当P在直线BC的上方，即0＜x＜1时， 2

∵点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y＝x.

2

x－2＝2－2x；当P在直线BC的下方，即x＞1∴S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·2

2－x＝2x－2， 时，同理求出S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·

2x－2（x＞1），

综上，S＝

2－2x（0＜x＜1）.

9．解：(1)如图甲，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF全等．

(第9题)

(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．

证明：如图乙，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图乙，过点F作FH⊥x轴于点H.

由①知，FH＝BE＝CH.

设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．

∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，a＝2或－2(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝2－1，∴点F的坐标为(2，2－1)．

24

解码专训三

1．解：(1)将A，B，C三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得

a－b＋c＝0，a＝－1，9a＋3b＋c＝0，解得b＝2，

c＝3.c＝3，

∴所求表达式为y＝－x2＋2x＋3.

(2)∵点A，B关于直线l对称，∴PA＝PB.

∴当点P为直线BC与l的交点时，△PAC的周长最小．由B(3，0)，C(0，3)易求直线BC的函数表达式为y＝－x＋3；将x＝1代入，于是易求点P的坐标为(1，2)．

(3)存在．点M的坐标为(1，1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．

点拨：对于(3)问，假设存在符合条件的点M，设M(1，m)，由A(－1，0)，C(0，3)，结合勾股定理易得MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2－6m＋10，得m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2－6m＋10＝10，得m＝0或m＝6；当m＝6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M的坐标为(1，1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．

2．解：(1)过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°. 由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝3.∴点B的坐标为(1，3)．

(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)，可设抛物线对应的函数表达式为y33

＝ax(x＋2)，将点B的坐标(1，3)代入，得a＝3，因此所求表达式为y＝3x223＋3x.

(第2题)

(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB对应的函数表达式为

25

3k＝3，k＋b＝3，

y＝kx＋b，则解得

23－2k＋b＝0.

b＝3.

32333

∴y＝3x＋3，当x＝－1时，y＝3，因此点C的坐标为－1，.

33．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)， 0＝1＋b＋c，b＝－3，

∴解得 2＝c.c＝2.

∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋2.

(2)当x＝3时，由y＝x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)，

∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度后过点C. ∴平移后抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋1.

(3)假设存在点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋1上，可设N点坐标为(x0，x02－3x0＋1)．由(2)知，BB1＝DD1＝1.

325

将y＝x－3x＋1配方得y＝x－2－4，

3

∴抛物线的对称轴为直线x＝2.

2

(第3题)

3

当0

∴x0＝1，此时x02－3x0＋1＝－1，∴点N的坐标为(1，－1)； 3

当x0>2时，如图②.

311

同理可得2×1×x0＝2×2×1×x0－2，



∴x0＝3，此时x02－3x0＋1＝1，∴点N的坐标为(3，1)．

26

综上，符合条件的点N的坐标为(1，－1)，(3，1)．

解码专训四 1．C

2．C 点拨：根据函数图象开口向下可得a＜0，所以①错误；当－1＜x＜3时，y＞0, 所以④正确；因为抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以b

其对称轴为直线x＝1，所以－2a＝1，因此2a＋b＝0，所以②正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，所以③正确．所以②③④正确．

117

3.4，8；x＞4 1

4.2 点拨：答案不唯一． 12

5．y＝－8x＋2x＋1 6.－1

－5a5

7．解：对称轴为直线x＝－2a＝2.又∵BC∥x轴，∴BC＝AC＝5.∵OC＝1125

4，∴OA＝3，∴A(－3，0)．∴9a＋15a＋4＝0.∴a＝－6.∴y＝－6x＋6x＋4.∴15

抛物线对应的函数表达式为y＝－6x2＋6x＋4.

8．A 9.D 10.D

11．解：(1)令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m－1515

＞0，∴m＜－16，此时二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有15

两个相等的实数根，即－16m－15＝0，∴m＝－，此时二次函数的图象与x

1615

轴只有一个交点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m－15＜0，∴m＞－16，此时二次函数的图象与x轴没有交点．

(2)由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.

∵x12＋x22＝5，∴2m2－10m－7＝5.∴m2－5m－6＝0.解得m1＝6，m2＝－1.

27

15

∵m＜－16，∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.

令x＝0，得y＝2，∴二次函数的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)． 32113

又∵y＝x＋3x＋2＝x＋2－4，∴顶点M的坐标为－2，－4.



13

设过点C(0，2)与M－2，－4的直线的函数表达式为y＝kx＋b，则

32＝b，k＝，321解得∴直线CM的函数表达式为y＝x＋2. 32－＝－2k＋b，b＝2.4

2

12．解：由题意，得y＝(x－40)[300－10(x－60)]，即y＝－10x2＋1 300x－36 000(60≤x≤90)．

配方，得y＝－10(x－65)2＋6 250. ∴当x＝65时，y有最大值6 250.

因此，当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．

(第13题)

13．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO.又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为(－3，1)．

1

(2)∵抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，∴1＝9a－3a－2，解得a＝2. 11

∴抛物线对应的函数表达式为y＝2x2＋2x－2.

(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，连接AP1，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC.∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1的坐标为(1，－1)；②若以点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，连接AP2，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴于点N，同理可证△AP2N≌△CAO.∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P211

的坐标为(2，1)，经检验，点P1(1，－1)与点P2(2，1)都在抛物线y＝2x2＋2x－2

28

上．

14．B 15.D 16.D

(第17题)

17．B 点拨：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBEkk1kkk

的中位线，则CD＝2BE.设Ax，x，则B2x，2x，CD＝4x，AD＝x－4x，∵

11kk8

△ADO的面积为1，∴2AD·OC＝1，2x－4x·x＝1.解得k＝3.

mm

18．解：(1)将B(2，－4)代入y＝x得－4＝2，解得m＝－8.

－8

∴反比例函数表达式为y＝x.

－8

∵点A(－4，n)在双曲线y＝x上，∴n＝2. ∴A(－4，2)．

把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝kx＋b得 －4k＋b＝2，k＝－1，解得 2k＋b＝－4，b＝－2.

∴一次函数的表达式为y＝－x－2.

(2)令y＝0，则－x－2＝0，x＝－2.∴C(－2，0)，∴OC＝2. 11

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝2×2×2＋2×2×4＝6. (3)x1＝－4，x2＝2. (4)－42. 19．A 20.0.5

21．解：(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数表达式分k1k2别为：y1＝x，y2＝x，

x1＝1x2＝1k1k23将和分别代入两个表达式得：1.5＝1，2＝1，解得：k1＝2，y1＝1.5y2＝2k2＝2.

3

∴小红的函数表达式是：y1＝2x， 2

小敏的函数表达式是：y2＝x；

29

32

(2)把y＝0.5分别代入两个函数表达式得：2x＝0.5，x＝0.5，

12解得：x1＝3，x2＝4，10×3＝30(L)，5×4＝20(L)，

答：小红共用30 L水，小敏共用20 L水，小敏的方法更值得提倡． 6

22．(1)证明：∵点P在双曲线y＝x上， 6

∴设P点坐标为m，m.



3

∵点D在双曲线y＝x上，BP∥x轴， 3

∴设D点坐标为m，m.

36

由题意可得BD＝m，BP＝m， 故D是BP的中点．

6

(2)解：S四边形BPAO＝m·m＝6，

33

设C点坐标为x，x，D点坐标为y，y，

133

则S△OBD＝2·y·y＝2， 133

S△OAC＝·x·＝，

2x2

33

∴S四边形ODPC＝S四边形PBOA－S△OBD－S△OAC＝6－2－2＝3.

23．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝2， 3113

∵A－3，2，AD∥x轴，∴B－3，2，C－1，2，D－1，2；

(2)∵将矩形ABCD向右平移m个单位， 31－3＋m，－1＋m，∴A′， 2，C′2

k

∵点A′，C′在反比例函数y＝x(x>0)的图象上， 31

∴2(－3＋m)＝2(－1＋m)，

33

解得：m＝4，∴A′1，2，∴k＝2，

∴矩形ABCD的平移距离m＝4， 3

反比例函数的表达式为：y＝2x.

30