第2章 圆
一、选
择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．如图1，正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与点
A，B重合，则∠BPC的度数为( )
图1
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
2．下列说法正确的是( ) A．长度相等的弧叫等弧 B．平分弦的直径一定垂直于该弦 C．三角形的外心是三条角平分线的交点 D．不在同一直线上的三个点确定一个圆
3．如图2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，则∠ADB的度数为( )
图2
A．45°
B．25°
C．22.5°
D．20°
4．如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长为( )
图3
A．8 2
B．4 2
C．2π
D．π
5．数学课上，老师让学生利用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条
直角边BC＝a.小明的作法如图4所示，你认为这种作法中判定∠ACB是直角的依据是( )
图4
A．有两个锐角互余的三角形是直角三角形 B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
6．今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，图5是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30 cm，扇面的宽度为18 cm，折扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为( )
图5
A．6 7 cm
B．8 7 cm
C．6 6 cm
D．8 6 cm
7．如图6，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为( )
图6
A．3
3
B. 2
C.
2 3
3
D.3 3
2
8．如图7，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.有下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC
＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )
图7
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9．如图8所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作________个．
图8
10．已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
11．已知⊙O的内接正六边形的周长为18 cm，则这个圆的半径是________cm. 12．工程上常用来测量零件上小圆孔的宽口，假设的直径是10 mm，测得顶端离零件表面的距离为8 mm，如图9所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.
图9
13．如图10，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________．
图10
14．如图11，将一块长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为________cm.(结果保留π)
图11
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(10分)如图12, 在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以点O为圆心的圆过点C.
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若∠AOB＝120°，AB＝43，求⊙O的面积．
图12
16．(10分)如图13，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
图13
︵
17．(12分)如图14，正方形ABCD内接于⊙O，E为劣弧CD上任意一点(不与点C，D重合)，连接DE，AE.
(1)求∠AED的度数；
(2)如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
图14
18．(12分)如图15，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于点A，B，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD.
(1)求证：△ADM∽△AOB.
529
(2)如果⊙M的半径为2 5，请写出点M的坐标，并写出以点－，为顶
22点，且过点M的抛物线的函数表达式．
(3)在(2)的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
图15
答案
1． B 2．D 3． C 4． C 5． B 6． A 7． D 8．C 9． 3
10．5 11.3 12． 8
13． (7，4)或(6，5)或(1，4) 7π14.
2
15．解：(1)证明：连接OC.∵在△ABO中，OA＝OB，C是AB的中点， ∴OC⊥AB.
∵以点O为圆心的圆过点C， ∴AB与⊙O相切．
(2)∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°.
∵AB＝4 3，C是边AB的中点， 1
∴AC＝AB＝2 3，
2∴OC＝AC·tanA＝2 3×
3
＝2， 3
∴⊙O的面积为π×22＝4π. 16．解：(1)证明：连接AE，如图． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥BC，而AB＝AC， ∴BE＝CE.
(2)连接DE，如图． ∵BE＝CE＝3， ∴BC＝6.
∵∠BED＋∠DEC＝180°.∵∠DEC＋∠DAC＝180°， ∴∠BED＝∠BAC，∠DBE＝∠CBA， ∴△BED∽△BAC，
BEBD∴＝， BABC即
2＝， BA63
∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.
17．解：(1)如图①，连接OA，OD. ∵四边形ABCD是正方形，
1
∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°.
2(2)如图②，连接CF，CE，CA，作DH⊥AE于点H. ∵BF∥DE，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CDE.
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°， ∴∠DEC＝∠AFB＝135°. ∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF， ∴AF＝CE＝1，
∴AC＝AE2＋CE2＝17， ∴AD＝
234AC＝. 22
∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°， ∴DH＝HE，设DH＝HE＝x. 在Rt△ADH中，
∵AD2＝AH2＋DH2，∴35
解得x＝或x＝.
22∵DE＝2DH， ∴DE的长度为
34
＝(4－x)2＋x2， 4
3 25 2
或. 22
18．解：(1)证明：∵AB是⊙M的切线，D是切点， ∴MD⊥AB，∴∠MDA＝90°＝∠AOB. 又∵∠MAD＝∠BAO，∴△ADM∽△AOB.
(2)设M(0，m)，由直线y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，则AM＝12－m，而
DM＝2 5.
在Rt△AOB中，AB＝OA2＋OB2＝122＋62＝6 5. ∵△ADM∽△AOB， ∴
AMDM＝， ABOB12－m2 5
＝，
66 5
即
解得m＝2，
52529
∴M(0，2)．设顶点坐标为－，的抛物线的函数表达式为y＝ax＋＋
22252929
，将点M的坐标代入，得a0＋2＋＝2，解得a＝－2，∴抛物线的函数表
2225229
达式为y＝－2x＋＋. 22
(3)存在．①当顶点M为直角顶点时，M，P两点关于抛物线的对称轴(直线x5
＝－对称)，此时MP＝5，AM＝12－2＝10，AM2
MP＝21，符合题意，此时点
P的坐标为(－5，2)；
②当顶点A为直角顶点时，点P的纵坐标为12，代入抛物线的表达式，得－52295555x＋2＋＝12，解得x＝－±，此时AP＝±，AM＝10，不符合题意； 222222
③当顶点P′为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P′的坐标为(n，－1
2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，则－2n－n＝10，解得n＝－4；
25229
当x＝－4时，y＝－2×－4＋＋＝10，－2n＋2＝10，符合题意．若P′(－
2252
2m，m＋2)，则4m＋m＝10，解得m＝2，当x＝－2m＝－4时，y＝－2×－4＋229
＋＝10，m＋2＝4，不符合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为(－5，2)，2(－4，10)．
