第３３卷第１２期 ２０１７年１２月 贵州师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３３．Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ．２０１７ 单频电磁波在界面ｔ反射和折射的相位分析 李振宇 ，何贤文 ，王平瑞 ，周筑文 （１．贵州师范学院物理与电子科学学院，贵州贵阳５５００１８； ２．广西辐射环境监督管理站，广西南宁５３０２２２） 摘要：首先分析了电磁波在均匀介质中的运动方程，然后分析了单频电磁波在两介质界面上的边值关 系。最后对单频电磁波在界面上反射和折射定律的证明和相位问题进行了详细讨论。结果发现：折射波和 入射波存在一个非物理的相位差。该相位差出现的原因在于坐标选取的任意性会引起物理概念和数学表 述的不一致。最后，通过选定 ＝０界面消除了相位差。由此，深化了对该定律证明方法的理解。 关键词：电磁波；反射和折射定律；初始相位；变分法 中图分类号：Ｏ４４１．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７７９８（２０１７）１２—０００１—０４ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｐｈａｓｅ ｉｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅ ＬＩ Ｚｈｅｎ—ｙｕ ，ＨＥ Ｘｉａｎ．ｗｅｎ ，ＷＡＮＧ Ｐｉｎｇ．ｍｉ ，ＺＨＯＵ Ｚｈｕ—ｗｅｎ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ ５５００１ ８； ２．Ｇｕａｎｇｘｉ Ｒａｄｉａｔｉｏｎ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ Ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ Ｓｔａｔｉｏｎ，Ｎａｎｎｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５３０２２２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅ ｉｎ ｕｎｉｆｏｒｍ ｍｅｄｉｕｍ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ；Ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｌｅｃｔｏｍａｇｎｅｔｉｒｃ ｗａｖｅｓ ｏｖｅｒ ａｎｙ ｍｅｄｉｕｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ａｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉ— ｇａｔｅｄ；Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎ ｌａｗ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｐｈａｓｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎ ｗａｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗａｖｅ．Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ｃａｎ ｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｃｏｎ－ ｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｄ，ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｓ ｅｌｉｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｓｅｌｅｃ－ ｔｉｎｇ ｔｈｅ ＝０ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｄｅｅｐｅｎｓ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｖｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃ－ ｔｉｏｎ ｌａｗ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅ；ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎ ｌａｗ；ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｐｈａｓｅ；ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ 电磁场的麦克斯韦理论是经典场论的典型代 表，其完整描述了宏观、低能电磁场的运动规律。 完整的麦克斯韦方程组描述的是电荷源和电流源 １ 电磁波在均匀介质中的运动 方程 将麦克斯韦方程组中的电荷源和电流源去 激发的电磁场在时空中的运动变化规律。 收稿日期：２０１７—１１一Ｏｌ 基金项目：２０１７年贵州省一流课程建设项目“理论物理”（黔教高发［２０１７］１５８号）。 作者简介：李振宇（１９７７一），男，山西黎城人，博士，贵州师范学院副教授，研究方向：理论物理教学、粒子物理与原子核物理唯象理论。 ■■ 贵州师范学院学报２０１７年第１２期 掉，该方程组描述的是单纯的电磁场在时空中的 运动情况。去掉源项的麦克斯韦方程组在真空中 写为… 一Ｖ・ （ ，ｔ）＝０ 一Ｖ ｘ ， 一 ～ 一 （１） 一Ｖ Ｘ ，￡） ｓ。 一Ｖ． （ ，ｔ）＝０ 这里的四个微分方程分别给出了电场和磁场的散 度和旋度。从场论的观点，该方程组完备地描述 了电场和磁场的运动。理论上，将以上四个一阶 的微分方程写成两个二阶的微分方程： ２一 Ｉ ｚＥ— ｏｓｏ Ｅ＝０ ｛ｌ 百一ＩＸ。 。 Ｏｔ － ＝０ （２） Ｌ ａ 这是两个标准的行波方程。对于无限大空间，行 波方程的解可以是各种频率和波矢量的平面波的 线性叠加。所以，电场和磁场在无边界的真空中 以波的形式前进，称电磁场是波。 同样地，单频电磁波（平面波）在单一均匀介 质中运动也满足上面的方程（此时 ，ＧＯ一 分别表示介质中的磁导率和电容率）。 ２ 电磁波在介质界面上的衔接 条件 当空间中存在两种以上单一介质的时候，平 面电磁波在两介质的边界面上将会发生反射和折 射。此时，在边界面上电磁场的衔接条件为¨Ｊ 其中的Ｄ代表电位移矢量， 为磁场强度，且Ｄ＝ ，Ｂ＝／ｘＨ。 和 ，分别表示界面上的自由电荷 面密度和自由电流面密度，一般情况下，两者都为 零。下标ｌ和２分别表示介质１和介质２。以上 四个方程分别给出了电场的法向分量、切向分量， 以及磁场的切向分量和法向分量在界面上的衔接 条件，物理上称之为边值关系。 设单频电磁波的电场和磁场 ■曩 ＝Ｅｏｅ ’ 一 百：Ｄｏｅ “ 其中 为波矢量，∞为固定频率。则由麦克斯韦 方程组（１）式知 ㈤： ，＿ 一ＺＣ 即 Ｄ（ ）： （ ）： 一 ∞ 所以， ｅ ・（・（ 一 ）：— ＿ｅ， 一ＤＤ ）： 。［ ×（×（ （ ） ）－／ 一４，（ ））］ ））］ ＝ ・［ ， ×（ （ ）一 （ ））］ 根据（３）式中的第三个等式可知 ｅ 。（Ｄ２一Ｄ１）＝０ 这正是边值关系（３）式中的第一个等式。同理， 也可以利用麦克斯韦方程组以及（３）式中的第二 个等式推出（３）式中的第四个等式。所以，在讨 论平面电磁波在界面上的反射和折射问题时，只 需用到（３）式中的切向分量边值关系即可。在接 下来的讨论中实际上只讨论电场，所以用到的 只有 ｅ Ｘ（Ｅ２一Ｅ ）＝０ （４） ３ 单频电磁波在界面上的反射 和折射定律的证明 关于单频电磁波在界面上的反射和折射定律 的证明，一些教材。‘。 和论著 的表述非常简 练和经典。然而，初学者在学习该证明时不免会 有一些疑问。这个疑问就是关于单频电磁波在界 面上发生反射和折射时的相位问题。这个问题也 是教师在《电动力学》的相关教学环节不可回避 的理论问题。本文将详细分析单频电磁波在反射 和折射时的初相位问题。 经典教材对电磁波在界面上的反射和折射定 律的证明主要有两处假设：（１）假设入射波，反射 波和折射波的初相位相同；（２）假定界面处于Ｚ＝０ 的ｘｏｙ平面。一般情况下，假设应该具有普遍性， 即初相位一般应假设为任意值，界面的选取也应 该保证具有任意性。实际的初相位应该由证明结 果给出，而坐标的选取不应对证明结果有影响。 所以，对于经典教材在此处的特定假设，初学者会 一ｅ．／Ｌ， 一 、，一 ， 一 ）、 ＝ｌ０产生疑惑，“知其然而不知其所以然”，不知道为 什么这两个假设条件选得这么特殊。随后将在一 般的假设条件下给出证明，并对证明结果做仔细 讨论，指出经典教材证明方法的“所以然”。 根据上面的分析，首先将经典教材中的两处 特定假设恢复到一般情况，使其具有普遍性，即 （１）假定入射波，反射波和折射波的初相位任意； （２）取界面为任意的ｚ＝ 平面；然后采用变分的 方法推出电磁波的反射和折射规律。详细证明 如下。 设介质１和２的分界面为无穷大平面，并且 单频电磁波从介质１人射到界面上，在界面上产 生反射波和折射波。设反射波和折射波的频率和 入射波的频率相同，电场强度分别为 、 和 ， 波矢量分别为 、 和 。一般地，它们的平面波 可分别表示为 ｉ ） ， ： ｅＪｌ ：Ｅ一＇ｏｅｔ （ ・彳一 ’ （５） 【五 ： ” ｅ （ ・ 一 ＋ ） 其中， ，巾 ， 这三个常数分别对应入射波，反射 波和折射波的初始相位。 电磁波的反射和折射发生在界面上，界面上 任意一点的电场强度遵从边值关系（４）式。 其中Ｅ。代表介质１中的电场强度，Ｅ 代表 介质２中的电场强度。这里Ｅ．等于入射波与反 射波电场强度的矢量和，Ｅ等于折射波的电场强 度，即 ×（Ｅ＋Ｅ ）＝ Ｘ Ｅ （６） 将（５）式代人（６）式得 ×（ ｅ ‘ ＋苣，。ｅ ）＝ｅ ￣一Ｅ＇ｏｅ ＋∽ 该等式如果成立，等号两边对应的相位应该严格 相等，即 ． ＋西： ，．ｘ＋ ，： ”． ＋ ” 或者写成分量形式 ＋ｋｙｙ＋ ； ＋咖：ｋ＇ｘｘ＋ ，，），＋ ＋ ＝ ” ＋ ” ｙ＋ ＋ ” ： 假设界面定在 ：Ｚｏ的 平面，有 ｋｘｘ＋ｋｙｙ＋ ０＋咖＝ ＋ｋ＇ｙｙ＋ ｏ＋ ＝ ” ＋ｋ＂ｙｙ＋ ” ｏ＋ ” （７） 由于Ｚ＝ｚ。平面上任何一点都应该满足该等 量关系，当位置矢量 在此平面变化时，该等式 单频电磁波在界面上反射和折射的相位分析 应保持不变。所以对（７）式位置矢量 作变分， 有如下关系 舭＋ ： ８ｘ＋ ＝ ８ｘ＋ ” 即 ６ｘ＝ ８ｘ＝ｋ＂ｘ８ｘ Ｊ｝ｉ ６ｙ＝ｋ＇：ｙ ｋ＂ｙ渺 由于缸和 的任意性，得 ｋ ＝ｋ ＝ｋ ，ｋ ＝ ＝ｋ （８） 进一步假定入射波矢ｋ在船平面上，即后 ＝０， 则根据（８）式有ｋ ＝ｋ” ＝０。可见反射波、折射波 和入射波共面。 以 ，０ ，０”分别代表人射角、反射角和折射 角，根据几何关系有 后 ＝ｋｓｉｎＯ，五 ＝ ｓｉｎＯ ， ＝ｋ＂ｓｉｎＯ” （９） 在介质１和２中分别有， ｋ：ｋ，： ，ｋ ：一０３ （１０） ｌ ２ 其中，Ｖ 和 分别是电磁波在两介质中的相速度 大小，由等式（９）和（１０）得到电磁波的反射和折 射定律： ０：０，， ： 。 ｓｌｎＯ ， 由此可见，在一般的假设条件下得到了电磁 波的反射和折射定律的证明结果。 ４关于初相位的讨论 根据以上的证明结果，可以对 ＝ 界面和 初始相位做简单讨论。将等式（８）代人等式 （７）有 ｋｚｚ０＋咖＝ ： ＋ ＝ ” ＋咖” （１１） 又由式（８），（９）和（１０）得 ｋ ＝ ， ／＂２ 。 （１２） 所以，为保证等式（１１）成立，有 ＝ ，即反 射波和人射波的初相位相同。 进一步将（１１）式修改为 ｚｏ＝ｋ＇ｚｚｏ： ”；ｚ０＋（ ”一 ）；ｋｔｔｚＺ０＋△（ｂ （１３） 其中△ 是折射波和入射波的相位差，根据 （１２）和（１３）式可知 Ａ４，－（１一 ）ｋｚ （１４） 由（１４）式可知，由于界面选在ｚ＝ 。平面， 折射波和入射波的相位差△ 是 的函数，一般 —曩 贵州师范学院学报２０１７年第１２期 不为零。这显然不能和物理事实相符。从物理的 角度，△ 顶多是个常数，不会因为坐标的选取而 变化。 出现（１４）式的根源在于界面没有选在ｚ：０ 平面。从（１１）式可知，由于ｋ和 ”值不一样，ｚ＝ｚ。 平面选取的任意性会直接导致相位差的任意性。 由于界面两边的介质性质不同，在证明中将界面 选在ｚ＝ 平面，结果就会出现数学定义上的混 乱。此时，折射波在界面的相位为 后”・ 一ｔＯｔ＋ ＝ｋ＂ ＋ ｘｘ ｋ＂ｙ ＋ ”， ｎ＋西 上式确切的数学含义是，从坐标原点出发到 场点（ ，Ｙ，Ｚ０）的相位。但实际上，折射波是从场 点（ ，Ｙ， ）才出现的。另外，由于折射波是在介 质２中传播的，而坐标原点却定义在介质ｌ中（假 定 ＞０），这样也会引起物理概念和数学表述的 不一致。这样就出现了（１４）式的结果。从数学角 度理解就是 引入了额外的相位差。为了消除额 外相位差，以及避免物理概念和数学表述的不一 致，只能将界面定义到ｚ＝０平面。此时，△ ：０， 即人射波、反射波和折射波的初相位相同。这正是 经典教材中经常直接采用的证明方式。 ５ 小结 本文首先分析了的电磁场在均匀介质中的运 动方程，然后分析了电磁波在两个介质边界面上 满足的衔接条件。由此，详细分析了单频电磁波在 界面上的反射和折射定律的证明。本文将经典教 材中的证明做了扩展，使其具有普遍性，然后采用 变分的方法，得到了反射和折射定律。分析初始相 位关系时发现，由于坐标选取的任意性，折射波和 人射波存在一个非物理的相位差。该相位差是与 坐标的选取相关的。这显然不能和物理事实相符。 究其原因发现，由于界面两边的介质性质不同，在 证明中将界面选在ｚ＝ 平面的结果就会引起物 理概念和数学表述的不一致。为了避免这个问题， 只能将界面定义到 ＝０平面。此时，入射波、反射 波和折射波的初始相位相同。本文的讨论加深 了对单频电磁波在界面的反射和折射定律的证明 方法的理解。 参考文献： ［１］郭硕鸿．电动力学（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出 版社，２００８：１１７—１１８． ［２］吴寿锃，丁士章．电动力学［Ｍ］．西安交通大学出版 社，１９８８：２１２—２１３． ［３］俞允强．电动力学简明教程［Ｍ］．北京：北京大学出版 社，１９９９：９８—９９． ［４］Ｊ．Ｄ．Ｊａｃｋｓｏｎ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ（Ｔｈｉｒｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ［Ｍ］．Ｈｏｂｏｋｅｎ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ．，１９９９：３０２ —３ｏ４． ［５］张锡珍，张焕乔．经典电动力学［Ｍ］．北京：科学出版 社，２０１３：１２７—１２９． ［责任编辑：袁向芬］
