2020-2021学年人教版九年级数学上学期期末考试试题(含答案)

九年级数学

（考试时间120分钟，满分120分）

题号 得分 一 [二 16 17 18 19 三 20 21 22 23 总分 [ 第Ⅰ卷 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在相应的表格内）

题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1．点（－1，2）关于原点的对称点坐标是 A．（－1，－2）

B．（1，－2）

C．（1，2）

D．（2，－1）

2．关于x的一元二次方程x2+kx－2＝0（k为实数）根的情况是 A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根

B．有两个相等的实数根 D．不能确定

3．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是 A．y＝（x－5）2

B．y＝x2－5

C．y＝－（x＋5）2

D．y＝（x＋5）2

4．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小 正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 A．C．

4 33 5

B．D．

3 44 5

第4题

5．反比例函数y＝－

3，下列说法不正确的是 xA．图象经过点（1，﹣3） B．图象分布于第二、四象限 D．y随x的增大而增大

C．图象关于直线y＝x对称

6．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人 出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为 A．

13 25第6题

B．

12 25 C．

4 25 D．

1 27．在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是

已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，DF∥AC． 求证：△ADE∽△DBF． 证明：①又∵DF∥AC， ②∵DE∥BC， ③∴∠A=∠BDF． ④∴∠B =∠ADE． ∴△ADE∽△DBF． A．③②①④

B．②④①③

C．③①④②

第7题

D．②③④①

8．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是 A．代入法

B．列举法

C．从特殊到一般

D．反证法

9．已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝

a在同一直角坐标系中的图象可能 xA． B． C． D．

第9题

10．已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点

K（x，y）的坐标公式为：x＝

x1x2yy2，y＝1．

22如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O 经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则 有a，b满足等式：a2+b2＝9． 设B（m，n），则m，n满足的等式是 A．m2+n2＝9

B．（

第10题

m32n）+（）2＝9 22C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

BC= ． CE二、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．如图，AB∥CD∥EF，直线AF与BE相交于点O，且AO=2，OD=1，DF=5，则

第11题 第12题

12．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑

落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？ ． （填“会”或“不会”）

13．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相们

比为

1，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 ． 214．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数

1y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．

x15．如图，菱形AD的边长为2，对角线AC、BD相交于

点O，BD=2，分别以AB、BC为直径作半圆，则图

中阴影部分的面积为 ． 第15题

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共2小题，共10分）

计算： （1）sin30°-（5- tan75°）° ； （2） 3 tan230°-2sin45°＋3sin60°．

17．（本题7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点

E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；

图①

（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：

①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

图②

18．（本题8分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校

计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ；

（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历

史本科生的概率．

19．（本题9分）如图， 在平面直角坐标系xoy中，反比例函数

y＝k（k≠0）的图象，过等边△BOC的顶点B，OC＝2， x点A在反比例函数图象上，连接AC、AO． （1）求反比例函数y＝k（k≠0）的表达式； x （2）若四边形ACBO的面积是33，求点A的坐标．

第19题

20．（本题8分）

全国第二届青年运动会是山西省历史上第一次举办的大型综合性运动会，太原作为主赛区，新建了很多场馆，其中在汾河东岸落成了太原水上运动中心，它的终点塔及媒体中心是一个以“大帆船”造型（如图1），外观极具创新，这里主要承办赛艇、皮划艇、龙舟等项目的比赛.“青春”数学兴趣小组为了测量“大帆船”AB的长度，他们站在汾河西岸，在与AB平行的直线l上取了两个点C、D，测得CD=40m，∠CDA=120°，

∠ACB=18.5°，∠BCD=26.5°，如图2．请根据测量结果计算“大帆船”AB的长度． （结果精确到0.1m,参考数据：sin26.5°≈0.45，tan26.5°≈0.50，2≈1.41，3≈1.73）

图1 第20题 图2

21．（本题9分）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理 托勒密（Ptolemy）（公元90年—公元168年），希腊著名的天文家、地理学家、数学家和光学家.在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理. 托勒密定理 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 已知：如图（1）中，四边形ABCD内接于⊙O， 求证：AC·BD=AB·CD＋BC·AD 下面是该结论的证明过程： 图（1） 图（2） 图（3） 证明：如图（2）过C作CP交BD于P，使∠1=∠2, 又∠3=∠4， （依据1） ACAD∴△ACD∽△BCP. ∴= 即 AC·BP=AD·BC ① BCBP又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6， ∴△ACB∽△DCP. （依据2） ACAB∴= 即 AC·DP=AB·DC ② DCDP①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC. 即AC·BD=AB·CD＋AD·BC . 任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？

依据1： 依据2： （2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名称）. （3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中

点，求AC的长.

22．（本题11分）操作探究

如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

AE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． BDAEAE＝ ；②当α＝180°时，＝ ． BDBD

第22题

23．（本题13分）综合探究

已知抛物线y＝ax2+与y轴交于点C．

3x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），2（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，

使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当

MN＝3时，直接写出点M的坐标．

第23题

学校 班级 姓名 考场 考号 座位号 2 答案及评分标准

一、选择题 题 号 答 案 空题 11．

1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 B 7 B 8 C 9 A 10 D 二、填

3π 12．不会 13．（2，1）或（﹣2，﹣1） 14．y2＞y1＞y3 15．3－ 531－1 ………………………………………2分 21； …………………………………………3分 2三、解答题

16．解：（1）sin30°-（5- tan75°）º=

=﹣

（2） 3 tan230°-2sin45°＋3sin60° =3×（

3232）－2×＋3× ……………………………………3分 322 =1－1＋

3 ……………………………………………………6分 2 =

3 …………………………………………………………7分 217．（1）证明：如图①，连接OF，

∵ AC是⊙O的切线，∴ OF⊥AC， …………1分 ∵ ∠C＝90°，

∴ OF∥BC，

∴ ∠1＝∠OFB， ………………………………2分 ∵ OF＝OB，

∴ ∠OFB＝∠2， ………………………………………………………………3分 ∴ ∠1＝∠2． ………………………………………………………………4分 （2）如图②所示 …………………………………………………………6分

则⊙M为所求． …………………………………………………………7分 （①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以点M为圆心，MB为半径作圆， 即⊙M为所求．）

18．解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是

21＝； 42故答案为：

1； ………………………………………………………………3分 2（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D， ……………………………………………………………4分 画树状图如图：

…………………………………………………………………………………………6分 共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个， …………………………………………………………………………………………7分 ∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为19．解：（1）过点B作BM⊥OC于M， ∵ OC＝2，

∴ OM＝1， BM＝3，

∴ 点B(－1 ，－3 )， ………………………………………………………2分 ∴ k＝(－1) ×（－3 ) ＝3， ∴ y＝

21=． ……………8分 1263． …………………………………………………………………4分 x （2）过点A作AN⊥OC于N，

∵S四边形ACBO＝33， S四边形ACBO＝S△AOC+ S△BOC ∵ S△BOC＝

3OC2＝3，∴ 43+ S△AOC＝33，

∴ S△AOC＝23 ． ……………………………………………………………6分 ∵ OC＝2 ∴

1×OC×AN＝23 2∴ AN＝23， ……………………………………………………………7分 设A（t，23）

∴ 23t＝3 ∴ t＝

1 ， ……………………………………………………8分 2∴ A（

1，23）． ………………………………………………………………9分 220．解：分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点E、F， ……………………1分

设DE=xm， 易知四边形ABFE是矩形， ∴ AB=EF，AE=BF． 易得 ∠DCA=18.5°+26.5°=45°，

∴ BF= AE=CE=( x +40)m． ……………………2分 ∵ ∠CDA=120°, ∴ ∠ADE=60°．

∴ AE= x·tan60°=3x ， …………………………………………………………3分 ∴

3x= x +40 ， 解得： x≈54.79（m）． ……………………………………4分

∴ BF= CE =54.79+40=94.79（m）． ……………………………………………5分 ∴ CF=

BF≈1.58（m）． …………………………………………6分 otan26.5∴ EF= CF- CE=1.58-94.79≈94.8（m）．……………………………………………7分 ∴ AB=94.8（m）．

答：“大帆船”AB的长度约为94.8m． ……………………………………………8分 21．（1）同弧所对的圆周角相等 ……………………………………1分 两角分别相等的两个三角形相似 ……………………………………2分 （2）勾股定理 ……………………………………………4分 （3）如图，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E. ∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠BAD+∠BCD =180°. ∵ ∠BAD=60°.

∴ ∠BCD =120°. …………………5分

∵ 点C是弧BD的中点，∴ 弧BC=弧CD，∴ BC =CD，

∴ ∠CBD =30°. ………………………………6分 在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°， ∴ DE=

3CD ，∴ BD=2 DE=3CD． ………………………………………7分 2 由托勒密定理得 AC·BD=AB·CD+BC·AD．

∴ AC·3CD=3CD+5CD． ∴ AC =

83． ………………………………………………………………………9分 322．解：（1）①5，②5． …………………………………………………2分 （2）如图2， 当0°≤α＜360°时，

AE的大小没有变化．……………………3分 BD证明： ∵∠ECD＝∠ACB，

∴ ∠ECA＝∠DCB， ………………………4分 又 ∵

ECAC==5， ………………………………………………5分 DCBC∴△ECA∽△DCB， …………………………………………………………6分 ∴

AEEC==5． ………………………………………………………7分 BDDC（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时， 在Rt△BCE中，CE＝5，BC＝2， ∴ BE＝EC2BC2＝54＝1， ∴ AE＝AB+BE＝5， ∵

AE＝5， BD55＝5． ……………………………………………………………………9分

∴ BD＝

②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，

易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3， ∵

AE＝5， BD35． …………10分 5∴ BD＝

综上所述，满足条件的BD的长为5或

35． ………………………………11分 523．解：（1）∵ 抛物线的对称轴是直线x＝3，

31∴ -2＝3，解得a＝﹣，

42a∴ 抛物线的解析式为：y＝﹣

123x+x+4． …………………………………………3分 42当y＝0时，﹣

123x+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8， 42∴ 点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． ………………………………5分 （2）当x＝0时，y＝﹣

123x+x+4＝4， 42∴ 点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得

18kb0，k，，解得：2， b4b4.∴

直

线

BC

的

解

析

式

为

y

＝

﹣

1x+4． …………………………………………………6分 2假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大， 设点P的坐标为（x，﹣

123x+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线421x+4）， 2x+4

﹣

（

﹣

BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣

则PD＝﹣

14x2+

3212x+4）＝﹣

12

x+2x， ………………………………7分 4∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝

11×8×4+PD•OB 22＝16+

11×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x+16 24＝﹣（x﹣4）2+32 …………………………………………………8分 ∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32

∵0＜x＜8，

∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32． ………………………………………………9分 （3）设点M的坐标为（m，﹣

1231m+m+4）则点N的坐标为（m，﹣m+4）， 422∴MN＝|﹣

12311m+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m |， 422412

m+2m |＝3， 4又∵ MN＝3，∴ |﹣

当0＜m＜8时，﹣

12

m+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6， 4∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，﹣∴点M的坐标为（4﹣2

12

m+2m +3＝0，解得m3＝4﹣24﹣1）或（4+2

，﹣，

，m4＝4+2，

，﹣1）． ﹣1）或（4+2

，﹣

﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2

（写出一个给1分） ………………………………………………………………………13分

（说明：每一题的解法不唯一）

亲爱的读者：

1、三人行，必有我师。20.12.1912.19.202006:4606:46:00Dec-2006:46

2、书是人类进步的阶梯。二〇二〇年十二月十九日2020年12月19日星期六

3、会当凌绝顶，一览众山小。06:4612.19.202006:4612.19.202006:4606:46:0012.19.202006:4612.19.2020 4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。12.19.202012.19.202006:4606:4606:46:0006:46:00

5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Saturday, December 19, 2020December 20Saturday, December 19, 202012/19/2020

6、路遥知马力日久见人心。6时46分6时46分19-Dec-2012.19.2020

7、山不在高，有仙则灵。20.12.1920.12.1920.12.19。2020年12月19日星期六二〇二〇年十二月十九日 8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。06:4606:46:0112.19.2020Saturday, December 19, 2020

春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在

这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。