高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数函数问题导学案北师大版必修14

§3.5 对数函数

问题导学

一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系 活动与探究1

(1)下列函数是对数函数的是( )． A．y＝log2(3x)

3

B．y＝log2x C．ylog1x

4D．ylog121 x(2)写出下列函数的反函数：

1x①y＝；②y＝ln x.

2

迁移与应用

1．若对数函数f(x)的图像经过点(16，－2)，那么f(x)的解析式为__________．

x2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)等于( )．

12

A．log2x B．log1x C．x D．x

2

2

(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a的值．

xx(2)函数y＝logax的反函数是y＝a(a＞0，且a≠1)；函数y＝a的反函数是y＝logax(a＞0，且a≠1)．

二、求与对数函数有关的函数的定义域 活动与探究2

求下列函数的定义域：

lg(4－x)

(1)f(x)＝；(2)y＝log0.1(4x－3).

x－3

迁移与应用

求下列函数的定义域：

1

(1)y＝；

lg(x＋1)－3(2)y＝log3x－1.

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．

三、对数函数的图像 活动与探究3

作出函数f(x)＝|log3x|的图像，并求出其值域和单调区间．

桑 水

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迁移与应用

1

函数f(x)＝log4的大致图像为( )．

x

1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称，函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称，函数y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．

四、对数函数单调性的应用 活动与探究4

(1)比较下列各组数的大小：

416

①log1与log；

2752②log13与log13；

25③loga2与loga3.

(2)若loga(1－2x)＞loga(1＋2x)，求实数x的取值范围． 迁移与应用

1．设a＝log2π，b＝log23，c＝log32，则( )． A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a

2．若loga3＜1，求a的取值范围．

(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：

①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；

②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；

③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．

④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．

(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．

(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．

桑 水

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当堂检测

1x1．若函数f(x)＝的反函数是y＝g(x)，则g(3)＝( )．

3

1

A． B．27 27

C．－1 D．1

2．若log5x＜－1，则x的取值范围是( )．

11A．x＜ B．0＜x＜ 551

C．x＞ D．x＞5

53．下列不等式成立的是( )． A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23 C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32 4．函数ylog1(1x)的定义域是__________．

25．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y＝log3(x－2)； (2)y＝|log1x|.

2 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案：

课前预习导学 【预习导引】

1．y＝logax 底数 10 e

预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．例如y＝log3x(x＞0)，ylog1x(x＞0)是对数函数，而y＝

22log2x，ylog1x等都不是对数函数．

222．反函数 互换 y＝x

3．(1)描点法 先画函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像． (2)(1,0) y轴右边 x轴上方 x轴下方 (0，＋∞)

4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)

预习交流2 提示：不论a(a＞0，且a≠1)取何值，总有loga1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y＝logaf(x)，若令f(x)＝1解得x＝x0，那么其图像经过定点(x0,0)．

预习交流3 提示：当a＞1时，a值越大，图像越靠近x轴；

桑 水

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当0＜a＜1时，a值越大，图像越远离x轴． 课堂合作探究 【问题导学】

x活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y＝a与对数函数y＝logax的关系直接写出函数的反函数．

(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数ylog1x是对数函数，其余选项中的函

4数均不是对数函数，故选C.

11x(2)解：①指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数ylog1x.

22

2②对数函数y＝ln x，它的底数是e，它的反函数是指数函数y＝e.

迁移与应用 1．fxlog1x 解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知得loga16

4x1－2

＝－2，因此a＝16，解得a＝，故fxlog1x.

4

42．B 解析：由题意，知f(x)＝logax. ∵其图像过(a，a)，

1

∴a＝logaa.∴a＝.∴fxlog1x.

2

2活动与探究2 思路分析：(1)x取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．

4－x>0，

解：(1)要使函数有意义，需有

x－3≠0，

解得x＜4，且x≠3，

所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．

4x－3>0，

(2)要使函数有意义，需有

log0.1(4x－3)≥0，

4x－3>0，

即

4x－3≤1，

3

解得＜x≤1.

4

3所以函数的定义域为，1. 4

lg(x＋1)－3≠0，

迁移与应用 解：(1)∵由

x＋1>0，

x＋1≠10，

得

x>－1，

3

∴x＞－1，且x≠999，

∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}． (2)要使函数有意义，应有log3x－1≥0， 即log3x≥1，所以x≥3， 即函数的定义域为{x|x≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f(x)化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．

log3x，x≥1，

解：f(x)＝|log3x|＝

－log3x，0所以f(x)的图像在[1，＋∞)上与y＝log3x的图像相同，在(0,1)上的图像与y＝log3x桑 水

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的图像关于x轴对称，据此可画出其图像如下：

从图像可知：函数f(x)的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．

1

迁移与应用 D 解析：由于f(x)＝log4＝－log4x，其图像与y＝log4x的图像关于xx轴对称，故选D.

活动与探究4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．

(2)对底数a进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①ylog1x在(0，＋∞)上递减，

24646

又因为＜，所以log1>log1.

57

2527②因为在x∈(1，＋∞)上，ylog1x的图像在ylog1x图像的上方，所以

52log1325③当a＞1时，y＝logax为增函数，

所以loga2＜loga3.

当0＜a＜1时，y＝logax为减函数， 所以loga2＞loga3.

1－2x>0，

(2)当a＞1时，依题意有1＋2x>0，

1－2x>1＋2x，1

解得－＜x＜0；

2

1－2x>0，

当0＜a＜1时，依题意有1＋2x>0，

1－2x<1＋2x，

1

解得0＜x＜.

2

11因此当a＞1时，x的取值范围是－，0，当0＜a＜1时，x的取值范围是0，. 22

迁移与应用 1．A 解析：∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

∴log2π＞log23，即a＞b.

1111

又∵b＝log23＞，c＝log32＜，∴b＞c.

2222∴a＞b＞c.

2．解：当a＞1时，原不等式可化为loga3＜logaa， ∴a＞3.

当0＜a＜1时，原不等式可化为loga3＜logaa， ∴a＜3.

桑 水

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又∵0＜a＜1，∴0＜a＜1.

综上知，所求a的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】

1．C 解析：依题意g(x)＝log1x，所以g(3)＝log13＝－1.

3311

2．B 解析：由log5x＜－1可得log5x＜log5，所以0＜x＜. 553．A 解析：∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

∴log25＞log23＞log22＝1.

又y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数， ∴log32＜log33＝1. ∴log32＜log23＜log25.

4．[0,1) 解析：∵由log1(1x)≥0，

2得0＜1－x≤1，∴0≤x＜1.

5．解：(1)函数y＝log3(x－2)的图像可看作把函数y＝log3x的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．

log1x,0x1,2(2)y＝|log1x|＝

2log2x,x1,其图像如图②.

其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．

桑 水