八年级上册全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在四边形ABCD中，BCCD ，对角线BD平分ADC，连接AC，

ACB2DBC，若AB4，BD10，则SABC_________________．

【答案】10 【解析】 【分析】

由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD∥BC，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD，可得CB=CA=CD，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和BCFCDE，然后即可根据AAS证明△BCF≌△CDE，可得CF=DE，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】

解：∵BCCD，∴∠CBD=∠CDB， ∵BD平分ADC，∴∠ADB=∠CDB， ∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，

∵ACB2DBC，ADC2BDC，∠CBD=∠CDB， ∴ACBADC，∴CADADC， ∴CA=CD，∴CB=CA=CD，

过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，则DE1BD5，2BCF1ACB， 21ADC，ACBADC，∴BCFCDE， 2∵BDC在△BCF和△CDE中，∵BCFCDE，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD， ∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5， ∴SABC11ABCF4510． 22故答案为：10．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．

2．如图，在锐角△ABC中，AB=5

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分

别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

【答案】5 【解析】 【分析】

作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】

如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5

，∠BAC=45°，∴BH=

=

5．

∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

3．如图，ABC中，BAC90，ADBC，ABC的平分线BE交AD于点F，

AG平分DAC．给出下列结论：①BADC；②EBCC；③AEAF；④FG//AC；⑤EFFG．其中正确的结论是______．

【答案】①③④ 【解析】 【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则∠C=

1∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③2由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误． 【详解】

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C， 故①正确；

若∠EBC=∠C，则∠C=∵∠BAC=90°，

1∠ABC， 2

那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°， 故②错误；

∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线， ∴∠ABF=∠EBD，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD， 又∵∠BAD=∠C， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， 故③正确；

∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE， ∴AN⊥BE，FN=EN， 在△ABN与△GBN中，

ABNGBN∵BNBN， ANBGNB90∴△ABN≌△GBN（ASA）， ∴AN=GN，

又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF， ∴△ANE≌△GNF（SAS）， ∴∠NAE=∠NGF， ∴GF∥AE，即GF∥AC， 故④正确； ∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不一定是等边三角形， ∴EF不一定等于AE， ∴EF不一定等于FG， 故⑤错误． 故答案为：①③④． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

4．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】

先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】

解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论：

①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°；

②OA=OD，则∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°；

③OD=AD，则∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°；

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形， 故答案为：110°、125°、140°. 【点睛】

本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

5．如图，在ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为

4,3，点D在第二象限，且

ABD与ABC全等，点D的坐标是______．

【答案】(－4，2)或(－4，3) 【解析】 【分析】 【详解】

把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等. 故答案为(－4，2)或(－4，3).

6．如图，在Rt△ABC中，ACBC，D是线段AB上一个动点，把ACD沿直线

CD折叠，点A落在同一平面内的A处，当AD平行于Rt△ABC的直角边时，ADC的大小为________．

【答案】112.5或67.5 【解析】 【分析】

当AD平行于Rt△ABC的直角边时，有两种情况，一是当ADBC时，二是当

ADAC时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．

BC时，ADBB45，

【详解】

如图1，当点D在线段AB上，且ADADCADC45180 ，解得ADCADC112.5.

图1

如图2，当ADAC时，ADBA45，

ADCADC45180 ，解得ADCADC67.5.

图2 【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC的长________cm．

【答案】72 【解析】 【分析】

按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】

解：∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30° ∵DA⊥AC，AD=24 cm ∴DC=2AD=48cm， ∵∠BAC=120°，DA⊥AC ∴∠BAD=∠BAC-90°=30° ∴∠B=∠BAD ∴BD=AD=24cm ∴BC=BD+DC=72cm 故答案为72. 【点睛】

本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.

8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．

【答案】8． 【解析】 【分析】

作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 【详解】

解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F， ∵AB=AC，AE平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠DBC=∠D=60°， ∴△BDM为等边三角形， ∴△EFD为等边三角形， ∵BD=5，DE=3， ∴EM=2，

∵△BDM为等边三角形， ∴∠DMB=60°， ∵AN⊥BC， ∴∠ENM=90°， ∴∠NEM=30°， ∴NM=1， ∴BN=4，

∴BC=2BN=8（cm）， 故答案为8．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

9．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，BD8，DC2，线段

AC交线段DE于点F，若AFBD，则AC__________.

【答案】10. 【解析】 【分析】

延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDEAGE，而后证明AFG、CDF是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长. 【详解】

解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，

∵点E是线段AB的中点， ∴AE=BE,

∴在BDE和AGE中，

BEAEBEDAEGDEEG,

∴BDEAGE, ∴AG=BD, BDEAGE, ∵AF=BD=8, ∴AG=AF,

∴AFGAGE ∵AFGDFC, ∴BDEDFC,

∴FC=DC, ∴FC=2,

∴AC=AF+FC=8+2=10. 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．

【答案】47或43或4 【解析】 【分析】

分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【详解】

如图1，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OB=4，

又∵∠AOC=∠BOM=60°， ∴△BOM是等边三角形， ∴BM=BO=4，

∴Rt△ABM中，AM=AB2BM2=43； 如图2，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OA=4， 又∵∠AOC=60°， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM=AO=4；

如图3，当∠ABM=90°时， ∵∠BOM=∠AOC=60°，

∴∠BMO=30°， ∴MO=2BO=2×4=8，

∴Rt△BOM中，BM=MO2OB2=43， ∴Rt△ABM中，AM=AB2BM2=47．

综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4．故答案为43或47或4．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知MON40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当

PAB的周长取最小值时，APB的度数是( )

A．40 【答案】C 【解析】 【分析】

B．50 C．100 D．140

设点P关于OM、ON对称点分别为P、P，当点A、B在PP上时，PAB周长为

PAABBPPP，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB的度数．

【详解】

分别作点P关于OM、ON的对称点P、P，连接OP、OP、PP，PP交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时PAB周长的最小值等于PP．

由轴对称性质可得，OPOPOP，POAPOA，POBPOB，

POP2MON24080，

OPPOPP(18080)250，

又BPOOPB50，APOAPO50，

APBAPOBPO100．

故选：C．

【点睛】

此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.

12．在RtABC中，ACB90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ） A．9个 【答案】B 【解析】 【分析】

先以RtABC三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得． 【详解】

B．7个

C．6个

D．5个

解：①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则BCD就是等腰三角形；

②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则ACE就是等腰三角形； ③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于M，交AC于点F，则BCM、

BCF是等腰三角形；④如图4，作AC的垂直平分线交AB于点H，则ACH就是等腰三角形；⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于点G，则AGB就是等腰三角形；⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于I，则BCI就是等腰三角形．

故选：B． 【点睛】

本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．

13．如图，ABC中，BAC60，BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DEAB交AB的延长线于点E，DFAC于点F，现有下列结论：①DEDF；②DEDFAD；③DM平分EDF；④ABAC2AE，其中正确的是（ ）

A．①② 【答案】C 【解析】 【分析】

B．①②③ C．①②④ D．①②③④

①由角平分线的性质可知①正确；

②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=

11AD，DF=AD，从而可证明②正确； 22

③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；

④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④． 【详解】

解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ED=DF． ∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD=30°． ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=

1AD． 21AD． 2∴DE+DF=AD． ∴②正确．

同理：DF=

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°， 又∵∠E=∠BMD=90°， ∴∠EBM=90°． ∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道， ∴不能判定MD平分∠EDF， 故③错误．

④∵DM是BC的垂直平分线， ∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD中

DE＝DF， BD＝DC∴Rt△BED≌Rt△CFD． ∴BE=FC．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC 又∵AE=AF，BE=FC， ∴AB+AC=2AE．故④正确．

综上所述，①②④正确， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）

A．锐角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】

B．直角三角形 D．随x，m，n的值而定

将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题． 【详解】

将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．

∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH． ∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．

∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形． 故选C． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

15．如图钢架中，∠A=a,焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……来加固钢架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )

A．15°≤ a <18° B．15°< a ≤18° C．18°≤ a <22.5° D．18° < a ≤ 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】

由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围. 【详解】 ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴∠P1P2A=∠A=a

由三角形外角性质，可得∠P2P1P3=2∠A=2a 同理可得，∠P1P3P2=∠P2P1P3=2a， ∠P3P2P4=∠P3P4P2=∠A+∠P1P3P2=3a， ∠P4P3P5=∠P4P5P3=∠A+∠P3P4P2=4a，

在△P4P3P5中，∠P3P4P5=180°-2∠P4P3P5=180°-8a 当∠P5P4B≥90°即∠P5P4A≤90°时，不能再放钢管， ∴3a1808a90，解得a≥18° 又∵等腰三角形底角只能是锐角， ∴4a＜90°，解得a＜22.5 ∴18a22.5 故选C. 【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.

16．如图，已知AD为ABC的高线，ADBC，以AB为底边作等腰RtABE，连接

ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①DAECBE；②CEDE；

③BDAF；④AED为等腰三角形；⑤SBDESACE，其中正确的有( )

A．①③ 【答案】D 【解析】 【分析】

B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤

①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE＝∠DAE，再得到△ADE≌△BCE； ②根据①结论可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可解题； ③证明△AEF≌△BED即可；

④根据△AEF≌△BED得到DE=EF, 又DE⊥CF，故可判断；

⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE． 【详解】

①∵AD为△ABC的高线， ∴CBE＋∠ABE＋∠BAD＝90°， ∵Rt△ABE是等腰直角三角形，

∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝45°，AE＝BE， ∴∠CBE＋∠BAD＝45°， ∴∠DAE＝∠CBE，故①正确； 在△DAE和△CBE中，

AE＝BEDAE＝CBE， AD＝BC∴△ADE≌△BCE（SAS）； ②∵△ADE≌△BCE， ∴∠EDA＝∠ECB， ∵∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴∠EDC＋∠ECB＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴CE⊥DE； 故②正确；

③∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE，∠AFE＝∠ADC＋∠ECD， ∴∠BDE＝∠AFE，

∵∠BED＋∠BEF＝∠AEF＋∠BEF＝90°， ∴∠BED＝∠AEF，

在△AEF和△BED中，

BDE＝AFEBED＝AEF， AE＝BE∴△AEF≌△BED（AAS）， ∴BD＝AF 故③正确； ∵△AEF≌△BED ∴DE=EF, 又DE⊥CF，

∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；

④∵AD＝BC，BD＝AF， ∴CD＝DF， ∵AD⊥BC，

∴△FDC是等腰直角三角形， ∵DE⊥CE， ∴EF＝CE， ∴S△AEF＝S△ACE， ∵△AEF≌△BED， ∴S△AEF＝S△BED， ∴S△BDE＝S△ACE． 故④正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．

17．已知：如图，ABC、CDE都是等腰三角形，且CACB，CDCE，

ACBDCE，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点.

以下4个结论：①ADBE；②DOB180；③CMN是等边三角形；④连

OC，则OC平分AOE.正确的是( )

A．①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】

B．①②④ C．①③④ D．①②③④

①根据∠ACB=∠DCE求出∠ACD=∠BCE,证出△ACD△BCE即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB，故可判断；

③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS可求出CAMCBN,推出CM=CN，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN的形状；

④在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP，根据△ACD△BCE，可求出∠CEO=∠CDP,根据SAS可求出 CEOCDP,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE，故可判断. 【详解】

①正确，理由如下： ∵ACBDCE, ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE, 又∵CA=CB,CD=CE, ∴△ACD△BCE(SAS), ∴AD=BE, 故①正确； ②正确，理由如下： 由①知，△ACD△BCE， ∴∠CAD=∠CBE,

∵∠DOB为ABO的外角,

∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α, ∴∠CBA+∠BAC=180°-α, 即∠DOB=180°-α, 故②正确； ③错误，理由如下：

∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,

11AD,BN= BE, 22又∵由①知，AD=BE, ∴AM=BN,

又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB, ∴CAMCBN(SAS),

∴AM=

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN,

∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α, ∴△MCN为等腰三角形且∠MCN=α, ∴△MCN不是等边三角形， 故③错误； ④正确，理由如下：

如图所示，在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP， 由①知，△ACD△BCE， ∴∠CEO=∠CDP, 又∵CE=CD,EO=DP, ∴CEOCDP(SAS), ∴∠COE=∠CPD,CP=CO, ∴∠CPO=∠COP, ∴∠COP=∠COE, 即OC平分∠AOE, 故④正确； 故答案为：B. 【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.

18．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（ ）

A．100° 【答案】A 【解析】 【分析】

B．90° C．80° D．120°

由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解. 【详解】 解：

如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线， ∴AB=BE，ACECD

∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE， ∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+ ∠EAC=180° ∴∠BAD+∠EAC=60°

∴. ∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°； 故选：A 【点睛】

本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.

19．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【答案】A 【解析】 【分析】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解． 【详解】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，

∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°

∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM， 同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，

∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N=∠OP1M， ∴∠P1OP2=180°-110°=70°， ∴∠AOB=35°， 故选A． 【点睛】

考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．

20．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（ ）

D．32

A．12 【答案】A 【解析】 【分析】

B．16 C．24

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段

AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论． 【详解】 连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，

∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∵△CDM周长的最小值为8， ∴AD=8-∴S△ABC=

1BC=8-2=6 211BC•AD=×4×6=12， 22故选A． 【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．