学科：奥数

学科：奥数

教学内容：逻辑推理

古时候有位哲人要去寻访A村，他的朋友告诉他：“A村附近有个B村，它们看起来几乎一模一样，A村的村民常去B村串门，而且对于陌生人的问话，A村的村民总说实话，B村的人总说假话，因此你将难于找到A村。”哲人听了这些话却不以为然，而且对他的朋友说：“我看到了A村或B村，只要问首先遇到的人任何一个问题，就能分辩出到达的是A村还是B村。”你知道这位哲人问的是什么问题吗？

这位哲人只要问：“您是这个村的人吗？”如果得到的回答是“是的”，那么他到达的 A村；如果得到的回答是“不是的”，那么他到达的 B村。这是因为，在A村的A村村民（总说真话）和B村村民（只说假话）都会回答“是的”，而在B村的A村村民（总说真话）和B村村民（只说假话）都会回答“不是的”。

像上面这样的问题，对于它们的讨论不需要任何专门的数学知识，只需要有较强的逻辑推理能力和机智，只需要从题设的一些相互关联的条件出发，经过分析推理，如假设法、排除法或经过简单的计算等方法，得出正确的结果。在数学竞赛、体育竞技比赛（球类、棋类比赛等）以及游戏中，常出现这类推理计算问题。这一讲我们主要讲述比较复杂的推理计算问题。

例1 三名学生参加了若干科的考试，以考试名次积分，每科第一名得A分，第二名得B分，第三名得C分，且A>B>C>0， A，B，C都是整数。已知甲积分为22分，乙、丙积分都为9分，并且乙是英语第一名，问数学第二名是谁？

分析：甲、乙、丙三名学生参加了若干科的考试（至少2科），首先应估计到底是几科。依题意可列表如下：

甲 乙 丙 总分

设共有m（m>1，整数）科，则m（A+B+C）=40=2×5，由A>B>C>0，得A+B+C≥6，且m是40的约数。下面分情况讨论：

（一）若m=2，即只有两科，由于乙英语第一名，故A最大是9，而甲不可能得到22分。故不能是两科。

（二）若m=4，则A+B+C=10，由A，B，C是正整数，且C≥1可得下列4种情况： ① A=7，B=2，C=1 ② A=6，B=3，C=1 ③ A=5，B=3，C=2 ④ A=5，B=4，C=1

先看第①种情况。由于乙得了一个7分，其它三科至少能得3分，故总分≥10，这与乙

奥数

3

英语 A A+B+C 数学 A+B+C 科目P A+B+C „„ A+B+C 总分 22 9 9 40 -

总分是9矛盾。

看第②种情况。由乙总分是9，且考4科，知乙的分数应是6，1，1，1，此时丙最多只能有一个第三名，即丙最少也能得到1+3+3+3=10分，这与丙得9分矛盾。

若是第③、④种情况，乙都不可能得一个第一名且总分是9。 所以m不能是4。

（三）若m≥8，则A+B+C≤5，又A+B+C≥6，所以m≥8的情况不会出现。 （四）综上所述m只能是5。

解：设共有m科，m≥2，且m为整数。由题意可得m（A+B+C）=40=2×5，经分析可知m=5，A+B+C=8，由A，B，C是正整数，且C≥1可得下列2种情况：A=4，B=3，C=1或A=5，B=2，C=1。

若A=4，B=3，C=1，则乙不可能有一个第一名且总分是9。因此，A=5，B=2，C=1。 得分情况如下表：

3

说明：首先要把所有可能的得分情况逐一列举出来，有时，由于数据较多，还经常采用图表的办法帮助分析，使得分析过程清楚、简洁、一目了然，排除不合情理的情况，从而得出正确的结论。这是解决推理计算题目常用的排除法。

例2 22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有几人？

分析：家长+老师=22，由于家长比老师多，故老师最多10人，家长至少有12人。类似地，可推出妈妈、爸爸和女老师的数量范围，再由至少有1名男老师，确定出男、女老师的人数，最终确定爸爸的人数。

解：由题意可知老师最多10人，家长至少有12。又知道家长中，妈妈比爸爸多2人，故妈妈不少于7人。而女老师又比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。由于老师最多有10人，且至少有1名男老师，则女老师恰好9人，男老师恰好1人。妈妈有7人，则爸爸有5人。

例3 10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分的总和相等，求第三名的得分。

分析：由题意可求出比赛的总盘数及10得分的总和。由前两名没输过，可知这二人不能得到最高的9分，再由前两名的总分比第三名多10分，可求出第三名得分的上限，再结合题目所给条件借助不等式来分析，即可确定第三名的得分。

奥数

-

解：10人中每两人都要赛一盘，因此每人赛9盘，10人共赛9×10÷2=45盘。每盘比赛不管结果如何，2人的总分都是1，故10的得分总和是45分。由于10的得分各不相同，可依次设为a1>a2>a3>„„>a9>a10，又前两名都没输过，故a1≤8.5，a2≤8，a3=a1+a2-10，即a3≤6.5，下面排除a3<6.5的情形。

若a3<6.5，则a3≤6，a4≤5.5，a5≤5，a6≤4.5，a7+a8+a9+a10=a4≤5.5，则这10人的总分不超过8.5+8+6+5.5+5+4.5=5.4=43<45，这不可能，故a3不能小于6.5，则，因此第三名得分6.5分。

说明：经过简单的推理计算，先求出某个量的一个比较大的取值范围，在这个大范围中再进行筛选，选出符合题意的数值。

例4 小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成。小张说：“它是84261”。小王说：“它是26048”。小李说：“它是49280”。小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字。现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。”你知道这个电话号码吗？

分析：电话号码是由五个不同的数字组成，小赵说：“你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。”这说明必有一位数字被两人同时猜对。这就是解题的突破口。

解：由题意知必有一位数字被两人同时猜对。将三人所猜的号码排列进行对比。

张 8 4 ② 6 1 王 2 6 0 4 8 李 4 9 ② 8 0

猜对的是左起第三位数字2。又由于每人猜对的数字不相邻，所以张、李猜对的另一个数字分别在两端，故小王猜的2，0，8是错的，因此小王猜对的两个数字是6和4，小张猜对的是8和2，小李猜对的是2和0。电话号码是86240。

例5 张教授连续做实验若干个小时，开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合。已知这个挂钟只在整点时报时（几点就报几下），整个实验过程挂钟共敲了39下，问：

（1）张教授的实验一共做了几个小时？ （2）他做完实验时，挂钟敲了多少下？

分析：由于挂钟只在整点报时，几点就报几下，共敲了39下，39要么是几个连续的小于13的正整数之和，要么是„„。11，12，1，2„„这样的几个正整数之和。只要知道报了几次时，也就知道了张教授的实验时间。

解：由于39=4+5+6+7+8+9

39=10+11+12+1+2+3

这两种情况都是6次报时。所以无论是哪一种情况，经过的时间都是5小时。又由于做完实验大约16分钟，钟面上时针与分针重合，9时约16分钟，时针与分针不可能重合，而

144161615÷（1-12）=11，这时应该是3时11分。因此张教授连续做了5个小时的实验，

他做完实验时，挂钟敲了3下。

例6 某次竞赛共有五道题，赵军只做对了①②③④题，得26分；钱广只做对了①②

奥数

-

③⑤题，得25分；孙悦只做对了①②④⑤题，得26分；李肜只做对了①③④⑤题，得27分；周泉只做对了②③④⑤题，得28分；吴伟五题都做对了，问吴伟得了多少分？

分析：本题条件较多，先列表进行整理：

从赵与孙的比较知③与⑤题的分数相等，把孙与钱、李与孙、周与李的情况分别加以比较，可知①②③④题依次多1分。若设第①题分数为x，则②③④题的分数依次为(x+1)，(x+2)，(x+3)。由某一人的得分情况列出方程，求出x。

解：由题意，③与⑤题的分数相等，①②③④题依次多1分，设第①题分数为x，则②③④题的分数依次为(x+1)，(x+2)，(x+3)。由赵得26分，列方程：

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=26

x=5

故第5题得7分。由赵的前四题得分26分，可得吴伟5题的得分是26+7=33分。 说明：本题在推理前先把诸多条件列一张表，把已知条件都填入表中，通过比较表中的数据，得到解题的金钥匙，这样会使思路更清晰，也便于检验所得的结果。

阅读材料

海盗分金子

五个强盗（严格排定座次）偷得100块金子，他们商定一个分金子的规则。先由老大提出一种分法，其余四人投票，老大本人不能投票，如果有半数或半数以上的反对票，则把老大杀死；再由老二提出分法，依次类推，直到有一个方案被通过；假设这些强盗都非常聪明，唯利是图！而且他们都想当老大。那么怎么分呢？

让我们从简单的情况想起：

只有2个海盗时，地位最低的海盗投反对票，这样反对票的数目超过50%，老大会被处死。

只有3个海盗时，地位最低的海盗投反对票，这样反对票的数目至少50%，老大会被处死。老大处死后，就只剩下两个海盗了，情况同上。所以，只有三个海盗时，排在前面的老大和老二都会被处死。

只有4个海盗时，如果老大死了，就只剩下3个海盗了，老二和老三也活不了。为了活命，老二和老三必须支持老大，只有老大活下来，他们才能活下来。因此，不管他们能不能得到金子，老二和老三都会投赞成票的。这样已经有两张赞成票，超过半数。所以老大可以独吞100块金子（老四当然要反对，但反对票只有1张，达不到半数）。

奥数

-

有5个海盗时，不管老大提出什么分金子的方案，老二总会反对的，因为老大死后，老二可以独吞金子，而且可以做“老大”；这样，老大为了活命，必须争取老三、老四、老五的支持。老大只要给老三、老四、老五每人一块金子，他们就会支持老大，因为一旦老大死了，就只剩下4个海盗，他们就什么也得不到。

所以：只有2个人的时候：老大死，老小得到所有金子；只有3个人的时候：老大老二死，老小得到所有金子；只有4个人的时候：老大得到所有金子，其他人没有；只有5个人的时候：老大得到97金子，老二没有，老三、老四、老五各得1块金子。

根据前面的分析，请你试着考虑下面的问题：

100个强盗（严格排定座次）偷得100块金子，他们商定一个分金子的规则。先由老大提出一种分法，所有人（包括老大本人）参加投票，如果赞成票的数目达不到半数，则把老大杀死（如果恰好是半数，则方案通过）；再由老二提出分法，依次类推，直到有一个方案被通过；假设这些强盗都非常聪明，且唯利是图！而且他们都想当老大。那么怎么分呢？

练习题：

1．从三个方向看一个立方体，如下图，求H、X、Y的对面分别是什么字母。

解：从这三个图上可以看出，与H邻接的有A、Y、X、N，因此，H的对面是E，同样可得X的对面是A，Y的对面是N。

2．有A、B、C、D、E共5位选手进行乒乓球循环赛，即每两人都要打一盘，且只许打一盘。规定胜者得2分，负者得0分。现在知道：A与B并列第一名，D比C的名次高。每个人都至少胜了一盘，求每个人的得分。

解：5位选手进行乒乓球循环赛，每位选手比赛4盘，一共进行了10盘比赛，全部比赛共得20分。又胜者得2分，负者得0分，因此，每位选手的得分一定是偶数，最高分不会走超过8分，由于A与B并列第一，知道A与B不会4盘比赛全胜。故A与B的最高分只能是6分。

由于每人都至少胜了一盘，所以，最后一名的得分不少于2分，5个人的得分情况只能是2，4，6这三种情况。由于D比C的名次高，所以A、B各得6分，D得4分，C得2分，因此E得20-6-6-4-2=2分。

3．某班44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长，A得选票23张，B得选票占第二位，C、D得票相同，E得选票最少，得4票，求B得选票多少张？

解：B、C、D的选票共44-23-4=17张。由于C、D的选票相同且不会超过B的选票，则C、D的选票不会超过5张。若超过5张，则B、C、D的选票将超过6+6+6=18张，这是不可能的；又E的选票最少4票，故C、D的选票至少各5张。综上所述，C、D只能各得5票，

奥数

-

B得票17-5-5=7张。

4．A、B、C三名同学参加了一次考试，试题共10题，都是判断正误题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题答对得10分，答错没有分，他们的答卷如下表

题号 学生 A B C

考试成绩公布后，三人都得70分，请你给出各题的正确答案。

分析：先看A、B两人，其中1，3，4，10题答案一致，2，5，6，7，8，9这六道题的答案不一致，即每人对了这六道题中的三道，只能得30分，由于每人都得70分，故1，3，4，10这四道题各得了40分，即1，3，4，10这四道题的答案A、B做对了。同理可以比较A、C，可知他们把3，6，8，9题都做对了。比较B、C，得2，3，5，7答对了。

解：正确答案是：

题号 答案

5．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一场。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了几盘？

解：“甲已经赛了4盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘。“丁赛了1盘”说明丁只与甲赛了一盘。“乙赛了3盘”说明乙只没有与丁一人比赛，与其它三人（甲、丙、小强）各赛了一盘，此时丙恰好与甲、乙赛了2盘。所以小强赛了2盘。

说明：我们也可以一边推理一边画出比赛的示意图。

1 2 3 √ 4 √ 5 √ 6 √ 7 √ 8 × 9 √ 10 × × × 1 2 3 √ √ √ 4 √ √ 5 6 7 × √ √ 8 × √ × 9 √ × √ 10 × × √ × √ × × √ × × √ √ × √ × √

6．甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是8、7和17分，甲得了一个第一名，已知第一名的得分大于第二、第三名得分之和，各个比赛项目分数相同。问比赛共有几个项目？3人在各项目中各得多少分？

分析：由于甲、乙、丙三名运动员总分分别是8、7和17分，则全部比赛共有8+7+17=32分。又比赛项目×每个项目的总分=32，所以每个项目3个名次的总分应为32的约数，由第一名的得分大于第二、第三名得分之和，因此每项得分总和可能是8分、16分和32分这三种情况。

解：甲得了一个第一名，已知第一名的得分大于第二、第三名得分之和，（1）若每项得

奥数

-

分总和为8分，则共有32÷8=4项比赛，依题意8只能拆成5+2+1由于甲得了一个第一名，甲的8分就是1+1+1+5；丙的17分可拆成5+5+5+2，乙的7分可拆成2+2+2+1即

项目1 项目2 项目3 项目4 1 2 5 1 2 5 1 2 5 甲 5 乙 1 丙 2 （2）若每项得分总和为16分，则共有32÷16=2项比赛，由于第一名的得分大于第二、三名的得分总和，所以第一名的得分大于16÷2=8分，即最少应是9分，这与甲共得了8分矛盾，这种情况不会出现。

（3）每项得分总和为32分，则共有1场比赛，第一名得分至少为32÷2=16分同理不合题意。

综上所述，比赛共有4个项目。 甲得分为：5；1；1；1 乙得分为：1；2；2；2 丙得分为：2；5；5；5

7、有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，小明用天平称了三次，结果如下：

第一次：①+②比③+④重 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻

解：从第一次称球和第二次称球情况来看，③、④号球中必有一轻球，⑤、⑥号球中必有一轻球。又8个球中只有两个轻球，因此③、④号球中有且只有一个轻球，⑤、⑥号球中有且只有一个轻球。由于第三次称时有轻球，又两边一样重，所以两边各有一个轻球，由②、⑧是标准球，故④是轻球，可得⑤为轻球。所以轻球的编号是④和⑤。

8．从五个候选人A、B、C、D、E中，选出一些人出访，要求满足： ① A和B必须有一人且仅有一人加入 ② C和E中至少有一人加入 ③ 若D加入，则B也加入 ④ A和C或都加入，或都不加入 若E加入，则C、D也都加入

解：由②和⑤知C加入，又由④知A也加入，从而由①知B不加入，再由③得D不加入，最后由⑤知E不加入，所以出访的人是A和C。

说明：此题用到了命题的等价形式。原命题与它的逆否命题等价。例如：“若D加入，则B也加入”等价于“若B不加入，则D也不加入”。

9．一张数学试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分。如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做对了多少道 题？做错了几道题？有几道题没做？

解：由78÷4=19.5>19知，小明至少做对20道题。假设小明做对21道题，即使其余4道题全做错了，他也能得80分，可实际小明得了78分。这说明小明做对的题目应小于21。所以小明做对了20道题。而20×4=80（分），故小明错了2道题。由25-20-2=3知小明有3

奥数

-

道题没做。

10．已知在每个正方体的六人面上分别写着1，2，3，4，5，6，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来，如图，要求紧挨着的两个面上的两个数字之和都等于8，则图中打“？”的这个面上所写的数是几？

解：由“任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7”，得前面1的对面是6，又由“紧挨着的两个面上的两个数字之和都等于8”，得6挨着2，2的对面是5，5挨着3，3的对面是4，这时看右上角这块小立方体。它的上面是1，下面是6，前面是3，后面是4，左右两面只能是2和5，到底哪边是5呢？

假设左边是5，则它的对面是2，挨着2的是6，6的对面是1，挨着1的面（最右边一块的左面）就应是7，但每个面上只能是1到6中的某一个自然数。所以右上角这块的左边一定是2，2的对面是5，挨着5的面是3，3的对面是4，挨着4的面是4 ，4的对面是3。因此，打“？”的这个面上所写的数是3。

奥数