2019-2020学年福建省宁德市八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年福建省宁德市八年级第二学期期末数学试卷

一、选择题

1．下列各数中，是不等式x＞3的解的是（ ） A．﹣3

B．0

C．3

D．5

2．下面图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．若a＜b，则下列结论不正确的是（ ） A．a+3＜b+3

B．a﹣3＜b﹣3

C．

D．﹣3a＜﹣3b

4．下列分式中，是最简分式的是（ ） A．

B．

C．

D．

5．多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ） A．4

B．﹣4

C．10

D．﹣10

6．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（ ）

A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE

7．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（ ）A．∠B≥90° 8．解分式方程A．x﹣3＝﹣2

B．∠B＞90°

C．∠B＜90°

D．AB≠AC

时，去分母正确的是（ ）

B．x﹣3（2x﹣1）＝﹣2

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

C．x﹣3（2x﹣1）＝2 D．x﹣6x﹣3＝﹣2

9．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B， E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）

A．等边对等角 B．垂线段最短

C．等腰三角形“三线合一”

D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

10．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11．化简：

＝ ．

12．如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为 ．

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13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ． 14．不等式组

的解集为 ．

15．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为 ．

16．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，连接DE 交AC于点F．若△ADF的周长为14，△CEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．

三、解答题：本题共9小题，共58分． 17．因式分解： （1）ax2﹣4a； （2）x（x﹣6）+9．

18．求不等式7﹣2（x﹣3）≤5x﹣1的解集，并把解集在数轴上表示出来．

19．如图，已知▱ABCD，点E在BA延长线上，BE＝CE，CE交AD于点F．求证：△CDF是等腰三角形．

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20．化简：．

21．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（4，4）．点M是线段AB上的动点，连接OM，将△AOM向左平移5个单位得到△CDN；将△AOM绕点O按顺时针方向旋转90°得到△BOE．（其中点C与点A对应，点E与点M对应）

（1）如图，当点M的坐标为（4，1）时，画出相应的△CDN和△BOE； （2）直接写出点M运动过程中，对应点E到点C距离的最小值．

22．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接DE，AD，EF，DF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长．

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23．受疫情影响，今年高考延后．为缓解七月高温对考生的影响，某校准备给本校的所有高考考室安装空调，现计划从A、B两种空调中采购．经了解A种空调比B种空调每台贵800元，如果全部安装A种空调需19万元，全部安装B种空调需15万元． （1）求A、B两种空调每台各需多少元？全校共需要安装多少台空调？

（2）现该校筹措到17万元资金用于采购这批空调，求最多能购买多少台A种空调？ 24．如图，直线l1：y＝x﹣4与y轴交于点A，与直线l2：y＝﹣x﹣1交于点B，直线l2

与y轴交于点C，点P（m，n）在射线AB上，过点P作直线PE⊥x轴，垂足为E，直线PE交直线l2于点Q．

（1）直接写出点B的坐标及线段AC的长；

（2）当点P在线段AB的延长线上，且以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）当PE＞QE时，求m的取值范围．

25．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．

（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形； （2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；

（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用

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图2帮助小亮说明理由．

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参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．下列各数中，是不等式x＞3的解的是（ ） A．﹣3

B．0

C．3

【分析】根据不等式解的定义判断即可． 解：5是不等式x＞3的解． 故选：D．

2．下面图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B．

3．若a＜b，则下列结论不正确的是（ ） A．a+3＜b+3

B．a﹣3＜b﹣3

C．

【分析】由不等式的性质解答即可． 解：A．∵a＜b，

∴a+3＜b+3，故本选项正确，但不符合题意； B．∵a＜b，

∴a﹣3＜b﹣3，故本选项正确，但不符合题意；

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D．5

D．﹣3a＜﹣3b

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C．∵a＜b， ∴

，故本选项正确，但不符合题意；

D．∵a＜b，

∴﹣3a＞﹣3b，故本选错误，但项符合题意； 故选：D．

4．下列分式中，是最简分式的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用最简分式的定义分别分析得出答案． 解：A、B、C、D、

＝

＝

，故不是最简分式，不合题意； ＝﹣1，故不是最简分式，不合题意；

＝a+1，故不是最简分式，不合题意； 是最简分式，符合题意．

故选：D．

5．多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ） A．4

B．﹣4

C．10

D．﹣10

【分析】直接利用十字相乘法得出m与3，﹣7的关系． 解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7）， ∴m＝﹣7+3＝﹣4． 故选：B．

6．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（ ）

A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE

【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEC，可得∠A＝∠D，BC＝CE，可得∠EBC

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＝45°，由余角的性质可证AB⊥DE，利用排除法可求解． 解：如图，延长DE交AB于点H，

∵AC⊥BD，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠A＝∠D，BC＝CE， ∴∠EBC＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠D+∠ABC＝90°， ∴AB⊥DE， 故选：A．

7．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（ ）A．∠B≥90°

B．∠B＞90°

C．∠B＜90°

D．AB≠AC

【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．

解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°． 故选：A． 8．解分式方程A．x﹣3＝﹣2 C．x﹣3（2x﹣1）＝2

时，去分母正确的是（ ）

B．x﹣3（2x﹣1）＝﹣2 D．x﹣6x﹣3＝﹣2

【分析】方程整理后，去分母转化为整式方程，即可作出判断． 解：方程整理得：

﹣3＝﹣

， 9 / 23

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去分母得：x﹣3（2x﹣1）＝﹣2， 故选：B．

9．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B， E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）

A．等边对等角 B．垂线段最短

C．等腰三角形“三线合一”

D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC，

故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C．

10．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【分析】由“SAS”可证△ADE≌△DCF，△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，再根据

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旋转和平移的性质依次判断可求解． 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°， 又∵DE＝CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，

∴将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG，故①正确； 将△ABG绕点A旋转可以得到△ADE，故②错误；

将△ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到△DCF，故③正确； 故选：C．

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11．化简：

＝

．

【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 解：

＝

＝

．

故答案为：．

12．如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为 2 ．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解． 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线， ∴DE＝CD＝2，

即点D到AB边的距离是2．

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故答案为：2．

13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．

【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和． 解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6， 该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°． 故答案为：720°． 14．不等式组

的解集为 2＜x＜6 ．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 解：不等式组由①得：x＜6， 由②得：x＞2，

则不等式组的解集为2＜x＜6． 故答案为：2＜x＜6．

15．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为 20

．

，

【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝30°，根据直角三角形的性质得到BC＝AB＝4，根据勾股定理得到AC＝

＝4

，根据平移的性质得到AD＝BE＝7，

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AD∥BE，求得CE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论． 解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵AB＝8， ∴BC＝AB＝4， ∴AC＝

＝4

，

∵将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF， ∴AD＝BE＝7，AD∥BE， ∴CE＝3，

∴图中四边形ACED的面积＝×（7+3）×4故答案为：20

．

＝20

，

16．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，连接DE交AC于点F．若△ADF的周长为14，△CEF的周长为10，则△ABC的周长为

．

【分析】过点D作DH∥BC，交AC于H，过点D作DN⊥AC于N，由“ASA”可证△DHF≌△ECF，可得EF＝DF，HF＝CF，由线段的数量关系可求AD＝4，DF+HF＝6，由勾股定理可求CF＝HF＝，即可求解．

解：如图，过点D作DH∥BC，交AC于H，过点D作DN⊥AC于N，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵DH∥BC，

∴∠ADH＝∠ABC＝60°，∠AHD＝∠ACB＝60°，

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∴△ADH是等边三角形， ∴AD＝AH＝DH， ∵DH∥BC，

∴∠HDF＝∠E，∠DHF＝∠ECF， ∵CE＝AD， ∴DH＝CE，

在△DHF和△ECF中，

，

∴△DHF≌△ECF（ASA）， ∴EF＝DF，HF＝CF，

∵△ADF的周长为14，△CEF的周长为10， ∴AD+AF+DF＝14，CE+CF+EF＝10， ∴AD＝4，DF+HF＝6，

∵△ADH是等边三角形，DN⊥AH， ∴AN＝NH＝2，DN＝∵DF2＝DN2+NF2，

∴（6﹣HF）2＝12+（2+HF）2， ∴HF＝， ∴CF＝HF＝， ∴CH＝，

∴AC＝AH+CH＝4+＝∴△ABC的周长＝3×AC＝故答案为：

．

， ， NH＝2

，

三、解答题：本题共9小题，共58分． 17．因式分解： （1）ax2﹣4a； （2）x（x﹣6）+9．

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【分析】（1）直接提取公因式a，进而利用公式法分解因式得出答案； （2）直接结合单项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式得出答案． 解：（1）ax2﹣4a ＝a（x2﹣4）

＝a（x﹣2）（x+2）；

（2）x（x﹣6）+9 ＝x2﹣6x+9 ＝（x﹣3）2．

18．求不等式7﹣2（x﹣3）≤5x﹣1的解集，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】利用不等式的基本性质，把不等号右边的x移到左边，合并同类项即可求得原不等式的解集．

解：去括号得，7﹣2x+6≤5x﹣1， 移项得：﹣2x﹣5x≤﹣1﹣7﹣6， 合并同类项得：﹣7x≤﹣14， 系数化为1得：x≥2， 在数轴上表示为：

．

19．如图，已知▱ABCD，点E在BA延长线上，BE＝CE，CE交AD于点F．求证：△CDF是等腰三角形．

【分析】利用平行四边形的性质和等角对等边的判定△CDF是等腰三角形即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

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∴∠B＝∠D，∠ECB＝∠DFC， ∵EB＝EC， ∴∠B＝∠ECB， ∴∠D＝∠DFC， ∴CF＝CD，

∴△CDF是等腰三角形． 20．化简：

．

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 解：原式＝＝

．

•

21．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（4，4）．点M是线段AB上的动点，连接OM，将△AOM向左平移5个单位得到△CDN；将△AOM绕点O按顺时针方向旋转90°得到△BOE．（其中点C与点A对应，点E与点M对应）

（1）如图，当点M的坐标为（4，1）时，画出相应的△CDN和△BOE； （2）直接写出点M运动过程中，对应点E到点C距离的最小值．

【分析】（1）分别作出AO，M的对应点C，D，N，可得△DCN，分别作出A，M的对应点B，E即可得到△OBE．

（2）观察图象可知点E在直线y＝﹣4上运动，根据此线段最短即可解决问题．

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解：（1）如图，△CDN和△BOE即为所求．

（2）观察图象可知，点E在直线y＝﹣4上运动， 根据垂线段最短可知，点E到点C的最短距离为8．

22．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接DE，AD，EF，DF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长．

【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DE＝AB，证出DE＝AF，DE∥AF，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出EF＝AD，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角 形，∠BAC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝5，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE＝AB，

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∵AF＝AB， ∴DE＝AF，DE∥AF， ∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形， ∴EF＝AD，

∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴AD＝BC＝5， ∴EF＝AD＝5．

23．受疫情影响，今年高考延后．为缓解七月高温对考生的影响，某校准备给本校的所有高考考室安装空调，现计划从A、B两种空调中采购．经了解A种空调比B种空调每台贵800元，如果全部安装A种空调需19万元，全部安装B种空调需15万元． （1）求A、B两种空调每台各需多少元？全校共需要安装多少台空调？

（2）现该校筹措到17万元资金用于采购这批空调，求最多能购买多少台A种空调？ 【分析】（1）设B种空调每台x元，则A种空调每台（x+800）元，根据题意可得等量关系：19万元购买的A种空调的数量＝15万元购买的B种空调的数量，根据等量关系列出方程，再解即可；

（2）设购买a台A种空调，根据题意可得不等关系：A种空调的单价×购买台数≤17万，列出不等式，再解即可．

解：（1）设B种空调每台x元，由题意得：

＝

解得：x＝3000，

经检验：x＝3000是原分式方程的解， 则x+800＝3800，

150000÷3000＝50（台），

答：B种空调每台3000元，A种空调每台3800元，全校共需要安装50台空调；

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，

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（2）设购买a台A种空调，由题意得： 3800x≤170000， 解得：x≤44∵x为整数，

∴x的最大整数解为44， 答：最多能购买4台A种空调．

24．如图，直线l1：y＝x﹣4与y轴交于点A，与直线l2：y＝﹣x﹣1交于点B，直线l2

与y轴交于点C，点P（m，n）在射线AB上，过点P作直线PE⊥x轴，垂足为E，直线PE交直线l2于点Q．

（1）直接写出点B的坐标及线段AC的长；

（2）当点P在线段AB的延长线上，且以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）当PE＞QE时，求m的取值范围．

，

【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得AC＝3，解析式联立，解方程组即可求得B点的坐标；

（2）根据平行四边形的性质得出PQ＝AC＝3，即可得到m﹣4﹣（﹣m﹣1）＝3，解得m的值，即可求得P的坐标；

（3）根据PE＞QE，借助图象即可得到当m＞2时，则m﹣4＞m＜2时，则﹣m+4＞

+1，解得0≤m＜2．

+1，解得m＞10；当

解：（1）在直线l1：y＝x﹣4中，令x＝0，则y＝﹣4， ∴A（0，﹣4），

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在直线l2：y＝﹣x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1， ∴C（0，﹣1），

∴AC＝﹣1﹣（﹣4）＝3， 解

得，

，

∴B（2，﹣2）；

（2）设P（m，m﹣4），则Q（m，﹣

），

∵以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ＝AC＝3，

∴m﹣4﹣（﹣m﹣1）＝3， 解得m＝4， ∴P（4，0）；

（3）设P（m，m﹣4），则Q（m，﹣由题意可知，|m﹣4|＞|﹣当m＞2时，则m﹣4＞解得m＞10；

当m＜2时，则﹣m+4＞解得0≤m＜2，

综上，m的取值范围是m＞10或0≤m＜2．

+1， +1，

，

），

25．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．

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（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形； （2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；

（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．

【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M； （2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；

（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON． 便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决． 解：（1）①在OB下方取一点K，

②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点， ③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点， ④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N， 故△OMN就是所求作的三角形；

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

（2）∵CM∥OB， ∴∠C＝∠PON， 在△PCM和△PON中，

，

∴△PCM≌△PON（ASA）， ∴PM＝PN，

∴OP平分△MON的面积；

（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，

∵CM∥OB， ∴∠GMP＝∠FNP， 在△PGM和△PFM中，

，

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

∴△PGM≌△PFN（ASA）， ∴S△PGM＝S△PFN ∴S四边形MOFG＝S△MON． ∵S四边形MOFG＜S△EOF， ∴S△MON＜S△EOF，

∴当点P是MN的中点时S△MON最小．

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