勾股定理经典讲义

考点1、勾股定理的内容和证明 勾股定理：

例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？ ccaccbabcccbbaccacbcaab图1 图2 图3 图4

例2：在中，，若C=90，如下图1根据勾股定理可以得出：a+b=c，若222不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理猜想a2+b2与c2 的关系，并且证明你的结论

A B C

C 图1 B A 图2 B C 图3 A 考点2、利用勾股定理求长度

在中，若C=90，

，则

例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

1、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 5、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

考点3、勾股定理的实际应用

例4：如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h）

N

例5：以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：

五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).

BAPM图1AQACB

OO图① 图② 图③

小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=5.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长. 参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：

五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2． 具体要求如下：

（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）

图④ 图⑤

6、有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）

7、现场学习题

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为2、13、17，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

图1图2图3ABC20201020201010（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ________．

思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、25a、

26a(a0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积

是： ．

探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为4m2n2、16m2n2、2m2n2 (m0,n0,mn) ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．

8、如图，一架长25分米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗？用所学知识，论证你的结论．

9、如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据， 点A和点B的直线距离是 ．

ADCBE例6：如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

10、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

11、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

12、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是 米

考点4、勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理： 勾股数：

例7：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=1BC，F为CD的中点，连接4AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．

例8：若△ABC的三边的长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状 （1）a2b2c233810a24b26c （2）a3－a2b+ ab2－ac2+ bc2－b3=0

（3）若三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1呢？（n为正整数）

A D

F

B E C 13、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（ ） A．锐角

B．直角

C ．钝角

D．不能确定

14、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A．CD、EF、GH

B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF

15、一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A． 20:15:12

B． 3:4:5

C． 5:4:3

D． 10:8:2

16、在下列说法中是错误的（ ）

A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形．

B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形． C．在△ABC中，若a＝c，b＝

354c，则△ABC为直角三角形． 5 D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．

17、 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（） A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 18、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

A． B． C． D．

19、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______． 20、△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为____ __．

21、已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状

例9：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．

（1）填表：

3、4、5

（2）如果a＋b－c＝m，观察上表猜想：（3）证明（2）中的结论．

5、12、13 8、15、17 4 6 2 三边a、b、c a＋b－c S l S (用含有m的代数式表示)． l

22、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a23、观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

…….. 21、b、c 23、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 3+ 4=5 5+ 12=13 7+ 24=25 9+ 40=41 …… 21+ b=c 22222222222222考点5、勾股定理与面积

24、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为

a b c l 25、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．

26、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于

S11S223S3S4l27、有一块土地形状如图3所示，BD90，AB=20米，BC=15米，CD=7米， A 请计算这块土地的面积

28、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， 求四边形ABCD的面积

29、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m， 求这块地的面积．

A

D

B

C BCAD B 图3 DC 考点6、勾股定理与折叠

例10：如图，长方形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， 求DE和EF的长．

30、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AFA．4cm

DFEC25 cm，则AD的长（ ） 4B．5cm

C．6cm

D．7cm

AB31、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长

32、有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C恰好落在AB上于点E，求CD的长？

BDCEAD G C E A B

33、如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是AD、BC上的点，将四边形ABQP沿PQ翻折，使得点A落在CD边的M上，若AB12，PQ13则CM的长度为______

BQNCAPDM34、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=30

(1) 求BE、QF的长 (2) 求四边形QEFH的面积

考点7、勾股定理相关几何问题

例11：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC和AB的长.

ADBCQ A H F D P B E C 例12： 如图，已知正方形ABCD边长为1cm，△AEF是等边三角形，求AF的长度

D C A B BFCADE35、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13，BC=3，CD=4，AD=12 证明：ADBD

36、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF． 求证：AE2＋BF2＝EF2．

37、如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D． 求证：AD2=AC2+BD2．

考点8、勾股定理与旋转

例13：在等腰Rt△ABC中，CAB=90，P是三角形内一点，且PA=1，PB=3，PC=7 求：CPA的大小？

38、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC

例14：如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°

CC P A B C P A B

求证：DE=AD+BE

ABDE222

39、如图ABC中，BAC90,ABAC,P为BC上任意一点，求证：BP2CP22AP2．

A

40、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD 求证：BD2AB2BC2

考点9、最短路径问题

B P

C ADCB41、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

BBAA42、有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

43、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

44、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是多少？

45、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.

C S

A B

例15：问题解决：

已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CAAB于点A，EBAB于点B，联结CD、DE. （1）请问：点D满足什么条件时，CDDE的值最小？

（2）若AB8，AC4，BE2，设ADx.用含x的代数式表示CDDE的长（直接写出结果）. 拓展应用：

参考上述问题解决的方法，请构造图形， 并求出代数式x1

46、（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；

（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出ma21b24的最小值；

（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以a2b2、a24b2、4a2b2为边长的三角形的面积.

2C4x24的最小值.

ADBE