勾股定理知识点+对应类型

勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

第 1 页 共 9 页

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

第 2 页 共 9 页

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为

常见题型

n的线段

（一）结合三角形：

22(ab)(bc)0，则ABC为 三角形 cab1.已知ABC的三边、、满足

2.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

第 3 页 共 9 页

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）

A. xy B. xy C. xy D. 不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

A8B

6

C

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）

111111222222h2 A. abb B. ab2h C. abh D. ab3. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点

第 4 页 共 9 页

E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b

4.折叠问题：

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

252275A. 4 B. 3 C. 4 D. 3

第 5 页 共 9 页

CDAEB

（三）求边长：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90

①已知：a=6，c=10，求b； ②已知：a=40，b=9，求c；

（四）方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M A B N

（五）利用三角形面积相等：

1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）

第 6 页 共 9 页

3334525552105A. B. C. D.

ACB

（六）折叠问题：

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

练习

222acbc33810a24b26c，试判断ABC的ab1.若ABC的三边、、满足条件

形状。

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）

A. 3a B. 12a C. 3a D.5a

第 7 页 共 9 页

QAMB

PN

4. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

5.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

6.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

第 8 页 共 9 页

7.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

）如果AB=3，BC=4，求AF的长

第 9 页 共 9 页

（1）试说明：AF=FC；（2