勾股定理知识点+对应类型

勾股定理

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAa勾b股C

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角

形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样

也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直

角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a＋b＞c，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段

2

2

2

2

2

2

勾股定理：

（一）结合三角形：

一、填空题

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)(bc)0，则ABC为 三角形

22.在ABC中，若a=（b+c）（b-c），则ABC是 三角形，且 90

22 1

马思特教育 学习让人快乐，知识成就未来

3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 二、计算题

1.已知x12xy25 与z210z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

2.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n>1） 试说明：C=90。

3.若ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状。

4.已知a62b8(c10)0,则以a、b、c为边的三角形是 2（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）

A. xy B. xy C. xy D. 不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

A8B6

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ） A. abb B. ab2h C. 变：

2222C

1a1b1h D.

1a21b21h2

2

马思特教育 学习让人快乐，知识成就未来

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证：（1）

1a21b21h2

（2）abch

（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形

试一试：（1）只需证明h2(2CADB1a221b2)1，从左边推到到右边

（2）abch

（3）ahh2ch，注意面积关系abch的应用

223. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 （2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？

3

马思特教育 学习让人快乐，知识成就未来

4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ） A.

3a B. 12a C. 3a D.5a

QAMB

PN

CD4.折叠问题：

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A.

25227543431. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面

B. C. D.

AEB的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

（三）求边长：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90 ①已知：a=6，c=10，求b； ②已知：a=40，b=9，求c；

2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

（五）方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M

A B N 4

马思特教育 学习让人快乐，知识成就未来

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米． ⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

（六）利用三角形面积相等：

1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）

3343A. 2 B. 5 C. 5 5 D.

21055

AA

CP'PB

（七）旋转问题：

BC1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△P'AB，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=

2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，将ABH绕点A逆时针旋转到ACH处，若AH=3㎝，试求出H、H两点之间的距离。

3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积

4、已知直角三角形ABC中，ACB=90，CA=CB，圆心角为45，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MNAM

5、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BDCD

5

2222CBN的理由。

AE2MNFB2AD。

2 马思特教育 学习让人快乐，知识成就未来

6、已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：ODOE2OC；当三角板绕点C旋转到

CD与OA不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，不需证明。 试一试：对于第1问，OD=CE，问题的实质是2OE将问题转化为第1问可解决。

（八）折叠问题：

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 （1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

A22OC，OE22OC，对于第二问，通过作辅助线，

在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

BFDEC4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落

5.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6 （1）△ACD是什么三角形？为什么？

（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。

C'EBCAD 6