勾股定理知识点+对应类型

判定直角三角形 勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理和 平方根 平方根 定义、性质 开平方运算 立方根 定义、性质 开立方运算 实数 近似数、 有效数字

第一节 勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个

三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么

ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角

三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

2

2

2

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段 二、平方根：（11——19的平方）

1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次

方根），也就是说如果x=a，那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

一个正数a的正的平方根，记作“a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—

2

a”，这两个平方根合起来记作“±a”。（ a叫被开方数， “

这里“

”，亦可写成“

2”是二次根号，

”）

②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。

3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

（3）

a2aa0,a2aa0,a2aa0.

（4）一个数的两个平方根之和为0

三、立方根：（1——9的立方）

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二

次方根），也就是说如果x=a，那么x就叫做a的立方根。记作“3a”。

2、立方根的性质：

①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a=3a ③(3a)33a3a

3

3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方

的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，-1。 5、平方根和立方根的区别：

3（1）被开方数的取值范围不同：在a中，a0，在a中，a可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：

不同点：

（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围

3不同：±a中的被开方数a是非负数；a中的被开方数可以是任何数.

（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；

（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0． 四、实数：

1、定义：有理数和无理数统称为实数

无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。 有理数：有限小数或无限循环小数

注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式 2、实数的分类：

正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。 ③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 ④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到

精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 取近似值的方法——四舍五入法

4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数

都称为这个近似数的有效数字 5、科学记数法：

n1a10,n是整数）的形式，就叫做科学记数法。把一个数记为a10(其中

6、实数和数轴：

每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。

勾股定理：

（一）结合三角形：

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)2(bc)20，则ABC为 三角形

22.在ABC中，若a=（b+c）（b-c），则ABC是 三角形，且 90

3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

4.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n1，b=2n，c=n1（n>1） 试说明：C=90。

3.若ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断ABC的形状。

4.已知a62b8(c10)20,则以a、b、c为边的三角形是

22（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米。

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

8

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ） A. abb B. ab2h C. 3. 爬行距离最短问题：

1如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．(盒壁的厚度忽略不计)

(1)假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A-E-C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；(请简要说明画法)

(2)如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？(精确到1秒)

D1A1B1C1A1D1B1C122226111111 D. 222 abhabhDCA图aBADCB图b

4.折叠问题：

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A.

252275 B. C. D. 4343

1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这

棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

（三）求边长：

1.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

（五）方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M A B N （六）利用三角形面积相等：

1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个可得△ABC，则边AC上的高为（ ）

A.

33342 B. 5 C. 5 D. 5

52105ACB

（七）旋转问题：

一、平方根：

（一）. 定义：

1.（1） 81 的平方根是9的数学表达式是（ ）

A.

819 B. 819 C. 819 D. 819

（2）若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是

若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。

若式子x－

1的平方根只有一个，则x的值是 。 3（4）若(x3)2y40，则x+y= （5）代数式3ab的最大值是 ，这时a、b之间的关系是 （6）若m10，则m= ；若3m4，则m的平方根是 2. 列方程求值：

（1）x=196； （2）5x-10=0； （3）36（x-3）-25=0

4. （1）已知一个正数的平方根是2x-1和3-x，求这个数

5. 估算：

（1）比较大小：

222①5与

2513 ②与 542（2）若m=404，则估计m的值所在的范围是（ ）

A.1m2 B. 2m3 C. 3m4 D. 4m5

二、立方根

1. 定义：

（1）如果a是x的立方根，那么下列说法正确的是（ ） A. –a也是x的立方根 B. –a是-x的立方根

C. a是-x的立方根 D. –a和a都是-x的立方根 2. 根据定义求值： （1）求值：

32108 （2）3 27125

（2）方程：

x331

x3125 216

3. 估算：

（1）估计68的立方根大小在（ ）

A. 2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 4. 平方根与立方根相结合：

（1）若2x+1的平方根是5，那么5x+4的立方根是 （2）已知x8，求3（3）已知m满足

1x的值。 82m13，k、n满足k32917n0，求km23n的值 3三、实数：

1. 实数的定义：

1.下列说法正确的是 （ ）

A.不存在最小的实数 B.有理数是有限小数 C.无限小数都是无理数 D.带根号的数都是无理数 2. 有效数字、科学记数法、近似数：

注意：2000有4个有效数字，精确到个位 210有1个有效数字，精确到千位

1. 有几个有效数字，保留几个有效数字： 用四舍五入法，按要求取近似值：.

①地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字） ②25.8万（保留2个有效数字）

③小明身高1.595m（保留3个有效数字） 2.精确到哪一位：

由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ ①小明身高1.59m；

③组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm； 3.精确到0.1，0.01等：

①精确到个位（或精确到1）是 π精确到十分位（或精确到0.1）是 π精确到百分位（或精确到0.01）是 π精确到千分位（或精确到0.001）是 4.科学记数法：

（1）用科学记数法表示91800000，正确的是（ ） A、918×10 B、91.8×10

563

C、9.18×105

D、9.18×107